摘 要:讨论了两个函数值的大小与其导数大小的关系,并给出已知两个可导函数的大小及两个函数值在某一点的大小的条件下,两个函数在一区间上的大小关系。
　　关键词:函数 导数 可导 区间
　　中图分类号:O1 文献标识码:A 文章编号:1674-098X(2011)03(c)-0161-01
　　
　　给定两函数和,且和在区间上都可导。若时,,是否就有时,。若时,,是否就有时,。下面先看两个例子:
　　例1:设,,。当时,有,但。
　　例2:设,,。
　　当时,有,但。
　　由上两例知两函数值的大小与其导数的大小没有必然的联系。即函数值大的不一定导数就大;导数较大的不一定函数值就大，由于函数的导数是函数的变化率,如果适当增加条件,两函数值的大小与其导数的大小是否应有一定的联系？下面通过定理来说明。
　　定理1:设和在上连续,在内可导且,若,则。
　　[证一]:若。
　　由于,故有。由于的任意性,所以有。
　　若,。
　　和在区间上满足柯西中值定理条件,可得:
　　其中。由上式可得:
　　即
　　由于的任意性,所以有。
　　若,。
　　和在区间上满足柯西中值定理条件,可得:
　　其中。由上式可得:
　　即
　　由于的任意性,所以有。證毕。
　　[证二]:设。
　　当时,
　　则函数在区间上严格递增。即
　　即。
　　定理2:设和在上连续,在内可导且,若,则。
　　证:设。
　　当时,
　　则函数在区间上严格递增。
　　当。
　　即。
　　由上可知,对于在某区间上可导的两个函数和,如果在此区间上总有,且已知此区间某一点函数和的函数值大小关系,我们就可确定两个函数和在此区间的子区间上的大小关系。
　　
　　参考文献
　　[1] 华东师范大学数学系.数学分析[M].高等教育出版社,2010.
　　[2] 吴赣昌.微积分[M].中国人民大学出版社,2009.
　　[3] 任亲谋.数学分析习题解析[M].陕西师范大学出版社,2004.
　　[4] 龚德恩.经济数学基础(微积分)[M].四川人民出版社,2005.
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