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摘 要：数学课堂要让学生经历生活问题数学化的过程，让他们在对生活中的具体形象事物的感受、感知的基础上抽象数学知识、沟通知识间的内在联系、把握数学实质、理解掌握数学思想方法，最终返回生活解决实际问题。让学生在高密度的思维中提高问题解决能力，发展学生的数学思考能力。
关键词：横向数学化；纵向数学化；思考能力
数学化是人们运用数学的方法观察现实世界，分析研究各种具体现象，并加以组织整理，以发现其规律的过程。按照荷兰数学教育家弗赖登塔尔对数学化的分类，数学化分成横向数学化和纵向数学化。
引用王永老师的一段话：数学的产生与发展有两种不竭的动力。一是解决现实问题的需要，由此生成的是数学与现实生活的联系；二是数学理论本身发展的需要，由此生成的是抽象的数学知识之间的联系。也可以这样理解：与前者对应的数学活动，“把生活世界引向符号世界”，是生活与数学的联系过程，是横向数学化；与后者对应的，即抽象的数学知识之间的归纳、概括、推理、论证、推广、引伸等，则是纵向的数学化。横向数学化与纵向数学化作为两种数学活动，对于数学教育来说具有同等的地位。
运用这种理论框架，我们通过对《重叠问题》这节课的赏析，发现它的教育价值，找到改进数学教学、发展学生数学思考能力的有效策略。
案例呈现：小学三年级数学下册《重叠问题》（人教版）
教师对教材的教学情境作适当创编，主要的教学流程摘要如下：
● 出示喜報：三（1）班书画7人获奖，民乐获奖5人，问：
1、一共有多少人获奖？2、到底有多少人获奖？3、为什么不一定是12人？
● 分项目出示获奖的具体名单。4、观察名单你有什么发现？
● 整理名单，要求能看出两个项目各自获奖的人数和都获奖人数。
● 摆一摆、圈一圈或画一画，学生交流反馈。
● 引入韦恩图，解读韦恩图。（图中*号，表示学生姓名，下同。）
● 出示另外一份喜报：三（2）班书画获奖6人，民乐获奖8人，猜一猜，一共有多少人获奖？
● 把自己的猜测用韦恩图表示出来，并交流反馈。课件动态演示韦恩图变化过程。
结论：获奖人数的范围在14至8之间。
● 现场调查：本课对自己满意人数 对老师满意人数 都满意人数 都不满意人数
6、都不满意的人用韦恩图要怎么画？
案例赏析：
本课是一个比较典型的数学化教学模式课例，它让学生真正经历了：从生活问题到用韦恩图的数学符号表示两数之间关系的横向数学化，及把韦恩图中交集的基本形式向并集、包含、空集延伸的纵向数学化过程。
横向数学化过程中，教师创造性地将教材中原本较为数学化的表格向生活还原了一步，还原成学生在生活中见到的生活原型——喜报，从而提出问题，引发学生认知上的冲突，激发探究欲望；通过猜测与交流，让学生对这两个数据可能存在的关系有了初步的感知。出示具体获奖名单，学生不难从名单上找到重复的获奖者，验证了他们刚才的猜想；此时教师提出整理获奖名单的要求，通过摆、圈、画等活动，通过动作思维、形象思维很好地带动了抽象思维，为学生提供了经历韦恩图再创造的过程；再引入韦恩图、认识韦恩图、解读韦恩图，从而完整地建立了韦恩图的数学模型，完成横向数学化全过程。整个过程中，学生有猜测有想象、有观察有发现、有分析有综合、有抽象有具体化，思维高度活跃，集合思想得到了成功的渗透，学生的数学思考能力在这里得到一次很好的训练。
纵向数学化过程中，教师没有过多地改变问题情境，只是换了另外一个班级的喜报，内容及呈现方式相似。教学程序看似相同，还是先猜一猜可能有多少人获奖？但是，此时学生的知识背景已经有了很大的变化，原有的冲突没有了，不再是简单地把两项获奖人数相加。猜完了还要用韦恩图画出来，经过全班同学不同猜测结果的交流及韦恩图变化过程的演示，不同思维水平的学生在这个环节得到不同层次的发展：高水平的学生会比较完整地经历纵向数学化的过程，会有序地总结两个集合从并列到相交再到包含的各种情况，归纳出获奖人数的范围在14—8之间，重新建构集合的内涵与外延；中等水平的学生也许归纳得不会这么全面，但对并集、包含这样的集合关系有一个比较形象的感知，对交集位于集合大家庭中的地位有了进一步的认识；差点的学生对重叠问题作了一次内容丰富的巩固与练习，加深了对集合思想的认识。而最后环节的现场调查，除了有情感教育的因素之外，教师着眼于让学生带着问题离开教室，让学有余力的或是对集合有浓厚兴趣的学生继续去探索集合世界的奥秘，为他们提供了一个迈向更高境界的台阶，成功地把纵向数学化从课内引向课外。整个纵向数学化过程，学生的思维有梯度、有层次，知识结构得到了新的梳理与建构，集合思想进一步在学生的头脑中打下烙印，学生的思维活跃度被再次地推向了高潮，数学思考能力得到有效的培养。
案例提供我们的主要行动策略是：
1. 原型启发。原型就是指对问题解决有启发作用的事物。人们可以将原型某些特点，类推到所遇到的问题上，从而导致问题的解决。把情境尽可能的向生活延伸，使得其更接近生活原型，拉开了实际问题与数学符号之间的距离，这样可能会给横向数学化过程增加难度，但它能让学生感受到数学与生活的密切联系，同时也为学生以后的数学思考提供活生生的、完整的原型探究经验，利于数学思考能力与问题解决能力的培养。
2. 问题情境设计。问题情境是指问题呈现的方式，当问题的呈现方式越符合人们的经验或知觉的习惯，人们就越易于知觉问题情境，问题的解决也就越容易。横向数学化过程中生活原型与数学结论会有较大的思维跨度，情境的设计不能有太多的繁杂因素，把学生的思考引向歧途，干扰数学化过程。在某一知识纵向数学化的过程中，情境尽可能与横向数学化过程的情境一致，使学生在纵深的思维过程中注意力不致分散，影响学生数学思考的深度。
3. 关注全体。横向、纵向数学化本身对于小学生的思维来说较为抽象，在基于数学化策略考虑时，要尽可能地面向全体学生，要结合班级学生的实际思维水平与课堂学生学习的实际情况，准确把握不同学生思维的度，让不同思考能力的学生得到不同层次的发展。
作者简介：
潘国忠（1969-），男，福建莆田人，汉族，福建省莆田市湄洲湾北岸忠门中心小学数学教研员，从事小学数学教育教学研究工作十几年，对小学数学课堂教学有深层研究，作课及讲座颇受同行的认可与推崇。
关键词：横向数学化；纵向数学化；思考能力
数学化是人们运用数学的方法观察现实世界，分析研究各种具体现象，并加以组织整理，以发现其规律的过程。按照荷兰数学教育家弗赖登塔尔对数学化的分类，数学化分成横向数学化和纵向数学化。
引用王永老师的一段话：数学的产生与发展有两种不竭的动力。一是解决现实问题的需要，由此生成的是数学与现实生活的联系；二是数学理论本身发展的需要，由此生成的是抽象的数学知识之间的联系。也可以这样理解：与前者对应的数学活动，“把生活世界引向符号世界”，是生活与数学的联系过程，是横向数学化；与后者对应的，即抽象的数学知识之间的归纳、概括、推理、论证、推广、引伸等，则是纵向的数学化。横向数学化与纵向数学化作为两种数学活动，对于数学教育来说具有同等的地位。
运用这种理论框架，我们通过对《重叠问题》这节课的赏析，发现它的教育价值，找到改进数学教学、发展学生数学思考能力的有效策略。
案例呈现：小学三年级数学下册《重叠问题》（人教版）
教师对教材的教学情境作适当创编，主要的教学流程摘要如下：
● 出示喜報：三（1）班书画7人获奖，民乐获奖5人，问：
1、一共有多少人获奖？2、到底有多少人获奖？3、为什么不一定是12人？
● 分项目出示获奖的具体名单。4、观察名单你有什么发现？
● 整理名单，要求能看出两个项目各自获奖的人数和都获奖人数。
● 摆一摆、圈一圈或画一画，学生交流反馈。
● 引入韦恩图，解读韦恩图。（图中*号，表示学生姓名，下同。）
● 出示另外一份喜报：三（2）班书画获奖6人，民乐获奖8人，猜一猜，一共有多少人获奖？
● 把自己的猜测用韦恩图表示出来，并交流反馈。课件动态演示韦恩图变化过程。
结论：获奖人数的范围在14至8之间。
● 现场调查：本课对自己满意人数 对老师满意人数 都满意人数 都不满意人数
6、都不满意的人用韦恩图要怎么画？
案例赏析：
本课是一个比较典型的数学化教学模式课例，它让学生真正经历了：从生活问题到用韦恩图的数学符号表示两数之间关系的横向数学化，及把韦恩图中交集的基本形式向并集、包含、空集延伸的纵向数学化过程。
横向数学化过程中，教师创造性地将教材中原本较为数学化的表格向生活还原了一步，还原成学生在生活中见到的生活原型——喜报，从而提出问题，引发学生认知上的冲突，激发探究欲望；通过猜测与交流，让学生对这两个数据可能存在的关系有了初步的感知。出示具体获奖名单，学生不难从名单上找到重复的获奖者，验证了他们刚才的猜想；此时教师提出整理获奖名单的要求，通过摆、圈、画等活动，通过动作思维、形象思维很好地带动了抽象思维，为学生提供了经历韦恩图再创造的过程；再引入韦恩图、认识韦恩图、解读韦恩图，从而完整地建立了韦恩图的数学模型，完成横向数学化全过程。整个过程中，学生有猜测有想象、有观察有发现、有分析有综合、有抽象有具体化，思维高度活跃，集合思想得到了成功的渗透，学生的数学思考能力在这里得到一次很好的训练。
纵向数学化过程中，教师没有过多地改变问题情境，只是换了另外一个班级的喜报，内容及呈现方式相似。教学程序看似相同，还是先猜一猜可能有多少人获奖？但是，此时学生的知识背景已经有了很大的变化，原有的冲突没有了，不再是简单地把两项获奖人数相加。猜完了还要用韦恩图画出来，经过全班同学不同猜测结果的交流及韦恩图变化过程的演示，不同思维水平的学生在这个环节得到不同层次的发展：高水平的学生会比较完整地经历纵向数学化的过程，会有序地总结两个集合从并列到相交再到包含的各种情况，归纳出获奖人数的范围在14—8之间，重新建构集合的内涵与外延；中等水平的学生也许归纳得不会这么全面，但对并集、包含这样的集合关系有一个比较形象的感知，对交集位于集合大家庭中的地位有了进一步的认识；差点的学生对重叠问题作了一次内容丰富的巩固与练习，加深了对集合思想的认识。而最后环节的现场调查，除了有情感教育的因素之外，教师着眼于让学生带着问题离开教室，让学有余力的或是对集合有浓厚兴趣的学生继续去探索集合世界的奥秘，为他们提供了一个迈向更高境界的台阶，成功地把纵向数学化从课内引向课外。整个纵向数学化过程，学生的思维有梯度、有层次，知识结构得到了新的梳理与建构，集合思想进一步在学生的头脑中打下烙印，学生的思维活跃度被再次地推向了高潮，数学思考能力得到有效的培养。
案例提供我们的主要行动策略是：
1. 原型启发。原型就是指对问题解决有启发作用的事物。人们可以将原型某些特点，类推到所遇到的问题上，从而导致问题的解决。把情境尽可能的向生活延伸，使得其更接近生活原型，拉开了实际问题与数学符号之间的距离，这样可能会给横向数学化过程增加难度，但它能让学生感受到数学与生活的密切联系，同时也为学生以后的数学思考提供活生生的、完整的原型探究经验，利于数学思考能力与问题解决能力的培养。
2. 问题情境设计。问题情境是指问题呈现的方式，当问题的呈现方式越符合人们的经验或知觉的习惯，人们就越易于知觉问题情境，问题的解决也就越容易。横向数学化过程中生活原型与数学结论会有较大的思维跨度，情境的设计不能有太多的繁杂因素，把学生的思考引向歧途，干扰数学化过程。在某一知识纵向数学化的过程中，情境尽可能与横向数学化过程的情境一致，使学生在纵深的思维过程中注意力不致分散，影响学生数学思考的深度。
3. 关注全体。横向、纵向数学化本身对于小学生的思维来说较为抽象，在基于数学化策略考虑时，要尽可能地面向全体学生，要结合班级学生的实际思维水平与课堂学生学习的实际情况，准确把握不同学生思维的度，让不同思考能力的学生得到不同层次的发展。
作者简介：
潘国忠（1969-），男，福建莆田人，汉族，福建省莆田市湄洲湾北岸忠门中心小学数学教研员，从事小学数学教育教学研究工作十几年，对小学数学课堂教学有深层研究，作课及讲座颇受同行的认可与推崇。