论文部分内容阅读
【摘要】本文根据初中数学问题的特征,针对新课标的要求,对构造法在初中数学解题中有着重要的作用。本人从"构造方程、构造函数、构造图形、构造全等三角形"等几个方面来叙述如何运用构造法解题。通过运用构造法解题,是培养学生创造意识和创造新思维的重要手段之一,有利于提高学生的分析问题和解决问题的能力。它也是解决数学问题的基本思想方法之一。
【关键词】构造;几何模型;三角形;方程;创新
构造法是数学解题方法中很重要的一种方法,在解题中被广泛应用。它之所以重要,不仅因为它完善了我们的数学思维,开拓了我们的思路,加深了我们对数学的理解,给人以一种美的享受。其妙处在于不是直接解决所给的问题,而是去构造一个与原问题有关的辅助新问题,这里引出新问题并非为了它本身,而是希望通过它的解决来帮助解决新问题,如果新问题比原问题简单,那么这种思考问题的方法就会成功。下面介绍几种数学中的构造法:
1 构造方程
构造方程是初中数学的基本方法之一。在解题过程中要善于观察、善于发现、认真分析,根据问题的结构特征、及其问题中的数量关系,挖掘潜在已知和未知之间的因素,从而构造出方程,使问题解答巧妙、简洁、合理。
1.1 某些题目根据条件、仔细观察其特点,构造一个"一元一次方程" 求解,从而获得问题解决。
例1:如果关于x的方程ax+b=2(2x+7)+1有无数多个解,那么a、b的值分别是多少?
解:原方程整理得(a-4)x=15-b
∵此方程有无数多解,∴a-4=0且15-b=0
分别解得a=4,b=15
1.2 有时可根据题目的条件和结论的特征,构造出方程组,从而可找到解题途径。
例2:已知3,5,2x,3y的平均数是4。 20,18,5x,-6y的平均数是1。求x4+y3的值。
分析:这道题考查了平均数概念,根据题目的特征构造二元一次方程组,从而解出x、y的值,再求出的值。
解:根据题意得 3+5+2x+3y=4×420+18+5x+(-6y)=4×1
解得 x=-2 y=4 所以x4+y3=80
2 构造函数模型,解数学实际问题
在解答数学实际问题时,引进数学符号,根据已知和未知之间的关系,将文字语言转化为数学符号语言,建立适当的函数关系式(考虑自变量的取值范围)。再利用有关数学知识,解决函数问题。这样既可深入函数内容的学习,也有利于增强学生的思维能力和解题实践能力。
例3:某工厂现有甲种原料360千克,乙种原料290千克,计划利用这两种原料生产A、B两种产品,共50件。已知生产一件A种产品,需用甲种原料9千克、乙种原料3千克,可获利润700元;生产一件B种产品,需用甲种原料4千克、乙种原料10千克,可获利润1200元。
(1)按要求安排A、B两种产品的生产件数,有哪几种方案?请你设计出来;
(2)设生产A、B两种产品获总利润为y(元),生产A种产品x件,试写出y与x之间的函数关系式,并利用函数的性质说明(1)中哪种生产方案获总利润最大?最大利润是多少?
解;(1)设需生产A种产品x件,那么需生产B种产品(50-x)件,由题意得:
9x+4(50-x)≤360
3x+10(50-x)≤290
解得:30≤x≤32
∵ x是正整数, ∴ x=30或31或32
∴有三种生产方案:
①生产A种产品30件,生产B种产品20件;②生产A种产品31件,生产B种产品19件;③生产A种产品32件,生产B种产品18件。
(2)由题意得;y=700x+1200(50-x)=-500x+60000
∵ y随x的增大而减小
∴当x=30时,y有最大值,最大值为:=45000(元)
答:y与x之间的函数关系式为:y=-500x+60000,(1)中方案①获利最大,最大利润为45000元。
3 构造几何图形
在解几何题时,借助有关性质,巧妙构造,可迅速找到解题途径,不仅能使问题化难为易,迎忍而解,而且有助于提高学生的数学思维能力和几何证题能力。
例4:如图,在△ABC中,∠B=2∠C,∠BAC的平分线交BC于点D。求证:AB+BD=AC
分析:若遇到三角形的角平分线时,常构造等腰三角形,借助等腰三角形的有关性质,往往能够找到解题途径。因此,延长CB到点F,使BF=AB,连接AF,则△BAF为等腰三角形,且∠F=∠1.再根据三角形外角的有关性质,得出∠ABD=∠1+∠F , 即∠ABD=2∠1=2∠F,而∠ABD=2∠C,所以∠C=∠1=∠F , △AFC为等腰三角形,即AF=AC,又可得△FAD为等腰三角形,因此 ,AF=DF=DB+BF=DB+AB,即AB+BD=AC。
4 构造全等三角形
搞清了全等三角形的证题思路后,还要注意一些较难的一些证明问题,只要构造合适的全等三角形,把条件相对集中起来,再进行等量代换,就可以化难为易了。
例5、如图2,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,点D、E在边BC上,∠CAE=∠B,E是CD的中点,且AD平分∠BAE
试问:BD与AC相等吗?请说说你的理由
分析:本题可以过D点作AC的平行线来构造全等三角形
解:BD=AC,理由如下:过D点作AC的平行线交AE的延长线于F,
则∠CAE=∠F,又因为∠AEC=∠DEF,E是CD的中点,所以,
△AEC≌△FED,所以,AC=FD,又因为AD平分∠BAE,所以,
∠DAE=∠BAD,又因为∠B=∠F,AD为公共边,所以,
△ABD≌△AFD,所以,BD=DF,所以BD=AC
综上所述,构造法在数学问题的解决中,不仅显得灵活、简便,而且也往往是发现问题,找到解决问题途径、方法的钥匙。在平时教学中,学生在掌握基础知识之余,应加强启发式的教学。我们可从多角度启发学生思维多变,从而培养学生发散思维。也可培养学生创新能力、实施素质教育的重要载体。
【关键词】构造;几何模型;三角形;方程;创新
构造法是数学解题方法中很重要的一种方法,在解题中被广泛应用。它之所以重要,不仅因为它完善了我们的数学思维,开拓了我们的思路,加深了我们对数学的理解,给人以一种美的享受。其妙处在于不是直接解决所给的问题,而是去构造一个与原问题有关的辅助新问题,这里引出新问题并非为了它本身,而是希望通过它的解决来帮助解决新问题,如果新问题比原问题简单,那么这种思考问题的方法就会成功。下面介绍几种数学中的构造法:
1 构造方程
构造方程是初中数学的基本方法之一。在解题过程中要善于观察、善于发现、认真分析,根据问题的结构特征、及其问题中的数量关系,挖掘潜在已知和未知之间的因素,从而构造出方程,使问题解答巧妙、简洁、合理。
1.1 某些题目根据条件、仔细观察其特点,构造一个"一元一次方程" 求解,从而获得问题解决。
例1:如果关于x的方程ax+b=2(2x+7)+1有无数多个解,那么a、b的值分别是多少?
解:原方程整理得(a-4)x=15-b
∵此方程有无数多解,∴a-4=0且15-b=0
分别解得a=4,b=15
1.2 有时可根据题目的条件和结论的特征,构造出方程组,从而可找到解题途径。
例2:已知3,5,2x,3y的平均数是4。 20,18,5x,-6y的平均数是1。求x4+y3的值。
分析:这道题考查了平均数概念,根据题目的特征构造二元一次方程组,从而解出x、y的值,再求出的值。
解:根据题意得 3+5+2x+3y=4×420+18+5x+(-6y)=4×1
解得 x=-2 y=4 所以x4+y3=80
2 构造函数模型,解数学实际问题
在解答数学实际问题时,引进数学符号,根据已知和未知之间的关系,将文字语言转化为数学符号语言,建立适当的函数关系式(考虑自变量的取值范围)。再利用有关数学知识,解决函数问题。这样既可深入函数内容的学习,也有利于增强学生的思维能力和解题实践能力。
例3:某工厂现有甲种原料360千克,乙种原料290千克,计划利用这两种原料生产A、B两种产品,共50件。已知生产一件A种产品,需用甲种原料9千克、乙种原料3千克,可获利润700元;生产一件B种产品,需用甲种原料4千克、乙种原料10千克,可获利润1200元。
(1)按要求安排A、B两种产品的生产件数,有哪几种方案?请你设计出来;
(2)设生产A、B两种产品获总利润为y(元),生产A种产品x件,试写出y与x之间的函数关系式,并利用函数的性质说明(1)中哪种生产方案获总利润最大?最大利润是多少?
解;(1)设需生产A种产品x件,那么需生产B种产品(50-x)件,由题意得:
9x+4(50-x)≤360
3x+10(50-x)≤290
解得:30≤x≤32
∵ x是正整数, ∴ x=30或31或32
∴有三种生产方案:
①生产A种产品30件,生产B种产品20件;②生产A种产品31件,生产B种产品19件;③生产A种产品32件,生产B种产品18件。
(2)由题意得;y=700x+1200(50-x)=-500x+60000
∵ y随x的增大而减小
∴当x=30时,y有最大值,最大值为:=45000(元)
答:y与x之间的函数关系式为:y=-500x+60000,(1)中方案①获利最大,最大利润为45000元。
3 构造几何图形
在解几何题时,借助有关性质,巧妙构造,可迅速找到解题途径,不仅能使问题化难为易,迎忍而解,而且有助于提高学生的数学思维能力和几何证题能力。
例4:如图,在△ABC中,∠B=2∠C,∠BAC的平分线交BC于点D。求证:AB+BD=AC
分析:若遇到三角形的角平分线时,常构造等腰三角形,借助等腰三角形的有关性质,往往能够找到解题途径。因此,延长CB到点F,使BF=AB,连接AF,则△BAF为等腰三角形,且∠F=∠1.再根据三角形外角的有关性质,得出∠ABD=∠1+∠F , 即∠ABD=2∠1=2∠F,而∠ABD=2∠C,所以∠C=∠1=∠F , △AFC为等腰三角形,即AF=AC,又可得△FAD为等腰三角形,因此 ,AF=DF=DB+BF=DB+AB,即AB+BD=AC。
4 构造全等三角形
搞清了全等三角形的证题思路后,还要注意一些较难的一些证明问题,只要构造合适的全等三角形,把条件相对集中起来,再进行等量代换,就可以化难为易了。
例5、如图2,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,点D、E在边BC上,∠CAE=∠B,E是CD的中点,且AD平分∠BAE
试问:BD与AC相等吗?请说说你的理由
分析:本题可以过D点作AC的平行线来构造全等三角形
解:BD=AC,理由如下:过D点作AC的平行线交AE的延长线于F,
则∠CAE=∠F,又因为∠AEC=∠DEF,E是CD的中点,所以,
△AEC≌△FED,所以,AC=FD,又因为AD平分∠BAE,所以,
∠DAE=∠BAD,又因为∠B=∠F,AD为公共边,所以,
△ABD≌△AFD,所以,BD=DF,所以BD=AC
综上所述,构造法在数学问题的解决中,不仅显得灵活、简便,而且也往往是发现问题,找到解决问题途径、方法的钥匙。在平时教学中,学生在掌握基础知识之余,应加强启发式的教学。我们可从多角度启发学生思维多变,从而培养学生发散思维。也可培养学生创新能力、实施素质教育的重要载体。