论文部分内容阅读
提到数字0和1,它简单到几乎无人不晓,但它丰富的内涵和精彩的演练就鲜为人知了。本文仅就初中数学教学的范畴来谈谈对0与1的认识,意在相互交流,抛砖引玉。
一、0与1的特性
0是第一个自然数,逐次“加1”就有了后续无穷无尽的自然数,进而就有了分数、小数、有理数、实数。0是自然数,当然也是整数、是有理数、是实数;但它既不是正数,也不是负数,是惟一的中性数;0还是绝对值最小的数。1是最小的正整数,在自然数集合中,只有1既不是质数,也不是合数。在现实世界的时间和空间里,一切都得从“0”或“1”开始。正因为0与1的特殊地位,注定了它与众不同的运算特性。
二、0与1的妙用
1.定义功能。
从小学到初中经常用0和1对某些概念作规定,如:(1)以1为准,区分真分数和假分数。(2)以0为准,界定正数和负数。(3)用0(原点)和1(单位长)定义了数轴,将全体实数连续有序地排列在一起,并与直线(数轴)上的点一一对应。(4)相反数、倒数的概念与特征等。(5)分式、根式、函数、方程等有关规定。
2.巧证运算法则。
0与1,和与积,在初中数学中频繁出现,它们之间的关联也非同一般。
3.大小比较的通法。
如:a-b>0a>b;a-b<0a<b;a-b=0a=b。
4.借1的特征简化分式(根式)。
根据分式的基本性质,约分与通分的本质是实施了一个“乘以1”,即a×1=a的特性,千变万化,如终如“1”。
5.快速判断一元多项式的根。
(1)若多项式的各项系数之和为0,则必有一根为1;(2)若多项式的各奇次项的系数之和等于各偶次项系数之和,则必有一根为-1(3)根据0与1的特性直接认定。
6.根点数轴法。
在解高次不等式和有关绝对值的化解中,常常要令一些一次因式为零,得其根后分段讨论之。
7.求和凑0,求积凑1。
在运用交换律、结合律时,我们通常总是将和为0、积为1的项(数)调在一起,便于简化,但在有些场合还需要我们设法凑0和1。
8.整体化“1”有益。
在解方程(不等式)、配方和某些代数式的变形中,总免不了要“系数化1” ,视工作量(整体)为“1” ,其中的“奥秘”不言而喻,联想到普遍适用的换元法不也体现了“转化”的数学思想吗?设(某量)为一未知元,以单元代多元,以“1次” 的元代高次的元和复合元(如无理式)等都是为了以简代繁,化归为“1” 。
总之,0和1的特性的运用变换奇特,奥妙无穷,以上只是粗略而浅显的罗列而已。
三、误区种种
1.非零非负之误。
初中数学中许多非零非负的情形很难把握,如:分母非零,除式非零,零次幂的底数非零,函数、方程及多项式的最高次项系数非零,绝对值非负,平方非负,偶次方根被开方数非负,算术根非负,一元二次方程有实根的判别式非负等等。
2.增根遗根之惑。
在解分式方程式和无理方程的过程中,由于未知数允许取值的范围发生了变化(扩大或缩小),增根和遗根的情况时有发生,因而验根尤为重要。增根遗根皆因“分母是否为零”。
3.时隐时现的“1”。
同“0”类似,“1”在很多情形下是省略不写的,如系数1,指数1,分母为1(所有整数可视为分母为1的分数)等,我们在运算操作中稍有不慎会出现下列错误。
4.似是而非。
我们应警惕某些似是而非的解答。
如:取何值时,分式 的值为1?
解:依题意,X2+2x-3=x-1,所以x=1或-2
易见x=1是原方程的增根,故原方程的根是x=-2
5.似是而是。
别以为不入误区就万无一失了,请看下例:
例:k为何值时,方程 - = 有惟一解?
解:去分母,整理得x2+2x+1-k=0 ①
令Δ=0,得k=0
所以,当k=0时,原方程有惟一解x=-1。
再令①中x=0,得k=1,原方程有惟一解x=-2。
同理令x=1,得k=4,原方程有惟一解x=-3.
故当k=0、1和4时,原方程均有惟一解。
显而易见,x=0和1都是“禁区”,后两个答案“非也”?——似是而非!留与读者思索。
四、变换无限
其实,上述对0与1的认识很肤浅,挂一漏万。
数学科学在不断发展,0和1的特性及用途极为广泛。如二进制数,用0和1表示任意自然数,当然可以进行任何有现数的运算(如计算机),复数中的n次单位根(模为1),数学归纳法中的“1”,逻辑代数中的“或、与、非”运算,高等代数中的单位矩阵、零矩阵,集合中的0元、单位元,我们常用的单位面积、单位正方形、单位圆及有关形体的等积(面积、体积)变形(化归)为其本的规则形体等等。此外,用0和1表示奇偶,表示颜色、性别、真假、…,可以说,稍加留意,许多数学思想方法、科学原理及其变换都同“0”与“1”不无关联。有道是,数学多难题,问道“0”与“1”。
一、0与1的特性
0是第一个自然数,逐次“加1”就有了后续无穷无尽的自然数,进而就有了分数、小数、有理数、实数。0是自然数,当然也是整数、是有理数、是实数;但它既不是正数,也不是负数,是惟一的中性数;0还是绝对值最小的数。1是最小的正整数,在自然数集合中,只有1既不是质数,也不是合数。在现实世界的时间和空间里,一切都得从“0”或“1”开始。正因为0与1的特殊地位,注定了它与众不同的运算特性。
二、0与1的妙用
1.定义功能。
从小学到初中经常用0和1对某些概念作规定,如:(1)以1为准,区分真分数和假分数。(2)以0为准,界定正数和负数。(3)用0(原点)和1(单位长)定义了数轴,将全体实数连续有序地排列在一起,并与直线(数轴)上的点一一对应。(4)相反数、倒数的概念与特征等。(5)分式、根式、函数、方程等有关规定。
2.巧证运算法则。
0与1,和与积,在初中数学中频繁出现,它们之间的关联也非同一般。
3.大小比较的通法。
如:a-b>0a>b;a-b<0a<b;a-b=0a=b。
4.借1的特征简化分式(根式)。
根据分式的基本性质,约分与通分的本质是实施了一个“乘以1”,即a×1=a的特性,千变万化,如终如“1”。
5.快速判断一元多项式的根。
(1)若多项式的各项系数之和为0,则必有一根为1;(2)若多项式的各奇次项的系数之和等于各偶次项系数之和,则必有一根为-1(3)根据0与1的特性直接认定。
6.根点数轴法。
在解高次不等式和有关绝对值的化解中,常常要令一些一次因式为零,得其根后分段讨论之。
7.求和凑0,求积凑1。
在运用交换律、结合律时,我们通常总是将和为0、积为1的项(数)调在一起,便于简化,但在有些场合还需要我们设法凑0和1。
8.整体化“1”有益。
在解方程(不等式)、配方和某些代数式的变形中,总免不了要“系数化1” ,视工作量(整体)为“1” ,其中的“奥秘”不言而喻,联想到普遍适用的换元法不也体现了“转化”的数学思想吗?设(某量)为一未知元,以单元代多元,以“1次” 的元代高次的元和复合元(如无理式)等都是为了以简代繁,化归为“1” 。
总之,0和1的特性的运用变换奇特,奥妙无穷,以上只是粗略而浅显的罗列而已。
三、误区种种
1.非零非负之误。
初中数学中许多非零非负的情形很难把握,如:分母非零,除式非零,零次幂的底数非零,函数、方程及多项式的最高次项系数非零,绝对值非负,平方非负,偶次方根被开方数非负,算术根非负,一元二次方程有实根的判别式非负等等。
2.增根遗根之惑。
在解分式方程式和无理方程的过程中,由于未知数允许取值的范围发生了变化(扩大或缩小),增根和遗根的情况时有发生,因而验根尤为重要。增根遗根皆因“分母是否为零”。
3.时隐时现的“1”。
同“0”类似,“1”在很多情形下是省略不写的,如系数1,指数1,分母为1(所有整数可视为分母为1的分数)等,我们在运算操作中稍有不慎会出现下列错误。
4.似是而非。
我们应警惕某些似是而非的解答。
如:取何值时,分式 的值为1?
解:依题意,X2+2x-3=x-1,所以x=1或-2
易见x=1是原方程的增根,故原方程的根是x=-2
5.似是而是。
别以为不入误区就万无一失了,请看下例:
例:k为何值时,方程 - = 有惟一解?
解:去分母,整理得x2+2x+1-k=0 ①
令Δ=0,得k=0
所以,当k=0时,原方程有惟一解x=-1。
再令①中x=0,得k=1,原方程有惟一解x=-2。
同理令x=1,得k=4,原方程有惟一解x=-3.
故当k=0、1和4时,原方程均有惟一解。
显而易见,x=0和1都是“禁区”,后两个答案“非也”?——似是而非!留与读者思索。
四、变换无限
其实,上述对0与1的认识很肤浅,挂一漏万。
数学科学在不断发展,0和1的特性及用途极为广泛。如二进制数,用0和1表示任意自然数,当然可以进行任何有现数的运算(如计算机),复数中的n次单位根(模为1),数学归纳法中的“1”,逻辑代数中的“或、与、非”运算,高等代数中的单位矩阵、零矩阵,集合中的0元、单位元,我们常用的单位面积、单位正方形、单位圆及有关形体的等积(面积、体积)变形(化归)为其本的规则形体等等。此外,用0和1表示奇偶,表示颜色、性别、真假、…,可以说,稍加留意,许多数学思想方法、科学原理及其变换都同“0”与“1”不无关联。有道是,数学多难题,问道“0”与“1”。