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一回首，从第一次近距离地和师父徐斌交流，至今已近11个年头，而我也从一位刚从农村小学竞聘到晋江市第二实验小学的青年教师成长为福建省第二批教学名师（培养对象），并应邀到江苏、浙江、湖南等地进行多场次的讲学。在我心中，徐斌师父的无痕教育不仅仅只在课堂上服务于学生，对于我们这些弟子的专业成长亦如是，更形成了其独特的个人魅力。
下面，撷取记忆中的若干片段，与诸君共分享。
“无痕”之缘
2007年7月，福建省小学数学年会在晋江召开，恰好由我竞聘的新学校晋江市第二实验小学承办。于是，从农村走来的我第一次在台下聆听全国著名特级教师徐斌老师的两节经典课（《9加几》和《认识乘法》）和一个专题报告。其时，虽满眼充满着羡慕的星星，还只能远眺，只是仰望。当时，心中在想，我也毕业11年了，怎么就上不出如此精彩的课？一位男教师，能够和一年级、二年级的学生这样亲切、智慧地交流、互动，在精妙的设计中让学生自主学习、感悟，这是多么厉害的本事啊！
如教学《认识乘法》一课，怎样让二年级学生感受“在相同加数相加的情况下，用乘法算比较简便”？在学生自学，认识了乘数、乘号、积后，师父这样处理——第一步，出示8张电脑桌，每桌2台电脑，问：是几个几？用加法和乘法你会列式吗？让学生进行同化，并进一步强化加法算式和乘法算式之间的联系，第一次加数的个数从少到多，但这个“多”仍在可接受的范围之中。第二步，电脑图变成100个2，问：现在有多少个27用加法怎样列式？学生一开始兴冲冲地念起来，2+2+2+2+2+2……有的学生渐渐不说了，有的叫起来，有许多认真的学生还憋气着想一口气说完，但最终也败下阵来，这时师父才轻轻地点一句：“你们感觉求100个2用加法算，算式写起来怎样？”由是，乘法的价值便自然、充分、深切地体现出来。这样的处理，听起来很舒服，品起来很巧妙，莫不令人向往！
就在活动的第3天，活动主办方的钟建林老师找到我，说经学校许长华校长和晋江进修学校蔡福山推荐，拟让我拜徐斌老师为师，问我是否愿意？幸福来得是如此的突然！我忘了我当时说了什么，反正是一个劲地点头和笑，就像找明星签字的铁粉一样。
从此，凡师父到福建来讲学，都会提前发来信息告知活动的相关安排。在学校的支持下，我也十分珍视当场汇报和聆听的机会，每场必到，即使师父说“这节课、这个讲座你都听过了，这次可以不用过来了”，我也不想错过温故知新的机会，更不想错过摩顶清明的体悟。有时，我赶晚到了，尚未办理人住就遇见师父，他常让人把他的房间调为标房。虽因酒店灯光尚好，虽因明天还要活动照常，未能秉烛、更无彻夜，但促膝的画面是这么深刻，温暖着追梦路上的跌跌撞撞。
“无痕”之殇
“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行。”在学习、模仿、践行无痕教育的路上，个人确实经历了诸多的曲折。总的来说，体现为思想上的误区和行动上的苍白，只见模仿，没有理解。正如白石老人所说：“似我者生，像我者死。”不巧，我处于第二类之中。
2008年4月至2009年5月，我一直在推敲、琢磨《百分数的认识》一课，其间的诸多感悟散见于拙文《把握需求，关注发展》《采百家花，酿自家蜜》中。百分数与分数的联系与区别，学习百分数的价值，百分数的生活应用等，当时都在脑中盘旋飞舞。应该说，从数学本质上看，这几个点也基本上抓住了本节课的教学要点；但从教学实际上看，课堂是散落、细碎的，多是雕琢之工，少见无痕之美。师刚才的信息中有百分数吗？有几个百
分数？
（让学生从提供的数学信息中寻找，并请
学生大声读出找到的3个百分数。）
师看来同学们对百分数并不陌生啊！百分数一般读作——（百分之几）。写法呢？
生先写数字，再写百分号。
师你已经认识百分号了？了不起！（教学百分号的写法，并请学生一起书空25%和120%。）
师这3个百分数有什么相同的地方？
生都有百分号。
师有什么不同的地方？
生有的数字比100小，有的数字比100大。
师25%能写成分数吗？写成分数是多少？120%呢？
（学生回答。）
师既然百分数可以写成分数，为什么还要学习百分数？
这里，我是从学生已知的百分数读写法人手，从其“外在形式”人手，向“内”层层深入，让学生在更广泛的知识背景下形成对百分数的认知。不过细细分析，几处显得过于刻意：其一，教学次序过于刻意。在学生找到3个百分数时，应该接着追问：“你知道它们是百分数？”这不就可以把读法和百分号结合在一起？其二，百分数的分子小于100、大于100的情况，虽然孕伏在数学信息中比较轻巧，但花期未到，催生是否安好？
在实践初期，我常以“水”为关注对象，常思“如何使之无形”，殊不知，早犯了“形而上”的认知错误。老子说：“有无相生，难易相成，长短相形，高下相倾。”要真正地“无痕”，不是一味地从“无”处着眼，更需从“有”处生根。要紧扣学生认知心理、认知规律，从而体现对教材的一种高明、独到的把握，在似无实有中，达成似“无为”而“无不为”。
这段摸索的过程，对于个人而言是一段“蜕皮再生”的过程。课堂要开放、要对话，不是一句话的问题，而是一个课堂生态重建的过程。对于教师的挑战，不仅是加1、加2的问题，更是乘5、乘10的压力。所幸这段时间，也是徐斌师父往来福建较多的时间。他见面常问：近来想了哪节新课？又有什么新的文章？知道了我的苦恼处，他并不从细节人手，与我就《百分数的认识》一课的教学设计或教学处理进行手把手指导，而是谈他对明天即将要上的课的细节处理思考以及自己备课中的深刻感悟。推己及人，虽似潜流无声，但却令我每有会意，开始自我审视、自我反思、自我重构，虽“皮”一層层地蜕，着实痛苦，但这“苦”因师父的引领也渐有“甜”的滋味。 “无痕”之路
在践行无痕教育的路上，对我而言有两件里程碑意义的事。那就是分别在2010年11月和2017年9月两次与师父的同课异构。
2010年11月，福建教育杂志社举办“徐斌与无痕教育”首场研讨活动，让我与师父同台执教苏教版小学数学《解决问题的策略：一一列举》一课。能于师父面前当场授课，欣喜；能再次打磨自我，欣喜。但是，开局便遇难题。
首先，对于苏教版教材内容不熟悉，对于核心概念“一一列举”理解不透彻，对于“策略”一类课型怎么上不自信。上什么？怎么上？更为要命的是，怎么上才有新意？如何才能展现自己对无痕教育的理解与实践程度？怎样无痕地让学生理解、掌握“一一列举”？我采取的方式是着力于课前交流。先请学生猜一个游戏名称：它规定零大于二，二大于五，是什么呢？（剪刀、石头、布）然后和全班学生玩一次，再举手分别统计出“输老师的”“和老师平手的”“赢老师的”人数。追问：“有没有没举手的？”“有没有举两次手的？”从而无形中渗透一一列举的要点——不遗漏、不重复。
点评时，师父对我这一做法给予肯定，说“有思考”“有创新”，在心中大石头欣然落地之余，不禁想要看看师父又是如何切人的，如何执教的。下面撷取一小片段——
师请看，在我们的日常生活当中，经常会遇到这样的现象——飞镖游戏，玩过吗？
生玩过。
师这是飞镖的靶纸，如果让我们全班每人都来投一镖，大家有可能得多少环呢？
生有可能是10环、8环、6环。
师（相应板书）还有其他可能吗？
生可能是0环。
师对，可能连靶子都没有射中，那就是0环。
师这些都是可能的结果，现在老师把它们都——
生列举出来了。
师说得很好！（板书：列举）列举就是一种策略，那刚才为什么要把它们列举出来呢？
生我觉得应该是要知道它一共有多少种可能？
师对，每一种可能都列出来，就叫作一一列举。（板书：一一）其实一一列举也不是什么新的策略，比如说，在我们四年级的时候，学习找规律——（出示找规律例题）两顶不同的帽子，要配到三个不同的木偶娃娃上面去，求有多少种不同的搭配方法。我们把每一种搭配方法都怎么样啊？
生都一一列举出来。
师这学期我们也用过一一列举的策略。在我们认识小数的时候，就有这样一道题——（出示练习题）用1、2、3三个数字和小数点来组成不同的两位小数，我们也是——
生列举出来。
师今天这堂课，我们继续应用一一列举的策略来解决一些实际问题。
二者对比，高下立见。在师父的课堂中，可折射出无痕教育的宏大视野：既有学生的世界，更有数学的视界。善于“退”，退到学生的生活经验中，退到学生的原有认识中。立足于生活实物，让一一列举可见（靶纸）、可说（10环、8环、6环、O环）；同时，立足于学生已有的知识经验，从搭配衣物、组合不同小数等旧知中感知，在未开始新课时，已经确立关于“一一列举”的数学表象，从而为新课奠定厚实的基础。整个过程，在不知不觉中开始，更展现了对于教学内容的整体把握。而我的谈话导入，似“巧”但离学生还是有点“远”，不够贴切。
这样“近距离搭手”的机会，让我更深刻地领略全国著名特级教师的独到风采。其徐如林，不动如山，内在却匠心独运，不动声色。我深知，个人的成长之路还有巨大的空间，得踏踏实实地用自己的脚印去丈量。
之后7年间，秉着追梦的心，我开始一系列的尝试。每次再见师父之前，总要把个人最近一段时间的教研要事、课例、讲座等整理成文，面呈并聆听指导。师父常为我的一点小进步而高兴，并不时在其友人或活動主办方前给予热情地推介：“这是我福建的弟子！”并提及我的“优异成绩”：华东六省一市课堂评优一等奖、福建省第三届教师技能大赛特等奖第一名、福建省五一劳动奖章获得者等。提携之意，溢于言表，而不觉其烦。
2017年9月，与师父再次同台于湖南长沙，这次同课异构的课题是《平均数》。由于是4月提前告知，也由于有10年追寻的努力，我更珍惜这进一步窥视无痕教育内涵的机会。与上次不同的是，本次是三个人、三个版本（苏教版、人教版、北师大版）、同上一节课。师父要求，要上出各自版本独特的设计意图，要上出平均数的统计要义。
下面，撷取师父执教的一小片段——师有三条彩带，（出示图1）要把这三段变得一样长，怎么剪？
（学生的表述中，只能说把长的剪一段给黄的，剪一段给蓝的，但是说不清具体剪多长。）
师怎么办？
（在让学生谈想法之后，出示3段的具体长度：14厘米、24厘米和16厘米。）
师需要剪多长？怎么想？
（学生结合三段的平均数18厘米说得头头是道。）
这个环节看似不起眼，但这平常中蕴含着深刻的“统计”意味。平均数，是描述一组离散数据集中趋势的统计量。正如师父在备课思考中分享的“学习平均数，不仅要理解平均数的意义，掌握求平均数的方法，还要了解平均数的价值，感受其刻画数据集中程度的需要”。对于四年级学生来说，求一组数据的平均数不是一件难事，难的是要有“数据意识”。三条彩带怎么剪，就让学生关于平均数的认知在“春风化雨”中得以提升。其似小，实大；似弱，实强；似无意，实有心。
在执教这节课时，我设计了这样一个环节：
师谁的记忆水平更好？（生：小明）同意的举手！看来，这个问题太简单了。那如果派一个人参加决赛，你想派谁？
生派小明，他的平均数更高。
师如果我想派小强去，有没道理？我们先来观察一下两个人的记忆情况。
（出示图2。）
师有什么发现？
生小明每次都是7，很稳定，如果去参赛，很可能还是7个。而小强，虽然前面记对的少，只有3个，但后面越来越好，如果去参赛，很可能是10个。 师你能从数据中，看到小强的“未来”，我代小强感谢你！确实，虽然一开始小强成绩不好，可慢慢地，他掌握了方法，记忆水平越来越好，很有可能真的是10个。看来，派谁去，不能仅仅看平均数，有时还要看这个平均数数据背后的故事。这个问题，有兴趣的同学，可以继续思考。
这个环节中，我着眼于“平均数”的未来。统计一组数据，平均数只是其中的一种方法，并不是唯一。正如陈希孺先生说的：“统计方法只有好坏之分，没有对错之分。”既可以看平均水平，还可以看发展趋势，甚至可以看中位数、众数等。让学生理性地分析发现“数据背后的故事”，把知识的“现在”与“未来”有机地融会在一起，形成合力，最终构建起更为完善的数学认知结构。
这次的执教，得到了师父较高的评价：“小许的课已经慢慢进入较为高级的水平了！”这一定语，足慰十年的行走！从不知何为无痕，到生硬的模仿，到个别、点滴的突破，再到有自己理解的践行。正如自己在拙文《行“通融”之径，进“无痕”之境》说到的：无痕是一种境界，虽不能至，心向往之。
“无痕”之梦
“无痕”对我而言是什么呢？是一种自我，是一种自然，更是一种自由。是教学行为的开放，是教学思考的包容，是教学境界的追求。
做一个像师父一样的“完整的小学数学教师”，坚守课堂教学这一朵朵“具体的花”，更为重要的是始终“为学生的数学学习服务”。这样日积月累，这样言传身教，这样便可以自己为圆心，照亮周围热爱数学、热爱教学、热爱学生的同行人，一起努力、一起追求。因此，2015年8月，我着力践行“通融数学”，想要把小学数学教学变得简单、通透、联结、变通，发展学生的数学素养，在“学会”中达成“会学”；让教师在教学过程中享受愉悦、自豪、尊重、幸福，追求智慧且有品质的教学生活。因此，2016年3月，我组建了“许贻亮小学数学工作坊”这一民间组织团队，开展组内培训、送教下乡、交流辐射、前沿发布。这一系列的行动，没有冠以“无痕教育”的名衔，汇报中，师父听后却很是欣喜，为我找寻到“自己最合宜的位置”而喜，为无痕教育的教学主张生发而喜。
我更渴望着師父身上的宁静、不匆忙。在他身上，无痕教育不仅是课堂行为，更是生活行为。每晚独享写字台前的宁静，让读书、打字、月光浑然一体，流淌静谧。喜其每临一地，便不再匆匆：徜徉于古巷小街、名山古迹之中，品小吃、品山水、品文化，信手拈来、怡然自得之态，“如婴儿之未孩”。
无痕教育，教育无痕。桃李不言，下自成蹊。这是现景，不是愿景。此间，有许多的人、许多的美好聚集、绽放，我只是其中一朵小花；但愿有更多的人、更多的美好，在追求无痕教育中聚集、绽放，有你、有我、有他的风华。
下面，撷取记忆中的若干片段，与诸君共分享。
“无痕”之缘
2007年7月，福建省小学数学年会在晋江召开，恰好由我竞聘的新学校晋江市第二实验小学承办。于是，从农村走来的我第一次在台下聆听全国著名特级教师徐斌老师的两节经典课（《9加几》和《认识乘法》）和一个专题报告。其时，虽满眼充满着羡慕的星星，还只能远眺，只是仰望。当时，心中在想，我也毕业11年了，怎么就上不出如此精彩的课？一位男教师，能够和一年级、二年级的学生这样亲切、智慧地交流、互动，在精妙的设计中让学生自主学习、感悟，这是多么厉害的本事啊！
如教学《认识乘法》一课，怎样让二年级学生感受“在相同加数相加的情况下，用乘法算比较简便”？在学生自学，认识了乘数、乘号、积后，师父这样处理——第一步，出示8张电脑桌，每桌2台电脑，问：是几个几？用加法和乘法你会列式吗？让学生进行同化，并进一步强化加法算式和乘法算式之间的联系，第一次加数的个数从少到多，但这个“多”仍在可接受的范围之中。第二步，电脑图变成100个2，问：现在有多少个27用加法怎样列式？学生一开始兴冲冲地念起来，2+2+2+2+2+2……有的学生渐渐不说了，有的叫起来，有许多认真的学生还憋气着想一口气说完，但最终也败下阵来，这时师父才轻轻地点一句：“你们感觉求100个2用加法算，算式写起来怎样？”由是，乘法的价值便自然、充分、深切地体现出来。这样的处理，听起来很舒服，品起来很巧妙，莫不令人向往！
就在活动的第3天，活动主办方的钟建林老师找到我，说经学校许长华校长和晋江进修学校蔡福山推荐，拟让我拜徐斌老师为师，问我是否愿意？幸福来得是如此的突然！我忘了我当时说了什么，反正是一个劲地点头和笑，就像找明星签字的铁粉一样。
从此，凡师父到福建来讲学，都会提前发来信息告知活动的相关安排。在学校的支持下，我也十分珍视当场汇报和聆听的机会，每场必到，即使师父说“这节课、这个讲座你都听过了，这次可以不用过来了”，我也不想错过温故知新的机会，更不想错过摩顶清明的体悟。有时，我赶晚到了，尚未办理人住就遇见师父，他常让人把他的房间调为标房。虽因酒店灯光尚好，虽因明天还要活动照常，未能秉烛、更无彻夜，但促膝的画面是这么深刻，温暖着追梦路上的跌跌撞撞。
“无痕”之殇
“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行。”在学习、模仿、践行无痕教育的路上，个人确实经历了诸多的曲折。总的来说，体现为思想上的误区和行动上的苍白，只见模仿，没有理解。正如白石老人所说：“似我者生，像我者死。”不巧，我处于第二类之中。
2008年4月至2009年5月，我一直在推敲、琢磨《百分数的认识》一课，其间的诸多感悟散见于拙文《把握需求，关注发展》《采百家花，酿自家蜜》中。百分数与分数的联系与区别，学习百分数的价值，百分数的生活应用等，当时都在脑中盘旋飞舞。应该说，从数学本质上看，这几个点也基本上抓住了本节课的教学要点；但从教学实际上看，课堂是散落、细碎的，多是雕琢之工，少见无痕之美。师刚才的信息中有百分数吗？有几个百
分数？
（让学生从提供的数学信息中寻找，并请
学生大声读出找到的3个百分数。）
师看来同学们对百分数并不陌生啊！百分数一般读作——（百分之几）。写法呢？
生先写数字，再写百分号。
师你已经认识百分号了？了不起！（教学百分号的写法，并请学生一起书空25%和120%。）
师这3个百分数有什么相同的地方？
生都有百分号。
师有什么不同的地方？
生有的数字比100小，有的数字比100大。
师25%能写成分数吗？写成分数是多少？120%呢？
（学生回答。）
师既然百分数可以写成分数，为什么还要学习百分数？
这里，我是从学生已知的百分数读写法人手，从其“外在形式”人手，向“内”层层深入，让学生在更广泛的知识背景下形成对百分数的认知。不过细细分析，几处显得过于刻意：其一，教学次序过于刻意。在学生找到3个百分数时，应该接着追问：“你知道它们是百分数？”这不就可以把读法和百分号结合在一起？其二，百分数的分子小于100、大于100的情况，虽然孕伏在数学信息中比较轻巧，但花期未到，催生是否安好？
在实践初期，我常以“水”为关注对象，常思“如何使之无形”，殊不知，早犯了“形而上”的认知错误。老子说：“有无相生，难易相成，长短相形，高下相倾。”要真正地“无痕”，不是一味地从“无”处着眼，更需从“有”处生根。要紧扣学生认知心理、认知规律，从而体现对教材的一种高明、独到的把握，在似无实有中，达成似“无为”而“无不为”。
这段摸索的过程，对于个人而言是一段“蜕皮再生”的过程。课堂要开放、要对话，不是一句话的问题，而是一个课堂生态重建的过程。对于教师的挑战，不仅是加1、加2的问题，更是乘5、乘10的压力。所幸这段时间，也是徐斌师父往来福建较多的时间。他见面常问：近来想了哪节新课？又有什么新的文章？知道了我的苦恼处，他并不从细节人手，与我就《百分数的认识》一课的教学设计或教学处理进行手把手指导，而是谈他对明天即将要上的课的细节处理思考以及自己备课中的深刻感悟。推己及人，虽似潜流无声，但却令我每有会意，开始自我审视、自我反思、自我重构，虽“皮”一層层地蜕，着实痛苦，但这“苦”因师父的引领也渐有“甜”的滋味。 “无痕”之路
在践行无痕教育的路上，对我而言有两件里程碑意义的事。那就是分别在2010年11月和2017年9月两次与师父的同课异构。
2010年11月，福建教育杂志社举办“徐斌与无痕教育”首场研讨活动，让我与师父同台执教苏教版小学数学《解决问题的策略：一一列举》一课。能于师父面前当场授课，欣喜；能再次打磨自我，欣喜。但是，开局便遇难题。
首先，对于苏教版教材内容不熟悉，对于核心概念“一一列举”理解不透彻，对于“策略”一类课型怎么上不自信。上什么？怎么上？更为要命的是，怎么上才有新意？如何才能展现自己对无痕教育的理解与实践程度？怎样无痕地让学生理解、掌握“一一列举”？我采取的方式是着力于课前交流。先请学生猜一个游戏名称：它规定零大于二，二大于五，是什么呢？（剪刀、石头、布）然后和全班学生玩一次，再举手分别统计出“输老师的”“和老师平手的”“赢老师的”人数。追问：“有没有没举手的？”“有没有举两次手的？”从而无形中渗透一一列举的要点——不遗漏、不重复。
点评时，师父对我这一做法给予肯定，说“有思考”“有创新”，在心中大石头欣然落地之余，不禁想要看看师父又是如何切人的，如何执教的。下面撷取一小片段——
师请看，在我们的日常生活当中，经常会遇到这样的现象——飞镖游戏，玩过吗？
生玩过。
师这是飞镖的靶纸，如果让我们全班每人都来投一镖，大家有可能得多少环呢？
生有可能是10环、8环、6环。
师（相应板书）还有其他可能吗？
生可能是0环。
师对，可能连靶子都没有射中，那就是0环。
师这些都是可能的结果，现在老师把它们都——
生列举出来了。
师说得很好！（板书：列举）列举就是一种策略，那刚才为什么要把它们列举出来呢？
生我觉得应该是要知道它一共有多少种可能？
师对，每一种可能都列出来，就叫作一一列举。（板书：一一）其实一一列举也不是什么新的策略，比如说，在我们四年级的时候，学习找规律——（出示找规律例题）两顶不同的帽子，要配到三个不同的木偶娃娃上面去，求有多少种不同的搭配方法。我们把每一种搭配方法都怎么样啊？
生都一一列举出来。
师这学期我们也用过一一列举的策略。在我们认识小数的时候，就有这样一道题——（出示练习题）用1、2、3三个数字和小数点来组成不同的两位小数，我们也是——
生列举出来。
师今天这堂课，我们继续应用一一列举的策略来解决一些实际问题。
二者对比，高下立见。在师父的课堂中，可折射出无痕教育的宏大视野：既有学生的世界，更有数学的视界。善于“退”，退到学生的生活经验中，退到学生的原有认识中。立足于生活实物，让一一列举可见（靶纸）、可说（10环、8环、6环、O环）；同时，立足于学生已有的知识经验，从搭配衣物、组合不同小数等旧知中感知，在未开始新课时，已经确立关于“一一列举”的数学表象，从而为新课奠定厚实的基础。整个过程，在不知不觉中开始，更展现了对于教学内容的整体把握。而我的谈话导入，似“巧”但离学生还是有点“远”，不够贴切。
这样“近距离搭手”的机会，让我更深刻地领略全国著名特级教师的独到风采。其徐如林，不动如山，内在却匠心独运，不动声色。我深知，个人的成长之路还有巨大的空间，得踏踏实实地用自己的脚印去丈量。
之后7年间，秉着追梦的心，我开始一系列的尝试。每次再见师父之前，总要把个人最近一段时间的教研要事、课例、讲座等整理成文，面呈并聆听指导。师父常为我的一点小进步而高兴，并不时在其友人或活動主办方前给予热情地推介：“这是我福建的弟子！”并提及我的“优异成绩”：华东六省一市课堂评优一等奖、福建省第三届教师技能大赛特等奖第一名、福建省五一劳动奖章获得者等。提携之意，溢于言表，而不觉其烦。
2017年9月，与师父再次同台于湖南长沙，这次同课异构的课题是《平均数》。由于是4月提前告知，也由于有10年追寻的努力，我更珍惜这进一步窥视无痕教育内涵的机会。与上次不同的是，本次是三个人、三个版本（苏教版、人教版、北师大版）、同上一节课。师父要求，要上出各自版本独特的设计意图，要上出平均数的统计要义。
下面，撷取师父执教的一小片段——师有三条彩带，（出示图1）要把这三段变得一样长，怎么剪？
（学生的表述中，只能说把长的剪一段给黄的，剪一段给蓝的，但是说不清具体剪多长。）
师怎么办？
（在让学生谈想法之后，出示3段的具体长度：14厘米、24厘米和16厘米。）
师需要剪多长？怎么想？
（学生结合三段的平均数18厘米说得头头是道。）
这个环节看似不起眼，但这平常中蕴含着深刻的“统计”意味。平均数，是描述一组离散数据集中趋势的统计量。正如师父在备课思考中分享的“学习平均数，不仅要理解平均数的意义，掌握求平均数的方法，还要了解平均数的价值，感受其刻画数据集中程度的需要”。对于四年级学生来说，求一组数据的平均数不是一件难事，难的是要有“数据意识”。三条彩带怎么剪，就让学生关于平均数的认知在“春风化雨”中得以提升。其似小，实大；似弱，实强；似无意，实有心。
在执教这节课时，我设计了这样一个环节：
师谁的记忆水平更好？（生：小明）同意的举手！看来，这个问题太简单了。那如果派一个人参加决赛，你想派谁？
生派小明，他的平均数更高。
师如果我想派小强去，有没道理？我们先来观察一下两个人的记忆情况。
（出示图2。）
师有什么发现？
生小明每次都是7，很稳定，如果去参赛，很可能还是7个。而小强，虽然前面记对的少，只有3个，但后面越来越好，如果去参赛，很可能是10个。 师你能从数据中，看到小强的“未来”，我代小强感谢你！确实，虽然一开始小强成绩不好，可慢慢地，他掌握了方法，记忆水平越来越好，很有可能真的是10个。看来，派谁去，不能仅仅看平均数，有时还要看这个平均数数据背后的故事。这个问题，有兴趣的同学，可以继续思考。
这个环节中，我着眼于“平均数”的未来。统计一组数据，平均数只是其中的一种方法，并不是唯一。正如陈希孺先生说的：“统计方法只有好坏之分，没有对错之分。”既可以看平均水平，还可以看发展趋势，甚至可以看中位数、众数等。让学生理性地分析发现“数据背后的故事”，把知识的“现在”与“未来”有机地融会在一起，形成合力，最终构建起更为完善的数学认知结构。
这次的执教，得到了师父较高的评价：“小许的课已经慢慢进入较为高级的水平了！”这一定语，足慰十年的行走！从不知何为无痕，到生硬的模仿，到个别、点滴的突破，再到有自己理解的践行。正如自己在拙文《行“通融”之径，进“无痕”之境》说到的：无痕是一种境界，虽不能至，心向往之。
“无痕”之梦
“无痕”对我而言是什么呢？是一种自我，是一种自然，更是一种自由。是教学行为的开放，是教学思考的包容，是教学境界的追求。
做一个像师父一样的“完整的小学数学教师”，坚守课堂教学这一朵朵“具体的花”，更为重要的是始终“为学生的数学学习服务”。这样日积月累，这样言传身教，这样便可以自己为圆心，照亮周围热爱数学、热爱教学、热爱学生的同行人，一起努力、一起追求。因此，2015年8月，我着力践行“通融数学”，想要把小学数学教学变得简单、通透、联结、变通，发展学生的数学素养，在“学会”中达成“会学”；让教师在教学过程中享受愉悦、自豪、尊重、幸福，追求智慧且有品质的教学生活。因此，2016年3月，我组建了“许贻亮小学数学工作坊”这一民间组织团队，开展组内培训、送教下乡、交流辐射、前沿发布。这一系列的行动，没有冠以“无痕教育”的名衔，汇报中，师父听后却很是欣喜，为我找寻到“自己最合宜的位置”而喜，为无痕教育的教学主张生发而喜。
我更渴望着師父身上的宁静、不匆忙。在他身上，无痕教育不仅是课堂行为，更是生活行为。每晚独享写字台前的宁静，让读书、打字、月光浑然一体，流淌静谧。喜其每临一地，便不再匆匆：徜徉于古巷小街、名山古迹之中，品小吃、品山水、品文化，信手拈来、怡然自得之态，“如婴儿之未孩”。
无痕教育，教育无痕。桃李不言，下自成蹊。这是现景，不是愿景。此间，有许多的人、许多的美好聚集、绽放，我只是其中一朵小花；但愿有更多的人、更多的美好，在追求无痕教育中聚集、绽放，有你、有我、有他的风华。