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摘 要：数学是研究数量关系和空间形式的科学，数和形的关系式非常密切的，“数形结合”是初中数学中的一种重要方法和解题策略。数和形结合起来，能使抽象的数学知识形象化，把数学题目中的一些抽象的数量关系转化为适当的几何图形，在具体的几何图形中寻找数量之间的联系，由此可以达到化难为简、化繁为易的目的。
关键词：数形结合 以形助数 以数解形
数学知识的教学有两条线：一条是明线，即数学知识；一条是暗线，即数学思想方法。“九年制义务教育”初中《数学教学大纲》把数学的精髓——数学思想方法纳入了基础知识范畴。初中数学新课程《标准》中，安排了“数与代数”“空间与图形”“统计与概率”“实践与综合”四个学习领域，在每一个学习领域，都离不开两要素---数与形。近观数学中考压轴题，都是代数、几何高度综合， “数形结合”作用突显。在数形结合问题中，主要有两个方面：一是“以形助数”，二是“以数解形”。下面结合以下几个问题阐述的“数形结合”在初中数学解题中的应用。
一、以形助数，化繁为易
构造几何图形解决代数与三角问题：
1、证明恒等式：
案例1 已知x、y、z、r均为正数，且x2+y2=z2
求证：rz=xy.
分析：由x2+y2=z2，自然联想到勾股定理。由 可以联想到射影定理。从而可以作出符合题设条件的图形（如图）。对照图形，由直角三角形面积的两种算法，结论的正确性一目了然。
证明：（略）
小结：涉及到与平方有关的恒等式证明问题，可构造出与之对应的直角三角形或圆，然后利用图形的几何性质去解决恒等式的证明问题。
2、求最值问题：
案例2 已知 、b均为正数，且 求 的最小值。
解：如图，作线段AB=2，在AB上截取AE= ，
EB=b，过A作AC⊥AB，且AC=2，过B作BD⊥AB，且BD=1。由勾股定理：CE= ，BD= ，原题即求CE+ED的最小值。
又如图，延长CA至G，使AG=AC，连接GE，由三角形两边之和大于第三边，则G、E、D三点共线时，GE+ED=DG最短。作出图形，延长DB至F，使BF//AG且BF=AG，连接GF.
则在Rt△DGF中，DF=1+2=3，GF=AB=2
∴CE+DE的最小值是
即 的最小值是
小结：此题由式子特点联想勾股定理，构造图形解决问题。
二、以数解形，精化解题
1、 “以数解形”，在“数与式”教学中的应用
案例3：
如图，用火柴棒按以下方式搭小鱼，搭1条小鱼用8根火柴棒，搭2条小鱼用14根，……，则搭n条小鱼需要 根火柴棒。（用含n的代数式表示）
分析：第①个图形， 8根
第②个图形， 8 +6 =1+6×1
第③个图形， 8+6+6=1+6×2
第n個图形， 8+6（n-1）=6n+2
图形规律探索题，重在考查学生的观察、分析、归纳的能力，要使学生具备这些能力，需要教师在平常教学中多引导。教学中引导学生观察分析各个图形之间变化情况是其一，另一点是此类问题还要懂得将图形变化情况数字化，找到数字与序号间一种隐性关系，从而将一个在不断变化中几何图形代数化，达到精化解题目的。
2、“以数解形”，在函数教学中的应用
案例4：
小强每月的费用都是根据上月他的家务劳动时间所得奖励加上基本生活费从父母那里获取的.若设小强每月的家务劳动时间为x小时，该月可得（即下月他可获得）的总费为y元，则y（元）和x（小时）之间的函数图像如图所示.
（1）根据图像，写出小强每月的基本生活费为多少元；父母是如何奖励小强劳动的？
（2）写出当0≤x≤20时，相对应的y与x之间的函数关系式；
（3）若小强5月份希望有250元费用，则小强4月份需做家务多少时间？
分析：（1）这是最简单的读题，根据函数图象的信息可知，小强每月的基本生活费为150元，父母的奖励方法是：如果小强每月做家务的时间不超过20小时，每小时获奖励2.5元；如果小强每月做家务的时间超过20小时， 那么20小时每小时按2.5元奖励，超过部分按每小时奖励4元奖励；
（2）根据函数图象知，当0≤x≤20时，它是一个一次函数图象，即设y与x之间的函数关系式为y=kx+b.因为点（0，150），（20，200）在函数y=kx+b上，所以函数关系式为y=2.5x+150；
（3）根据函数图象知，当x>20时，它也是一个一次函数图象，即设y与x之间的函数关系式为y=k1x+b1。因为点（20，200），（30，240）在函数y=k1x+b1上，所以函数关系式为y=4x+120，当y=250时， 4x+120=250，解得x=32.5.
评注：解从“数”到“形”的问题时，应注意观察函数图象的形状特征（包括分段函数），充分挖掘图象中的已知条件，从而确定函数的解析式，再利用函数的图象性质来解.
数学家华罗庚说得好：“数形结合百般好，隔离分家万事休，几何代数统一体，永远联系莫分离。”在教学中要注重数形结合思想方法的培养，在培养学生数形结合思想的过程中， 要充分挖掘教材内容， 将数形结合思想渗透于具体的问题中， 在解决问题中让学生正确理解 “数”与 “形” 的相对性， 使之有机地结合起来。当然， 要掌握好数形结合的思想方法并能灵活运用， 就要熟悉某些问题的图形背景， 熟悉有关数学式中各参数的几何意义， 建立结合图形思考问题的习惯， 在学习中不断摸索， 积累经验， 加深和加强对数形结合思想方法的理解和运用。
关键词：数形结合 以形助数 以数解形
数学知识的教学有两条线：一条是明线，即数学知识；一条是暗线，即数学思想方法。“九年制义务教育”初中《数学教学大纲》把数学的精髓——数学思想方法纳入了基础知识范畴。初中数学新课程《标准》中，安排了“数与代数”“空间与图形”“统计与概率”“实践与综合”四个学习领域，在每一个学习领域，都离不开两要素---数与形。近观数学中考压轴题，都是代数、几何高度综合， “数形结合”作用突显。在数形结合问题中，主要有两个方面：一是“以形助数”，二是“以数解形”。下面结合以下几个问题阐述的“数形结合”在初中数学解题中的应用。
一、以形助数，化繁为易
构造几何图形解决代数与三角问题：
1、证明恒等式：
案例1 已知x、y、z、r均为正数，且x2+y2=z2
求证：rz=xy.
分析：由x2+y2=z2，自然联想到勾股定理。由 可以联想到射影定理。从而可以作出符合题设条件的图形（如图）。对照图形，由直角三角形面积的两种算法，结论的正确性一目了然。
证明：（略）
小结：涉及到与平方有关的恒等式证明问题，可构造出与之对应的直角三角形或圆，然后利用图形的几何性质去解决恒等式的证明问题。
2、求最值问题：
案例2 已知 、b均为正数，且 求 的最小值。
解：如图，作线段AB=2，在AB上截取AE= ，
EB=b，过A作AC⊥AB，且AC=2，过B作BD⊥AB，且BD=1。由勾股定理：CE= ，BD= ，原题即求CE+ED的最小值。
又如图，延长CA至G，使AG=AC，连接GE，由三角形两边之和大于第三边，则G、E、D三点共线时，GE+ED=DG最短。作出图形，延长DB至F，使BF//AG且BF=AG，连接GF.
则在Rt△DGF中，DF=1+2=3，GF=AB=2
∴CE+DE的最小值是
即 的最小值是
小结：此题由式子特点联想勾股定理，构造图形解决问题。
二、以数解形，精化解题
1、 “以数解形”，在“数与式”教学中的应用
案例3：
如图，用火柴棒按以下方式搭小鱼，搭1条小鱼用8根火柴棒，搭2条小鱼用14根，……，则搭n条小鱼需要 根火柴棒。（用含n的代数式表示）
分析：第①个图形， 8根
第②个图形， 8 +6 =1+6×1
第③个图形， 8+6+6=1+6×2
第n個图形， 8+6（n-1）=6n+2
图形规律探索题，重在考查学生的观察、分析、归纳的能力，要使学生具备这些能力，需要教师在平常教学中多引导。教学中引导学生观察分析各个图形之间变化情况是其一，另一点是此类问题还要懂得将图形变化情况数字化，找到数字与序号间一种隐性关系，从而将一个在不断变化中几何图形代数化，达到精化解题目的。
2、“以数解形”，在函数教学中的应用
案例4：
小强每月的费用都是根据上月他的家务劳动时间所得奖励加上基本生活费从父母那里获取的.若设小强每月的家务劳动时间为x小时，该月可得（即下月他可获得）的总费为y元，则y（元）和x（小时）之间的函数图像如图所示.
（1）根据图像，写出小强每月的基本生活费为多少元；父母是如何奖励小强劳动的？
（2）写出当0≤x≤20时，相对应的y与x之间的函数关系式；
（3）若小强5月份希望有250元费用，则小强4月份需做家务多少时间？
分析：（1）这是最简单的读题，根据函数图象的信息可知，小强每月的基本生活费为150元，父母的奖励方法是：如果小强每月做家务的时间不超过20小时，每小时获奖励2.5元；如果小强每月做家务的时间超过20小时， 那么20小时每小时按2.5元奖励，超过部分按每小时奖励4元奖励；
（2）根据函数图象知，当0≤x≤20时，它是一个一次函数图象，即设y与x之间的函数关系式为y=kx+b.因为点（0，150），（20，200）在函数y=kx+b上，所以函数关系式为y=2.5x+150；
（3）根据函数图象知，当x>20时，它也是一个一次函数图象，即设y与x之间的函数关系式为y=k1x+b1。因为点（20，200），（30，240）在函数y=k1x+b1上，所以函数关系式为y=4x+120，当y=250时， 4x+120=250，解得x=32.5.
评注：解从“数”到“形”的问题时，应注意观察函数图象的形状特征（包括分段函数），充分挖掘图象中的已知条件，从而确定函数的解析式，再利用函数的图象性质来解.
数学家华罗庚说得好：“数形结合百般好，隔离分家万事休，几何代数统一体，永远联系莫分离。”在教学中要注重数形结合思想方法的培养，在培养学生数形结合思想的过程中， 要充分挖掘教材内容， 将数形结合思想渗透于具体的问题中， 在解决问题中让学生正确理解 “数”与 “形” 的相对性， 使之有机地结合起来。当然， 要掌握好数形结合的思想方法并能灵活运用， 就要熟悉某些问题的图形背景， 熟悉有关数学式中各参数的几何意义， 建立结合图形思考问题的习惯， 在学习中不断摸索， 积累经验， 加深和加强对数形结合思想方法的理解和运用。