论文部分内容阅读
摘要：问题情境的设计应以数学核心素养的培养为目标，充分的理解教材的设置与学生的学情，以学生为中心，以数学情境，相关联的问题情境，综合性的问题情境层层递进的思路去支持数学教学。分享数学归纳法的四种问题情境设计的思考，期待能充分的运用问题情境的设计，更好地促进学生的数学核心素养水平的提高。
关键词：核心素养;问题情境;数学归纳法;类比思考
《普通高中数学课程标准》（2017年版）明确指出：“数学学科核心素养是数学课程目标的集中体现，是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现，是在数学学习和应用的过程中逐步形成和发展的。”可是著名的数学教育家弗赖登塔尔是这样描述数学的表达形式：“没有一种数学的思想，以它被发现时的那个样子公开发表出来，一个问题被解决后，相应地发展为一种形式化技巧，结果把求解过程丢在一边，使得火热的发明变成冰冷的美丽。”因此教师应当结合教学任务，设计好合适的问题情境，才能更好的展示数学本质，促使学生的数学核心素养得到更快的发展。数学归纳法是高中渗透辩证思维的好题材，更是培养学生直观想像能力，数学抽象能力等核心素养的好教材，以下例举数学归纳法教学中的四种问题情境的设计，分析其对学生的核心素养培养的合理性及有效性，以期能达到抛砖引玉的效果。
问题情境一：上课伊始，让学生观看多米诺骨牌的视频，类比引出数学归纳法。这是经典的照本宣科的现实情境，根本谈不上问题情境的“设计”，很突兀的将数学归纳法与多米诺骨牌联系在一起，给人一种“掐头去尾烧中段”的教学感觉，它不仅忽视了数学发展对学生的价值以及数学知识之间的内在逻辑，同时也导致的学生只会机械模仿，使数学学习活动变成纯粹的、单一的解题训练。另外从学科上来说数学归纳法要证明的是无限的问题，虽说教材给出的是有限的问题解决实例，但教师应明白，教材是静态、固化的呈现编者事先预设的教学思路，不能够太过精细，而教师需要根据学生的状态重新再进行建设性的设计。教育心理学家皮亚杰认为：“思维是从动作开始的，切断了动作和思维之间的联系，思维就得不到发展。”看的只是热闹，做的才是思考的表象，故个人觉得将多米诺骨牌的活动设计成操作情境，利用多米诺骨牌让学生动手实验操作，体会数学归纳法的形成过程，这样才能对学生分析能力更有帮助，更加促进学生核心素养的发展。
问题情境二：首先，由教师提出问题：“回顾学过知识，是否有遇到过概念形成或定理证明过程中体现无限问题有限化的例证？”请学生作答。引导学生从函数的单调性的定义证明，直线线垂直于平面的判定定理等等知识来类比数学归纳法的无限与有限的辩证认识;其次，辅以多米诺骨牌的学生动手实验操作，抽象数学归纳法的数学语言表达。
这是一种开门见山式的教学引入设计，能从数学学科的知识与学生学习的最近发展区入手，这是不错的数学情境设计，较前面一种是一个进步，至少看起来学生能够在熟悉的数学情境中，能够通过熟悉的例子理解归纳推理，识别类比推理;有助于推动学生达到逻辑推理的核心素养的培养水平一的标准。但顯然存在一个不足，即：数学的问题是教师提出的，学生并不能理解教师为何要提出这个问题，于是学生学习的主动性没有被调动起来，同时枯燥的数学问题也不易引起学生学习情感上的共鸣，展现在学生面前的只有教师单薄的境，没有生动的情，虽学起于师思，但思不源于学疑，故还不是合适的问题情境的设计。
问题情境三：首先，请学生欣赏一组优美的云之风景，再采用慢动作式的播放山顶飘来的白云，第1朵是白云，第2朵是白云，第3朵是白云，……，请学生用数学的眼光来观察此风景并设计一个数学问题，显然学生马上就提出“第n朵是白云吗？”于是水到渠成的引出无限的问题，引导学生定向的思考无限的问题有限化;其次，让学生回忆学习过的知识，是否有概念界定或定理证明的无限向有限化的例证？最后，辅以多米诺骨牌的学生动手实验操作，抽象数学归纳法的数学语言表达。
此设计可以说是有了基本的关联问题情境设计的要素，较前两种的设计来说优点在于，在愉快的情境中让学生自觉的生出了一个简单的数学问题，并且利用自然界中的真正的无限问题中自然而然的引出了无限问题的解决方向，体现数学来自于现实的生活，让学生更愿意亲近数学;从学科上来说，让学生能够在特例的基础上归纳并形成简单的数学命题，能够模仿学过的数学方法解决简单问题，达到了数学抽象核心素养培养的水平一的标准，又能够通过熟悉的例子理解归纳推理，识别类比推理;也达到了逻辑推理的核心素养培养的水平一的标准。能够在关联的情境中，抽象出一般的数学规则，确定运随机现象，发现问题并提出或转化为数学问题，达到了总体评价标准水平二。但从科学情境的设计上说，这设计还是没达到合理的程度，因为“第n朵是白云”是无法用数学归纳证明，故从数学的科学性上还不够完美的。
问题情境四：首先，请学生观看一组优美的云之风景，感叹山河秀丽，再慢动作的播放山顶飘来的白云，第一朵白云，第二朵白云，第三朵白云，……，请学生用数学的眼光来观察风景并设计一个数学问题并回答;其次，用延迟摄影手段来播放小朋友看到东方升起的太阳，第一天太阳是从东边升起，第二天太阳是从东边升起，第三天太阳还是从东边升起，……，小朋友得出一个判断：“每天太阳是从东边升起？”，请学生帮助作答，并分析原由，同时比较说明两者的不同;再次，用ppt动画展示一场景，广场走来第一个人，一白眉白须的老人家自称“姓林”， 接着来了第二个人，一中年人也自称“姓林”，接着又来第三人，一青年人也自称“姓林”，于是最后来了一个少年，问“姓什么”，请学生回答，于是学生直觉的认为“少年不知道姓什么”，于是教师来一个简单的追问：“如何能确保此少年姓林呢？甚至此四人以及某一批人均姓林呢？”在对比，讨论后，学生得到“家族”“血统”“传承”，由此得到数学归纳法最关键也最难以突破的“递推”需要;然后再让学生回忆旧知，类比思考;最后，辅以多米诺骨牌的学生动手实验操作，抽象数学归纳法的数学语言表达。 此情此景才是有效的问题情境的设计，教师真正的从生活中来思考数学归纳法，创造合适的条件，提供自然界的与人类生活中的恰当和生动例子，让学生不由自主的在自我的思考与同学的交流过程中自己“再创造”了数学归纳法的自然产生的过程。两种自然界的现象在学生用数学的思维的分析下产生了的不同的效果，“第n朵是白云吗？”回答是不确定的，而“每天太阳是从东边升起吗？”回答是确定的，于是在矛盾冲突的火热场面中，让学生来了一个冷静的思考，真正的调动学生的学习积极性，得到了能进行推断的暗线是事件中的“背后的推手”——递推;接着展现学生生活中常见的姓氏问题，让学生在微微一笑中，轟然打开了一道直指数学归纳法的本质的大门，于是水到渠成的让“递推”的“黑手”走到了学生的面前，真正的将数学归纳法的学习落实到了观察、归纳、类比、猜想、实验、证明的科学发生与发展的过程，让学生能够在综合的情境中，发现其中蕴含的数学关系，用数学的眼光找到合适的研究对象，用恰当的数学语言予以表达，并运用数学思维进行分析，提出数学问题;能够在得到的数学结论基础上形成新命题，达到数学学业质量水平（六个数学学科核心素养水平的综合表现）的水平三的标准了。
认知学习理论家布鲁纳说过：数学知识不是一个简单的结果，而是一个过程.因此教师应当要积极的利用问题情境的设计，将数学知识进行二次制作，与学生一起编织一幅三维立体的数学学习画卷。同样的张奠宙教授曾经谈到：数学教学的目标之一是要把数学知识的学术形态转化为教育形态，通过数学知识的教育形式散发出数学的巨大魅力，体现数学的价值，揭示数学的本质，感染学生，激励学生，让数学“冰冷的美丽”唤发学生“火热的思考”。因此教师更应当以数学教材为剧本，以课程标准为指导，充分的营造一种迷人的问题情境，一种能引起学生最强烈的思考动机和最佳的思维定向的情境，让数学课堂成为学生放飞思维的舞台，让学生成为舞台上的主角，去感受数学发生、发展的过程，去演译数学的本质，去触动其内心与数学的共振，去升华自我的数学理性精神，而教师自己则隐隐的藏于课堂的幕后，成为推动学生飞翔的风。只有这样，才能从根本上达到培养学生的数学核心素养。
参考文献：
[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版） [S].北京：人民教育出版社，2018.
[2]章建跃.理解数学，理解学生，理解教学[J]. 中国数学教育：高中版，2010（12）：3-7.
[3]张奠宙，王振辉.关于数学的学术形态和教育形态——谈“热的思考”与“冰冷的美丽” [J]. 数学教育学报，2002（5）：（1-4）.
[4]史宁中，林玉慈，陶剑，郭民.关于高中数学教育中的数学核心素养[J].课程·教材·教法（京），2017（4）：3-8.
关键词：核心素养;问题情境;数学归纳法;类比思考
《普通高中数学课程标准》（2017年版）明确指出：“数学学科核心素养是数学课程目标的集中体现，是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现，是在数学学习和应用的过程中逐步形成和发展的。”可是著名的数学教育家弗赖登塔尔是这样描述数学的表达形式：“没有一种数学的思想，以它被发现时的那个样子公开发表出来，一个问题被解决后，相应地发展为一种形式化技巧，结果把求解过程丢在一边，使得火热的发明变成冰冷的美丽。”因此教师应当结合教学任务，设计好合适的问题情境，才能更好的展示数学本质，促使学生的数学核心素养得到更快的发展。数学归纳法是高中渗透辩证思维的好题材，更是培养学生直观想像能力，数学抽象能力等核心素养的好教材，以下例举数学归纳法教学中的四种问题情境的设计，分析其对学生的核心素养培养的合理性及有效性，以期能达到抛砖引玉的效果。
问题情境一：上课伊始，让学生观看多米诺骨牌的视频，类比引出数学归纳法。这是经典的照本宣科的现实情境，根本谈不上问题情境的“设计”，很突兀的将数学归纳法与多米诺骨牌联系在一起，给人一种“掐头去尾烧中段”的教学感觉，它不仅忽视了数学发展对学生的价值以及数学知识之间的内在逻辑，同时也导致的学生只会机械模仿，使数学学习活动变成纯粹的、单一的解题训练。另外从学科上来说数学归纳法要证明的是无限的问题，虽说教材给出的是有限的问题解决实例，但教师应明白，教材是静态、固化的呈现编者事先预设的教学思路，不能够太过精细，而教师需要根据学生的状态重新再进行建设性的设计。教育心理学家皮亚杰认为：“思维是从动作开始的，切断了动作和思维之间的联系，思维就得不到发展。”看的只是热闹，做的才是思考的表象，故个人觉得将多米诺骨牌的活动设计成操作情境，利用多米诺骨牌让学生动手实验操作，体会数学归纳法的形成过程，这样才能对学生分析能力更有帮助，更加促进学生核心素养的发展。
问题情境二：首先，由教师提出问题：“回顾学过知识，是否有遇到过概念形成或定理证明过程中体现无限问题有限化的例证？”请学生作答。引导学生从函数的单调性的定义证明，直线线垂直于平面的判定定理等等知识来类比数学归纳法的无限与有限的辩证认识;其次，辅以多米诺骨牌的学生动手实验操作，抽象数学归纳法的数学语言表达。
这是一种开门见山式的教学引入设计，能从数学学科的知识与学生学习的最近发展区入手，这是不错的数学情境设计，较前面一种是一个进步，至少看起来学生能够在熟悉的数学情境中，能够通过熟悉的例子理解归纳推理，识别类比推理;有助于推动学生达到逻辑推理的核心素养的培养水平一的标准。但顯然存在一个不足，即：数学的问题是教师提出的，学生并不能理解教师为何要提出这个问题，于是学生学习的主动性没有被调动起来，同时枯燥的数学问题也不易引起学生学习情感上的共鸣，展现在学生面前的只有教师单薄的境，没有生动的情，虽学起于师思，但思不源于学疑，故还不是合适的问题情境的设计。
问题情境三：首先，请学生欣赏一组优美的云之风景，再采用慢动作式的播放山顶飘来的白云，第1朵是白云，第2朵是白云，第3朵是白云，……，请学生用数学的眼光来观察此风景并设计一个数学问题，显然学生马上就提出“第n朵是白云吗？”于是水到渠成的引出无限的问题，引导学生定向的思考无限的问题有限化;其次，让学生回忆学习过的知识，是否有概念界定或定理证明的无限向有限化的例证？最后，辅以多米诺骨牌的学生动手实验操作，抽象数学归纳法的数学语言表达。
此设计可以说是有了基本的关联问题情境设计的要素，较前两种的设计来说优点在于，在愉快的情境中让学生自觉的生出了一个简单的数学问题，并且利用自然界中的真正的无限问题中自然而然的引出了无限问题的解决方向，体现数学来自于现实的生活，让学生更愿意亲近数学;从学科上来说，让学生能够在特例的基础上归纳并形成简单的数学命题，能够模仿学过的数学方法解决简单问题，达到了数学抽象核心素养培养的水平一的标准，又能够通过熟悉的例子理解归纳推理，识别类比推理;也达到了逻辑推理的核心素养培养的水平一的标准。能够在关联的情境中，抽象出一般的数学规则，确定运随机现象，发现问题并提出或转化为数学问题，达到了总体评价标准水平二。但从科学情境的设计上说，这设计还是没达到合理的程度，因为“第n朵是白云”是无法用数学归纳证明，故从数学的科学性上还不够完美的。
问题情境四：首先，请学生观看一组优美的云之风景，感叹山河秀丽，再慢动作的播放山顶飘来的白云，第一朵白云，第二朵白云，第三朵白云，……，请学生用数学的眼光来观察风景并设计一个数学问题并回答;其次，用延迟摄影手段来播放小朋友看到东方升起的太阳，第一天太阳是从东边升起，第二天太阳是从东边升起，第三天太阳还是从东边升起，……，小朋友得出一个判断：“每天太阳是从东边升起？”，请学生帮助作答，并分析原由，同时比较说明两者的不同;再次，用ppt动画展示一场景，广场走来第一个人，一白眉白须的老人家自称“姓林”， 接着来了第二个人，一中年人也自称“姓林”，接着又来第三人，一青年人也自称“姓林”，于是最后来了一个少年，问“姓什么”，请学生回答，于是学生直觉的认为“少年不知道姓什么”，于是教师来一个简单的追问：“如何能确保此少年姓林呢？甚至此四人以及某一批人均姓林呢？”在对比，讨论后，学生得到“家族”“血统”“传承”，由此得到数学归纳法最关键也最难以突破的“递推”需要;然后再让学生回忆旧知，类比思考;最后，辅以多米诺骨牌的学生动手实验操作，抽象数学归纳法的数学语言表达。 此情此景才是有效的问题情境的设计，教师真正的从生活中来思考数学归纳法，创造合适的条件，提供自然界的与人类生活中的恰当和生动例子，让学生不由自主的在自我的思考与同学的交流过程中自己“再创造”了数学归纳法的自然产生的过程。两种自然界的现象在学生用数学的思维的分析下产生了的不同的效果，“第n朵是白云吗？”回答是不确定的，而“每天太阳是从东边升起吗？”回答是确定的，于是在矛盾冲突的火热场面中，让学生来了一个冷静的思考，真正的调动学生的学习积极性，得到了能进行推断的暗线是事件中的“背后的推手”——递推;接着展现学生生活中常见的姓氏问题，让学生在微微一笑中，轟然打开了一道直指数学归纳法的本质的大门，于是水到渠成的让“递推”的“黑手”走到了学生的面前，真正的将数学归纳法的学习落实到了观察、归纳、类比、猜想、实验、证明的科学发生与发展的过程，让学生能够在综合的情境中，发现其中蕴含的数学关系，用数学的眼光找到合适的研究对象，用恰当的数学语言予以表达，并运用数学思维进行分析，提出数学问题;能够在得到的数学结论基础上形成新命题，达到数学学业质量水平（六个数学学科核心素养水平的综合表现）的水平三的标准了。
认知学习理论家布鲁纳说过：数学知识不是一个简单的结果，而是一个过程.因此教师应当要积极的利用问题情境的设计，将数学知识进行二次制作，与学生一起编织一幅三维立体的数学学习画卷。同样的张奠宙教授曾经谈到：数学教学的目标之一是要把数学知识的学术形态转化为教育形态，通过数学知识的教育形式散发出数学的巨大魅力，体现数学的价值，揭示数学的本质，感染学生，激励学生，让数学“冰冷的美丽”唤发学生“火热的思考”。因此教师更应当以数学教材为剧本，以课程标准为指导，充分的营造一种迷人的问题情境，一种能引起学生最强烈的思考动机和最佳的思维定向的情境，让数学课堂成为学生放飞思维的舞台，让学生成为舞台上的主角，去感受数学发生、发展的过程，去演译数学的本质，去触动其内心与数学的共振，去升华自我的数学理性精神，而教师自己则隐隐的藏于课堂的幕后，成为推动学生飞翔的风。只有这样，才能从根本上达到培养学生的数学核心素养。
参考文献：
[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版） [S].北京：人民教育出版社，2018.
[2]章建跃.理解数学，理解学生，理解教学[J]. 中国数学教育：高中版，2010（12）：3-7.
[3]张奠宙，王振辉.关于数学的学术形态和教育形态——谈“热的思考”与“冰冷的美丽” [J]. 数学教育学报，2002（5）：（1-4）.
[4]史宁中，林玉慈，陶剑，郭民.关于高中数学教育中的数学核心素养[J].课程·教材·教法（京），2017（4）：3-8.