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【摘要】本文根据初中数学问题的特征，针对新课标的要求，对构造法在初中数学解题中有着重要的作用。本人从"构造方程、构造函数、构造图形、构造全等三角形"等几个方面来叙述如何运用构造法解题。通过运用构造法解题，是培养学生创造意识和创造新思维的重要手段之一，有利于提高学生的分析问题和解决问题的能力。它也是解决数学问题的基本思想方法之一。
【关键词】构造；几何模型；三角形；方程；创新
构造法是数学解题方法中很重要的一种方法，在解题中被广泛应用。它之所以重要，不仅因为它完善了我们的数学思维，开拓了我们的思路，加深了我们对数学的理解，给人以一种美的享受。其妙处在于不是直接解决所给的问题，而是去构造一个与原问题有关的辅助新问题，这里引出新问题并非为了它本身，而是希望通过它的解决来帮助解决新问题，如果新问题比原问题简单，那么这种思考问题的方法就会成功。下面介绍几种数学中的构造法：
1 构造方程
构造方程是初中数学的基本方法之一。在解题过程中要善于观察、善于发现、认真分析，根据问题的结构特征、及其问题中的数量关系，挖掘潜在已知和未知之间的因素，从而构造出方程，使问题解答巧妙、简洁、合理。
1.1 某些题目根据条件、仔细观察其特点，构造一个"一元一次方程" 求解，从而获得问题解决。
例1：如果关于x的方程ax+b=2（2x+7）+1有无数多个解，那么a、b的值分别是多少？
解：原方程整理得（a-4）x=15-b
∵此方程有无数多解，∴a-4=0且15-b=0
分别解得a=4，b=15
1.2 有时可根据题目的条件和结论的特征，构造出方程组，从而可找到解题途径。
例2：已知3，5，2x，3y的平均数是4。 20，18，5x，-6y的平均数是1。求x4+y3的值。
分析：这道题考查了平均数概念，根据题目的特征构造二元一次方程组，从而解出x、y的值，再求出的值。
解：根据题意得 3+5+2x+3y=4×420+18+5x+(-6y)=4×1
解得 x=-2 y=4 所以x4+y3=80
2 构造函数模型，解数学实际问题
在解答数学实际问题时，引进数学符号，根据已知和未知之间的关系，将文字语言转化为数学符号语言，建立适当的函数关系式（考虑自变量的取值范围）。再利用有关数学知识，解决函数问题。这样既可深入函数内容的学习，也有利于增强学生的思维能力和解题实践能力。
例3：某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A、B两种产品，共50件。已知生产一件A种产品，需用甲种原料9千克、乙种原料3千克，可获利润700元；生产一件B种产品，需用甲种原料4千克、乙种原料10千克，可获利润1200元。
（1）按要求安排A、B两种产品的生产件数，有哪几种方案？请你设计出来；
（2）设生产A、B两种产品获总利润为y（元），生产A种产品x件，试写出y与x之间的函数关系式，并利用函数的性质说明（1）中哪种生产方案获总利润最大？最大利润是多少？
解；（1）设需生产A种产品x件，那么需生产B种产品（50-x）件，由题意得：
9x+4(50-x)≤360
3x+10(50-x)≤290
解得：30≤x≤32
∵ x是正整数， ∴ x＝30或31或32
∴有三种生产方案：
①生产A种产品30件，生产B种产品20件；②生产A种产品31件，生产B种产品19件；③生产A种产品32件，生产B种产品18件。
（2）由题意得；y＝700x+1200（50-x）=-500x+60000
∵ y随x的增大而减小
∴当x＝30时，y有最大值，最大值为：＝45000（元）
答：y与x之间的函数关系式为：y＝-500x+60000，（1）中方案①获利最大，最大利润为45000元。
3 构造几何图形
在解几何题时，借助有关性质，巧妙构造，可迅速找到解题途径，不仅能使问题化难为易，迎忍而解，而且有助于提高学生的数学思维能力和几何证题能力。
例4：如图，在△ABC中，∠B=2∠C，∠BAC的平分线交BC于点D。求证：AB＋BD＝AC
分析：若遇到三角形的角平分线时，常构造等腰三角形，借助等腰三角形的有关性质，往往能够找到解题途径。因此，延长CB到点F，使BF=AB，连接AF，则△BAF为等腰三角形，且∠F=∠1.再根据三角形外角的有关性质，得出∠ABD=∠1+∠F , 即∠ABD=2∠1=2∠F，而∠ABD=2∠C，所以∠C=∠1=∠F ， △AFC为等腰三角形，即AF=AC，又可得△FAD为等腰三角形,因此 ，AF=DF=DB+BF=DB+AB,即AB＋BD＝AC。
4 构造全等三角形
搞清了全等三角形的证题思路后，还要注意一些较难的一些证明问题，只要构造合适的全等三角形，把条件相对集中起来，再进行等量代换，就可以化难为易了。
例5、如图2，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D、E在边BC上，∠CAE=∠B，E是CD的中点，且AD平分∠BAE
试问：BD与AC相等吗？请说说你的理由
分析：本题可以过D点作AC的平行线来构造全等三角形
解：BD=AC，理由如下：过D点作AC的平行线交AE的延长线于F，
则∠CAE=∠F，又因为∠AEC=∠DEF，E是CD的中点，所以，
△AEC≌△FED，所以，AC=FD，又因为AD平分∠BAE，所以，
∠DAE=∠BAD，又因为∠B=∠F，AD为公共边，所以，
△ABD≌△AFD，所以，BD=DF，所以BD=AC
综上所述，构造法在数学问题的解决中，不仅显得灵活、简便，而且也往往是发现问题，找到解决问题途径、方法的钥匙。在平时教学中，学生在掌握基础知识之余，应加强启发式的教学。我们可从多角度启发学生思维多变，从而培养学生发散思维。也可培养学生创新能力、实施素质教育的重要载体。
【关键词】构造；几何模型；三角形；方程；创新
构造法是数学解题方法中很重要的一种方法，在解题中被广泛应用。它之所以重要，不仅因为它完善了我们的数学思维，开拓了我们的思路，加深了我们对数学的理解，给人以一种美的享受。其妙处在于不是直接解决所给的问题，而是去构造一个与原问题有关的辅助新问题，这里引出新问题并非为了它本身，而是希望通过它的解决来帮助解决新问题，如果新问题比原问题简单，那么这种思考问题的方法就会成功。下面介绍几种数学中的构造法：
1 构造方程
构造方程是初中数学的基本方法之一。在解题过程中要善于观察、善于发现、认真分析，根据问题的结构特征、及其问题中的数量关系，挖掘潜在已知和未知之间的因素，从而构造出方程，使问题解答巧妙、简洁、合理。
1.1 某些题目根据条件、仔细观察其特点，构造一个"一元一次方程" 求解，从而获得问题解决。
例1：如果关于x的方程ax+b=2（2x+7）+1有无数多个解，那么a、b的值分别是多少？
解：原方程整理得（a-4）x=15-b
∵此方程有无数多解，∴a-4=0且15-b=0
分别解得a=4，b=15
1.2 有时可根据题目的条件和结论的特征，构造出方程组，从而可找到解题途径。
例2：已知3，5，2x，3y的平均数是4。 20，18，5x，-6y的平均数是1。求x4+y3的值。
分析：这道题考查了平均数概念，根据题目的特征构造二元一次方程组，从而解出x、y的值，再求出的值。
解：根据题意得 3+5+2x+3y=4×420+18+5x+(-6y)=4×1
解得 x=-2 y=4 所以x4+y3=80
2 构造函数模型，解数学实际问题
在解答数学实际问题时，引进数学符号，根据已知和未知之间的关系，将文字语言转化为数学符号语言，建立适当的函数关系式（考虑自变量的取值范围）。再利用有关数学知识，解决函数问题。这样既可深入函数内容的学习，也有利于增强学生的思维能力和解题实践能力。
例3：某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A、B两种产品，共50件。已知生产一件A种产品，需用甲种原料9千克、乙种原料3千克，可获利润700元；生产一件B种产品，需用甲种原料4千克、乙种原料10千克，可获利润1200元。
（1）按要求安排A、B两种产品的生产件数，有哪几种方案？请你设计出来；
（2）设生产A、B两种产品获总利润为y（元），生产A种产品x件，试写出y与x之间的函数关系式，并利用函数的性质说明（1）中哪种生产方案获总利润最大？最大利润是多少？
解；（1）设需生产A种产品x件，那么需生产B种产品（50-x）件，由题意得：
9x+4(50-x)≤360
3x+10(50-x)≤290
解得：30≤x≤32
∵ x是正整数， ∴ x＝30或31或32
∴有三种生产方案：
①生产A种产品30件，生产B种产品20件；②生产A种产品31件，生产B种产品19件；③生产A种产品32件，生产B种产品18件。
（2）由题意得；y＝700x+1200（50-x）=-500x+60000
∵ y随x的增大而减小
∴当x＝30时，y有最大值，最大值为：＝45000（元）
答：y与x之间的函数关系式为：y＝-500x+60000，（1）中方案①获利最大，最大利润为45000元。
3 构造几何图形
在解几何题时，借助有关性质，巧妙构造，可迅速找到解题途径，不仅能使问题化难为易，迎忍而解，而且有助于提高学生的数学思维能力和几何证题能力。
例4：如图，在△ABC中，∠B=2∠C，∠BAC的平分线交BC于点D。求证：AB＋BD＝AC
分析：若遇到三角形的角平分线时，常构造等腰三角形，借助等腰三角形的有关性质，往往能够找到解题途径。因此，延长CB到点F，使BF=AB，连接AF，则△BAF为等腰三角形，且∠F=∠1.再根据三角形外角的有关性质，得出∠ABD=∠1+∠F , 即∠ABD=2∠1=2∠F，而∠ABD=2∠C，所以∠C=∠1=∠F ， △AFC为等腰三角形，即AF=AC，又可得△FAD为等腰三角形,因此 ，AF=DF=DB+BF=DB+AB,即AB＋BD＝AC。
4 构造全等三角形
搞清了全等三角形的证题思路后，还要注意一些较难的一些证明问题，只要构造合适的全等三角形，把条件相对集中起来，再进行等量代换，就可以化难为易了。
例5、如图2，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D、E在边BC上，∠CAE=∠B，E是CD的中点，且AD平分∠BAE
试问：BD与AC相等吗？请说说你的理由
分析：本题可以过D点作AC的平行线来构造全等三角形
解：BD=AC，理由如下：过D点作AC的平行线交AE的延长线于F，
则∠CAE=∠F，又因为∠AEC=∠DEF，E是CD的中点，所以，
△AEC≌△FED，所以，AC=FD，又因为AD平分∠BAE，所以，
∠DAE=∠BAD，又因为∠B=∠F，AD为公共边，所以，
△ABD≌△AFD，所以，BD=DF，所以BD=AC
综上所述，构造法在数学问题的解决中，不仅显得灵活、简便，而且也往往是发现问题，找到解决问题途径、方法的钥匙。在平时教学中，学生在掌握基础知识之余，应加强启发式的教学。我们可从多角度启发学生思维多变，从而培养学生发散思维。也可培养学生创新能力、实施素质教育的重要载体。