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摘要： “周长长的图形面积一定大吗？” “面积大的图形周长一定长吗？”
学生在有关图形的周长面积知识学习中，常常被这个问题所困扰着。因此在学生理解图形周长和面积的概念并掌握有关长方形、正方形的周长及面积计算知识后，专门针对这一内容上了一节纠错课。
本节课设计初衷是想通过具体的实例即比较一开始的不规则图形1和图形2的周长及面积，预设出学生会得到一个错误的结论，然后教师再故意设疑，在此基础上引导学生对这个结论进行验证，通过小组间的交流及比较得到正确的认识。
关键词：周长；面积；纠错
教学过程片断：
（投影出示两个不规则图形1和图形2。）
师：请同学们看图说说看，你发现了什么？
生1：我发现了图形1和图形2的形状不一样？
生2：图形2的周长比图形1长。
生3：图形2的面积比图形1大。
（师请学生在投影上指指图形1和图形2的周长和面积）
师：图形2的周长比图形1长，图形2的面积也比图形1大。不知道有没有给同学们一些启发？
一位学生马上举手说：“刚才我们发现图形2的周长比图形1长，图形2的面积也比图形1大，我想：周长长的图形面积肯定大，而面积大的图形周长也一定长。”
师：同意他的想法吗？
（这时众多学生赞同刚才那位同学的想法，但也有少部分学生表示反对，两派学生针锋相对，激烈讨论。）
师：看来这个问题还是很有研究的价值，同学们先别轻易的否定别人的结论，得拿出证据才行。下面我们就4人一小组展开研究，判断一下“周长长的图形面积一定大，而面积大的图形周长一定长”是否正确？
（这时学生们有的在纸上画，有的拿出实物在摆……一段时间后，有了结果。）
（各小组学生开始汇报交流）
生4：我们刚开始的想法是错误的，其实“周长长的图形面积一定大，而面积大的图形周长一定长”是错误的！请大家看：（如下图）
图形1比图形2的周长长，但图形1的面积比图形2的面积小。
生5：刚才我们也想错了， “周长长的图形面积一定大，而面积大的图形周长一定长”这个结论不正确！请大家看：（如下图）
图形1比图形2的面积大，但图形1比图形2的周长短。
生6：老师，我们这组还有发现，你看我们可以把刚才那组同学画的图形2右下角的正方形向左移一点拼成这样的图形（如下图），这时这两个图形的周长是相等的，但图形1的面积大，图形2的面积小。面积大的图形还有可能与面积小的图形的周长相等。
生7：老师，我们也有补充，我们可以在刚才的图形2的右边再添1个这样的正方形（如下图），这时这两个图形的面积是相等的，但图形2的周长长，图形1的周长短。周长长 的图形还有可能与周长短的图形的面积相等。
生8：老师，根据刚才两位同学的回答，我认为面积不相等的图形周长可能相等；周长不相等的图形面积也可能相等，而且我觉得在一
些情况下，图形的周长和面积之间应该是有关系的，（生6和生7的发现出乎了教师先前的预料，但这确实是很好的继续研究的素材，而生8的回答让教师觉得有必要临时补充问题，引导学生继续研究。）
师：同学们说的都很有道理，通过自己实践操作证明了“周长长的图形面积一定大，而面积大的图形周长一定长”这个观点是错误的。
刚才两位同学所举的例子中恰恰又说明了面积不相等的图形周长可能相等；周长不相等的图形面积也可能相等。那么面积相等的图形周长变化有什么规律？周长相等的图形面积变化又有什么规律呢？我们就从长方形来入手。（教师现场补充了两个问题，并板书表格，要求学生一起填表。）
1、用20根1米长的小棒围成一个长方形，有多少种不同的围法？面积分别是多少？
2、用20个1平方米的正方形拼成长方形，有多少种不同的拼法？周长分别是多少？
师：“周长相等的长方形，随着长和宽的变化，面积变化又有什么规律？”
“面积相等的长方形，随着长和宽的变化，周长变化又有什么规律？”
（学生4人一小组，展开讨论）
（学生汇报，略）
得出：周长相等的长方形，长和宽相差越小，面积越大；长和宽相差越大，面积越小。
面积相等的长方形，长和宽相差越小，周长越短；长和宽相差越大，周长越长。
生9：这里的结论正好相反，可以对比着来记忆。
师：如果是其它图形，在这样的条件下，周长和面积间也有着类似的关系吗？这留给同学们课后去继续研究。
师：哪位同学再来谈谈本节课的收获？
（略）
案例反思：
1、错误是一种非常好的教学资源，它可以显现学生的真实思维，反映学生在建构知识和建构能力体系中的障碍。学生的错误是埋藏在心底的，既然根据以往的教学经验，发现学生中有错误的想法，那么应该怎样纠正这部分学生的错误呢？其实对学生出现的错误好好进行研究和利用，可以提高课堂教学效率；提高学生自我的思辩的能力。课例开头的设计就是想暴露出学生的错误认识，还要引起大部分学生的共鸣，这时再把思考的时间和空间交还给学生，让学生去反思、去验证结论。通过讨论、操作、比较等方法去引导学生去发现错误，得出正确认识，这样一来比教师简单的告知要有效地多。课堂中，学生不就是举出了大量的实例来反驳认知结果中的错误从而加深了认识，学生也在评析错误的过程中迅速成长。
2、课程标准指出：“学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。动手实践、自主探索与合作交流也是学习数学的重要方式。学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。”本节课的教学教师注重了以学生为主体来进行设计，通过问题激发了学生的学习兴趣，调动了学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维，学生在讨论中兴趣盎然，热情高涨，屡次碰撞出思维的火花。而通过学生的回答，教师的设计也确实达到了目的，生6、生7在生5举例的基础上所举的实例及所得的结论很好的体现出了学生思维的含金量。如果学生没有足够的时间和空间去体验的话很难会有那么多的认识。
3、当学生得出“面积不相等的图形周长可能相等；周长不相等的圖形面积也可能相等。”这一超出教师课前预设的结论并引起其他学生的共鸣时，课堂生成也就开始了。面对课堂生成，教师是机械地按照原先设计思路到此为止还是因势利导，继续组织合适学生参与的教学活动，让学生获得更丰富的体验？回答自然是后者。因此教师应该有必要的好好利用这生成性的资源引导学生去继续发现探究。实际上，本课例中教师临时补充的两个问题就是对课堂生成的继续利用，而从学生探究过程及结果来看，对启迪学生思维，培养学生能力都有着良好的效果。
（作者单位：江苏省南京市象山小学 210000 ）
学生在有关图形的周长面积知识学习中，常常被这个问题所困扰着。因此在学生理解图形周长和面积的概念并掌握有关长方形、正方形的周长及面积计算知识后，专门针对这一内容上了一节纠错课。
本节课设计初衷是想通过具体的实例即比较一开始的不规则图形1和图形2的周长及面积，预设出学生会得到一个错误的结论，然后教师再故意设疑，在此基础上引导学生对这个结论进行验证，通过小组间的交流及比较得到正确的认识。
关键词：周长；面积；纠错
教学过程片断：
（投影出示两个不规则图形1和图形2。）
师：请同学们看图说说看，你发现了什么？
生1：我发现了图形1和图形2的形状不一样？
生2：图形2的周长比图形1长。
生3：图形2的面积比图形1大。
（师请学生在投影上指指图形1和图形2的周长和面积）
师：图形2的周长比图形1长，图形2的面积也比图形1大。不知道有没有给同学们一些启发？
一位学生马上举手说：“刚才我们发现图形2的周长比图形1长，图形2的面积也比图形1大，我想：周长长的图形面积肯定大，而面积大的图形周长也一定长。”
师：同意他的想法吗？
（这时众多学生赞同刚才那位同学的想法，但也有少部分学生表示反对，两派学生针锋相对，激烈讨论。）
师：看来这个问题还是很有研究的价值，同学们先别轻易的否定别人的结论，得拿出证据才行。下面我们就4人一小组展开研究，判断一下“周长长的图形面积一定大，而面积大的图形周长一定长”是否正确？
（这时学生们有的在纸上画，有的拿出实物在摆……一段时间后，有了结果。）
（各小组学生开始汇报交流）
生4：我们刚开始的想法是错误的，其实“周长长的图形面积一定大，而面积大的图形周长一定长”是错误的！请大家看：（如下图）
图形1比图形2的周长长，但图形1的面积比图形2的面积小。
生5：刚才我们也想错了， “周长长的图形面积一定大，而面积大的图形周长一定长”这个结论不正确！请大家看：（如下图）
图形1比图形2的面积大，但图形1比图形2的周长短。
生6：老师，我们这组还有发现，你看我们可以把刚才那组同学画的图形2右下角的正方形向左移一点拼成这样的图形（如下图），这时这两个图形的周长是相等的，但图形1的面积大，图形2的面积小。面积大的图形还有可能与面积小的图形的周长相等。
生7：老师，我们也有补充，我们可以在刚才的图形2的右边再添1个这样的正方形（如下图），这时这两个图形的面积是相等的，但图形2的周长长，图形1的周长短。周长长 的图形还有可能与周长短的图形的面积相等。
生8：老师，根据刚才两位同学的回答，我认为面积不相等的图形周长可能相等；周长不相等的图形面积也可能相等，而且我觉得在一
些情况下，图形的周长和面积之间应该是有关系的，（生6和生7的发现出乎了教师先前的预料，但这确实是很好的继续研究的素材，而生8的回答让教师觉得有必要临时补充问题，引导学生继续研究。）
师：同学们说的都很有道理，通过自己实践操作证明了“周长长的图形面积一定大，而面积大的图形周长一定长”这个观点是错误的。
刚才两位同学所举的例子中恰恰又说明了面积不相等的图形周长可能相等；周长不相等的图形面积也可能相等。那么面积相等的图形周长变化有什么规律？周长相等的图形面积变化又有什么规律呢？我们就从长方形来入手。（教师现场补充了两个问题，并板书表格，要求学生一起填表。）
1、用20根1米长的小棒围成一个长方形，有多少种不同的围法？面积分别是多少？
2、用20个1平方米的正方形拼成长方形，有多少种不同的拼法？周长分别是多少？
师：“周长相等的长方形，随着长和宽的变化，面积变化又有什么规律？”
“面积相等的长方形，随着长和宽的变化，周长变化又有什么规律？”
（学生4人一小组，展开讨论）
（学生汇报，略）
得出：周长相等的长方形，长和宽相差越小，面积越大；长和宽相差越大，面积越小。
面积相等的长方形，长和宽相差越小，周长越短；长和宽相差越大，周长越长。
生9：这里的结论正好相反，可以对比着来记忆。
师：如果是其它图形，在这样的条件下，周长和面积间也有着类似的关系吗？这留给同学们课后去继续研究。
师：哪位同学再来谈谈本节课的收获？
（略）
案例反思：
1、错误是一种非常好的教学资源，它可以显现学生的真实思维，反映学生在建构知识和建构能力体系中的障碍。学生的错误是埋藏在心底的，既然根据以往的教学经验，发现学生中有错误的想法，那么应该怎样纠正这部分学生的错误呢？其实对学生出现的错误好好进行研究和利用，可以提高课堂教学效率；提高学生自我的思辩的能力。课例开头的设计就是想暴露出学生的错误认识，还要引起大部分学生的共鸣，这时再把思考的时间和空间交还给学生，让学生去反思、去验证结论。通过讨论、操作、比较等方法去引导学生去发现错误，得出正确认识，这样一来比教师简单的告知要有效地多。课堂中，学生不就是举出了大量的实例来反驳认知结果中的错误从而加深了认识，学生也在评析错误的过程中迅速成长。
2、课程标准指出：“学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。动手实践、自主探索与合作交流也是学习数学的重要方式。学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。”本节课的教学教师注重了以学生为主体来进行设计，通过问题激发了学生的学习兴趣，调动了学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维，学生在讨论中兴趣盎然，热情高涨，屡次碰撞出思维的火花。而通过学生的回答，教师的设计也确实达到了目的，生6、生7在生5举例的基础上所举的实例及所得的结论很好的体现出了学生思维的含金量。如果学生没有足够的时间和空间去体验的话很难会有那么多的认识。
3、当学生得出“面积不相等的图形周长可能相等；周长不相等的圖形面积也可能相等。”这一超出教师课前预设的结论并引起其他学生的共鸣时，课堂生成也就开始了。面对课堂生成，教师是机械地按照原先设计思路到此为止还是因势利导，继续组织合适学生参与的教学活动，让学生获得更丰富的体验？回答自然是后者。因此教师应该有必要的好好利用这生成性的资源引导学生去继续发现探究。实际上，本课例中教师临时补充的两个问题就是对课堂生成的继续利用，而从学生探究过程及结果来看，对启迪学生思维，培养学生能力都有着良好的效果。
（作者单位：江苏省南京市象山小学 210000 ）