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分类讨论是初中数学一种重要的数学思想，也是各地近年来中考命题的热点.在解题中，正确、合理、严谨的分类，可将一个复杂的问题大大地简化，达到化繁为简、化难为易、分而治之的目的，这是学习任何学科的一种科学方法. 另外分类讨论的思想方法，无论是在生产活动、科学实验中，还是在日常生活中，都常常需要用到它。这里主要对初中数学中的分类讨论思想作个探讨。
一、 分类讨论的定义
分类讨论思想又称“逻辑化分思想”，它是把所要研究的数学对象划分为若干不同的情形，然后再分别研究和求解的一种数学思想。分类讨论思想在中考中占有十分重要的地位，相关习题具有明显的逻辑性、综合性、探索性的特点，难度有易、有中、也有难。题型可涉及任何一种题型，知识领域方面，可以无孔不入的渗透到每个数学领域。每个数学结论都有其成立的条件，每一种数学方法的使用也往往有其适用范围，在我们所遇到的数学问题中，有些问题的结论不是唯一确定的，有些问题的结论在解题中不能以统一的形式进行研究，还有些问题的已知量是用字母表示数的形式给出的，这样字母的取值不同也会影响问题的解决，由上述几类问题可知，就其解题方法及转化手段而言都是一致的，即把所有研究的问题根据题目的特点和要求，分成若干类，转化成若干个小问题来解决，这种按不同情况分类，然后再逐一研究解决的数学思想，称之为分类讨论思想。
分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决.分类讨论题覆盖知识点较多，利于考查学生的知识面、分类思想和技巧；同时方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，树立分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧、做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论.”
二、 分类讨论的原则
（1） 同一性原则。分类应按同一标准进行，即每次分类不能同时使用几个不同的分类根据。
例1 有些同学把三角形分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形、不等边三角形、等腰三角形。这个分类就不正确了，因为这个分类同时使用了按边和按角两个分类标准。事实上，等腰三角形可以是锐角三角形，也可以是直角三角形，还可以是钝角三角形；而钝角三角形、直角三角形、锐角三角形可以是等腰三角形，也可以是不等腰三角形。这样的划分是混乱的。
（2） 互斥性原则。分类后的每个子项应当互不相容，即做到各子项相互排斥，也就是分类后不能有一些事物既属于这个子项，又属于另一个子项。即要做到不重复。例如：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判别式b2-4ac，分b2-4ac>0，b2-4ac=0，b2-4ac<0三种情况
（3） 相称性原则。分类应当相称，即划分后子项外延的总和（并集），应当与母项的外延相等。即要做到不遗漏。
例2 解不等式ax >2a
如果不加区分，得x>2，那就不对了。事实上，既可以a>0，或是a=0，也可以a<0。
当a>0时，则x>2；？摇 当a=0时，原不等式为0·x>0，故不等式无解；？摇？摇当a<0时，则x<2。
这里将a划分成三类：a>0，a=0，a<0，分别处理，才获得正确的解。
（4） 多层次性原则。分类有一次分类和多次分类之分。一次分类是对被讨论对象只分类一次；多次分类是把分类后所得的子项作为母项，再进行分类，直至满足需要为止。有些对象的分类情况比较复杂，这时常采用“二分法”来分类，就是按对象有无某性质来进行分类。按“二分法”作分类，就是把讨论对象的外延一直分为两个互相矛盾的概念，一直分到不必再分为止。
例3 （盐城市2011年压轴题）如图，已知一次函数y=-x+7与正比例函数y？摇=x的图象交于点A，且与x轴交于点B.
（1） 求点A和点B的坐标；
（2） 过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l∥y轴.动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O—C—A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q.当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动.在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒.
① 当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？
② 是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由.
分析： 第（2）题的第②小题，要分Q点BA上、Q点AO上，然后再分别分三种情况讨论等腰三角形
三、 分类讨论产生的时机
（1） 涉及的数学概念是分类定义的
有些数学概念是分类定义的（如实数的绝对值），所以应用这些概念解题时，就需进行分类讨论。有些数学概念在下定义时已经对所考虑的对象的范围作了限制（如二次函数，要求二次项系数不为零），当解题过程的变换需要突破这些限制时，就必须分类讨论。
例4 （盐城市2010年压轴题）已知：函数y=ax2+x+1的图象与x轴只有一个公共点.
（1） 求这个函数关系式；
（2） 如图所示，设二次函数y=ax2+x+1图象的顶点为B，与y轴的交点为A，P为图象上的一点，若以线段PB为直径的圆与直线AB相切于点B，求P点的坐标；
（3） 在（2）中，若圆与x轴另一交点关于直线PB的对称点为M，试探索点M是否在抛物线y=ax2+x+1上，若在抛物线上，求出M点的坐标；若不在，请说明理由.
分析： 第一小题要分类讨论，分a=0和a≠0两种情况
（2） 运算公式、法则、性质是分类给出的
有些数学运算的实施需要一定的条件（如零不能作除数，不等式两边同乘以或除以某数时必须考虑正负等等），若在运算中要突破该运算的限制条件，就要进行分类讨论。
（3） 几何图形的形状、位置的变化会引起不同的结果
有些几何问题，因图形的位置不能确定或形状不能确定，就必须分类全面讨论。 例5 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交与A、B两点，与y轴交C点，A点坐标为（-3，0）、B点坐标为（1，0），且△ABC的面积为6，求该二次函数的关系式.
分析： 因为根据面积求得OC=3，所以C点坐标可以在（0，3）或（0，-3）
（4） 实际问题的实际意义决定需要分类讨论
有些题目中的条件开放，致使求解结果不唯一，若对这类问题考虑不全面，时常发生漏解现象。
例6 甲、乙两人在环形跑道上练习跑步，已知环形跑道一圈长400m，乙每秒钟跑6m，甲的速度是乙的倍。现在甲、乙两人在跑道上相距8m处同时出发，问经过多少秒钟后，两人首次相遇？
分析： 本题既不明确甲、乙两人在环形跑道上是同向还是反向跑步，也不知同向跑步时谁在前谁在后，或反向跑步时两人之间的距离是面对面的距离还是对背的距离，所以解题时应分类讨论，逐一求解：
设经过x秒甲、乙两人首次相遇
① 若两人同向跑步，且甲在乙的前面8m，则×6x-6x=400-8，解得x=196；
② 若两人同向跑步，且乙在甲前面8m，则×6x-6x=8，解得x=4；
③ 若两人反向跑步，面对面相距8m，则×6x+6x=8，解得x= ；
④ 若两人反向跑步，且背对背相距8m，则×6x+6x=400-8，解得x=28。
答：略。
四、需要分类的知识点大致有
绝对值a的概念，根式的性质，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的判别式b2-4ac的符号与根的情况，二次函数y=ax
2+bx+c（a≠0）二次项系数的正负和抛物线开口方向，反比例函数y=
（k≠0）中的比例系数k，正比例函数y=kx（k≠0）中的比例系数k，一次函数y=kx+b（k≠0）中的k和b、不等式性质中两边同时乘以正数与负数对不等号方向的影响，动点问题中对动点位置的讨论等。
五、分类讨论的好处
一方面可将复杂的问题分解成若干个简单的问题，另一方面恰当的分类可避免丢值漏解，从而提高全面考虑问题的能力，提高周密严谨的数学教养。
六、结合数形结合思想的运用
“数无形，少直观；形无数，难入微”，利用“数形结合”可使所要研究的问题化难为易，化繁为简。把代数和几何相结合，例如对几何问题用代数方法解答，对代数问题用几何方法解答，这种方法在解析几何里最常用。
总之，分类讨论几乎渗透到数学中的每一个角落，按初中数学知识体系，主要分布在：代数式中的分类讨论、方程中的分类讨论、不等式中的分类讨论、函数中的分类讨论、应用题中的分类讨论、几何图形（点、线、三角形、四边形、圆）中的分类讨论。分类讨论问题解决的关键是弄清引起分类讨论的原因，明确分类讨论的对象和标准。不同的标准分类的结果也不同，分析其可能产生的诸种情况，并由此展开讨论，做到不遗漏不重复，再将不同结论综合归纳得出正确结果。分类讨论思想是解答数学问题的一种重要思想方法和解题策略。分类研究的思想方法，可使学生运用已知信息进行开放性的联想，深化对知识的理解，培养学生思维的灵活性、严密性和创造性。运用分类讨论的思想解题，一方面可将复杂的问题分解成若干个简单的问题，另一方面恰当的分类可避免丢值漏解，从而提高全面考虑问题的能力，提高周密严谨的数学教养。近年来，在各地中考试题中涉及“分类讨论”的问题十分常见，因为这类试题不仅考查我们的数学基本知识与方法，而且考查了我们思维的深刻性，所以我们在平时的教学、学习中，尤其是在中考复习时，对“分类讨论”的数学思想要逐步渗透，要努力掌握好这种数学思想方法，从而提高解题能力。
（责任编辑：李建军）
一、 分类讨论的定义
分类讨论思想又称“逻辑化分思想”，它是把所要研究的数学对象划分为若干不同的情形，然后再分别研究和求解的一种数学思想。分类讨论思想在中考中占有十分重要的地位，相关习题具有明显的逻辑性、综合性、探索性的特点，难度有易、有中、也有难。题型可涉及任何一种题型，知识领域方面，可以无孔不入的渗透到每个数学领域。每个数学结论都有其成立的条件，每一种数学方法的使用也往往有其适用范围，在我们所遇到的数学问题中，有些问题的结论不是唯一确定的，有些问题的结论在解题中不能以统一的形式进行研究，还有些问题的已知量是用字母表示数的形式给出的，这样字母的取值不同也会影响问题的解决，由上述几类问题可知，就其解题方法及转化手段而言都是一致的，即把所有研究的问题根据题目的特点和要求，分成若干类，转化成若干个小问题来解决，这种按不同情况分类，然后再逐一研究解决的数学思想，称之为分类讨论思想。
分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决.分类讨论题覆盖知识点较多，利于考查学生的知识面、分类思想和技巧；同时方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，树立分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧、做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论.”
二、 分类讨论的原则
（1） 同一性原则。分类应按同一标准进行，即每次分类不能同时使用几个不同的分类根据。
例1 有些同学把三角形分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形、不等边三角形、等腰三角形。这个分类就不正确了，因为这个分类同时使用了按边和按角两个分类标准。事实上，等腰三角形可以是锐角三角形，也可以是直角三角形，还可以是钝角三角形；而钝角三角形、直角三角形、锐角三角形可以是等腰三角形，也可以是不等腰三角形。这样的划分是混乱的。
（2） 互斥性原则。分类后的每个子项应当互不相容，即做到各子项相互排斥，也就是分类后不能有一些事物既属于这个子项，又属于另一个子项。即要做到不重复。例如：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判别式b2-4ac，分b2-4ac>0，b2-4ac=0，b2-4ac<0三种情况
（3） 相称性原则。分类应当相称，即划分后子项外延的总和（并集），应当与母项的外延相等。即要做到不遗漏。
例2 解不等式ax >2a
如果不加区分，得x>2，那就不对了。事实上，既可以a>0，或是a=0，也可以a<0。
当a>0时，则x>2；？摇 当a=0时，原不等式为0·x>0，故不等式无解；？摇？摇当a<0时，则x<2。
这里将a划分成三类：a>0，a=0，a<0，分别处理，才获得正确的解。
（4） 多层次性原则。分类有一次分类和多次分类之分。一次分类是对被讨论对象只分类一次；多次分类是把分类后所得的子项作为母项，再进行分类，直至满足需要为止。有些对象的分类情况比较复杂，这时常采用“二分法”来分类，就是按对象有无某性质来进行分类。按“二分法”作分类，就是把讨论对象的外延一直分为两个互相矛盾的概念，一直分到不必再分为止。
例3 （盐城市2011年压轴题）如图，已知一次函数y=-x+7与正比例函数y？摇=x的图象交于点A，且与x轴交于点B.
（1） 求点A和点B的坐标；
（2） 过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l∥y轴.动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O—C—A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q.当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动.在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒.
① 当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？
② 是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由.
分析： 第（2）题的第②小题，要分Q点BA上、Q点AO上，然后再分别分三种情况讨论等腰三角形
三、 分类讨论产生的时机
（1） 涉及的数学概念是分类定义的
有些数学概念是分类定义的（如实数的绝对值），所以应用这些概念解题时，就需进行分类讨论。有些数学概念在下定义时已经对所考虑的对象的范围作了限制（如二次函数，要求二次项系数不为零），当解题过程的变换需要突破这些限制时，就必须分类讨论。
例4 （盐城市2010年压轴题）已知：函数y=ax2+x+1的图象与x轴只有一个公共点.
（1） 求这个函数关系式；
（2） 如图所示，设二次函数y=ax2+x+1图象的顶点为B，与y轴的交点为A，P为图象上的一点，若以线段PB为直径的圆与直线AB相切于点B，求P点的坐标；
（3） 在（2）中，若圆与x轴另一交点关于直线PB的对称点为M，试探索点M是否在抛物线y=ax2+x+1上，若在抛物线上，求出M点的坐标；若不在，请说明理由.
分析： 第一小题要分类讨论，分a=0和a≠0两种情况
（2） 运算公式、法则、性质是分类给出的
有些数学运算的实施需要一定的条件（如零不能作除数，不等式两边同乘以或除以某数时必须考虑正负等等），若在运算中要突破该运算的限制条件，就要进行分类讨论。
（3） 几何图形的形状、位置的变化会引起不同的结果
有些几何问题，因图形的位置不能确定或形状不能确定，就必须分类全面讨论。 例5 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交与A、B两点，与y轴交C点，A点坐标为（-3，0）、B点坐标为（1，0），且△ABC的面积为6，求该二次函数的关系式.
分析： 因为根据面积求得OC=3，所以C点坐标可以在（0，3）或（0，-3）
（4） 实际问题的实际意义决定需要分类讨论
有些题目中的条件开放，致使求解结果不唯一，若对这类问题考虑不全面，时常发生漏解现象。
例6 甲、乙两人在环形跑道上练习跑步，已知环形跑道一圈长400m，乙每秒钟跑6m，甲的速度是乙的倍。现在甲、乙两人在跑道上相距8m处同时出发，问经过多少秒钟后，两人首次相遇？
分析： 本题既不明确甲、乙两人在环形跑道上是同向还是反向跑步，也不知同向跑步时谁在前谁在后，或反向跑步时两人之间的距离是面对面的距离还是对背的距离，所以解题时应分类讨论，逐一求解：
设经过x秒甲、乙两人首次相遇
① 若两人同向跑步，且甲在乙的前面8m，则×6x-6x=400-8，解得x=196；
② 若两人同向跑步，且乙在甲前面8m，则×6x-6x=8，解得x=4；
③ 若两人反向跑步，面对面相距8m，则×6x+6x=8，解得x= ；
④ 若两人反向跑步，且背对背相距8m，则×6x+6x=400-8，解得x=28。
答：略。
四、需要分类的知识点大致有
绝对值a的概念，根式的性质，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的判别式b2-4ac的符号与根的情况，二次函数y=ax
2+bx+c（a≠0）二次项系数的正负和抛物线开口方向，反比例函数y=
（k≠0）中的比例系数k，正比例函数y=kx（k≠0）中的比例系数k，一次函数y=kx+b（k≠0）中的k和b、不等式性质中两边同时乘以正数与负数对不等号方向的影响，动点问题中对动点位置的讨论等。
五、分类讨论的好处
一方面可将复杂的问题分解成若干个简单的问题，另一方面恰当的分类可避免丢值漏解，从而提高全面考虑问题的能力，提高周密严谨的数学教养。
六、结合数形结合思想的运用
“数无形，少直观；形无数，难入微”，利用“数形结合”可使所要研究的问题化难为易，化繁为简。把代数和几何相结合，例如对几何问题用代数方法解答，对代数问题用几何方法解答，这种方法在解析几何里最常用。
总之，分类讨论几乎渗透到数学中的每一个角落，按初中数学知识体系，主要分布在：代数式中的分类讨论、方程中的分类讨论、不等式中的分类讨论、函数中的分类讨论、应用题中的分类讨论、几何图形（点、线、三角形、四边形、圆）中的分类讨论。分类讨论问题解决的关键是弄清引起分类讨论的原因，明确分类讨论的对象和标准。不同的标准分类的结果也不同，分析其可能产生的诸种情况，并由此展开讨论，做到不遗漏不重复，再将不同结论综合归纳得出正确结果。分类讨论思想是解答数学问题的一种重要思想方法和解题策略。分类研究的思想方法，可使学生运用已知信息进行开放性的联想，深化对知识的理解，培养学生思维的灵活性、严密性和创造性。运用分类讨论的思想解题，一方面可将复杂的问题分解成若干个简单的问题，另一方面恰当的分类可避免丢值漏解，从而提高全面考虑问题的能力，提高周密严谨的数学教养。近年来，在各地中考试题中涉及“分类讨论”的问题十分常见，因为这类试题不仅考查我们的数学基本知识与方法，而且考查了我们思维的深刻性，所以我们在平时的教学、学习中，尤其是在中考复习时，对“分类讨论”的数学思想要逐步渗透，要努力掌握好这种数学思想方法，从而提高解题能力。
（责任编辑：李建军）