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前不久，我在执教苏教版小学数学第五册“乘法”中的“连乘实际问题”时，恰当的引导活跃了学生的思维，激发了学生探究新知的欲望。同时，学生的独特发现也开阔了我的教学视野，引发了我的一些教学思考。
一、引导
教材第80页的例题如下：
依据教学内容和教学目标，我设计了如下教学环节：先用图出示5个零散的乒乓球和“乒乓球每个2元”的价格，然后让学生读图、获取信息并提出问题：5个乒乓球多少元？接着我把这5个乒乓球用一个袋子装起来，整理成，问学生：“这时你会想到什么？”生：“我知道了刚才的问题‘5个乒乓球多少元’还可以说成‘一袋乒乓球多少元’。”这一追问为学生准确理解题意，顺利解答所求问题打下了坚实的基础。最后我出示这样的6袋乒乓球，让学生尝试解决例题中的问题。通过分析和交流，学生出现了如下两种解法：（1）5×2=10（元），10×6=60（元）；（2）6×5=30（个），30×2=60（元）。
一切按部就班，我暗地自鸣得意。
二、发现
正当我准备结束新授，带领学生进入练习环节时，一个学生突然举手发言：“老师，我还有一种解法呢！ 2×6=12（元），12×5=60（元）。” “他的解法可以吗？”我引导学生们进行讨论。
生1：我觉得他的得数是对的。
生2：他的第一步算式2×6=12（元）好像不知道求的是什么。
生3：我认为他的解法是可以的。因为第一步用算式2×6=12（元）求的是上面一排乒乓球多少元，然后再求5排乒乓球一共多少元。（为了让大家听得更清楚、明白，生3还特意在教学挂图上增画了一条直线，帮助同学理解，如下图）
通过直观图的提示，多数学生豁然开朗了。例题挖掘至此，顺风顺水。我正准备按常规收尾时，冷不防又有一学生突然冒出一句：“随便怎么乘，都可以！”“真是这样吗？”我很意外，也很震惊。说实话，学生们的这些想法，我在备课时还真没有认真思考过。虽然这三种解法备课时我已预设，但这类问题是不是都具有同样的规律呢？教材中的例题确实是随便怎么乘都可以，那是不是所有类似的实际问题都可以随便乘呢？根据乘法交换律和结合律的知识，每种不同算式的结果肯定是一样的，但道理上说得通吗？为了弄明白这个问题，我决定发动学生一起参与探究，要求大家在练习中留意观察：是不是所有类似的题目都可以随便怎么乘？有没有不可以随便乘的？
三、验证
我让学生带着问题做练习，鼓励他们想办法验证自己发现的“规律”（还未经验证），极大地调动了学生探究的兴趣。学生通过一系列的练习，发现图文结合的实际问题都可以随便乘，但一些文字题目好像不可以随便乘。如：“一个盒子放6个茶杯，妈妈买了3盒，每个茶杯4元。妈妈一共要付多少元？”学生认为可以先用4×6，求的是一盒茶杯多少元；也可以先用6×3，求的是一共有多少个茶杯，但不能先用4×3，因为每个茶杯的钱数不能乘盒数。这道题与上面的例题很相似，既然例题可以用三种不同的方法解答，为什么这道题就不可以呢？我寻思学生产生这一错觉的原因。
原来学生在分析题意时，把题目中的“3”仅看作了3盒，这样用每个茶杯的钱数乘盒数就觉得难以解释最后的结果。于是，我出示了如下直观图，把原来的文字信息转化成图示信息，帮助学生分析和理解：如果我们把3盒茶杯叠在一起看，原来的3盒就变成了3层，从图中不难发现一共有6个竖行的杯子。这时我启发学生思考：“4×3求的是什么？可以解释出它的含义吗？”有了图的帮助，学生立刻恍然大悟：4×3求的是1个竖行杯子的钱数，这里的“3”还可以看成3层或者是3个。最后，用1个竖行的钱数乘6就得到6个竖行茶杯的钱数，也就是一共需付的钱数。
学生通过实例列举，最终得出结论：连乘的实际问题随便怎么乘都可以。有没有更加科学的方法来帮助学生论证这一发现呢？从上面图文信息的转化，我得到了如下启示：如果把例题中的三个已知信息分别看作一个长方体的长、宽、高的话，那么所求问题不就是这个长方体的体积吗？任何相关联的两个量相乘，乘积都可以用长方形的面积表示，这样三个量相乘的积，我们也可以用“形”表示出来。比如，我们可以把例题中的信息看作长是6，宽是2，高是5（如下图）。
第一种解法：5×2=10（元），10×6=60（元）；先求侧面的面积，再用侧面的面积乘长。
第二种解法：6×5=30（个），30×2=60（元）；先求前面的面积，再用前面的面积乘宽。
第三种解法：2×6=12（元），12×5=60（元）；先求底面积，再用底面积乘高。
无疑，通过这一转化，我们发现只要是连乘的实际问题，都可以用其中任意两个相关联的量先乘，得到长方体一个面的面积，然后乘相应的高就得到了体积。显然，学生的发现是对的！
四、思考
上述教学内容虽然我教过多次，但从来没有研究过学生发现的规律，甚至在批改学生的作业时，还花很长的时间和相当多的精力去琢磨学生的解题思路是否正确。在课堂教学中我也只是就教材教教材，停留在教学的表面，缺乏深层次主动思考的意识。学生的慧眼发现，弥补了我这一空白，也启迪我今后的教学既要不断增加广度，更要增加厚度。
回顾这节课，学生之所以有这样精彩的发现，我觉得首先是得益于课堂上的有效引导，积极启发学生从多种角度思考同一问题，活跃了学生的思维。其次，当我在课堂上听到学生不同声音的时候，并没有轻易否定或放弃，而是细心琢磨，帮助学生寻找科学的依据，保护了学生创造的积极性。尽管以学生现有的知识水平和思维能力，我们无法帮助他们论证这一“发现”的科学性和严密性，但作为教师对学生的正确“发现”要积极给予肯定，鼓励学生勇于探究和创新，促进他们积极思考，真正让学生体验到探究和创新的快乐。同时，在学生今后学习 “长方体和正方体的体积”时，我们不妨相机出示一些上述学过的连乘的实际问题，既让学生过去的“独创”得到进一步的论证，也让学生体会数形结合的思想，并把后续知识的学习与旧知相机结合，丰富了学生的知识结构，拓宽学生数学思维的广度。
学生经历上述的探究过程，特别是他们的“发现”得到了科学的论证以后，一定倍感喜悦，这份体验对学生今后的数学学习都是弥足珍贵的。
（责编 杜 华）
一、引导
教材第80页的例题如下：
依据教学内容和教学目标，我设计了如下教学环节：先用图出示5个零散的乒乓球和“乒乓球每个2元”的价格，然后让学生读图、获取信息并提出问题：5个乒乓球多少元？接着我把这5个乒乓球用一个袋子装起来，整理成，问学生：“这时你会想到什么？”生：“我知道了刚才的问题‘5个乒乓球多少元’还可以说成‘一袋乒乓球多少元’。”这一追问为学生准确理解题意，顺利解答所求问题打下了坚实的基础。最后我出示这样的6袋乒乓球，让学生尝试解决例题中的问题。通过分析和交流，学生出现了如下两种解法：（1）5×2=10（元），10×6=60（元）；（2）6×5=30（个），30×2=60（元）。
一切按部就班，我暗地自鸣得意。
二、发现
正当我准备结束新授，带领学生进入练习环节时，一个学生突然举手发言：“老师，我还有一种解法呢！ 2×6=12（元），12×5=60（元）。” “他的解法可以吗？”我引导学生们进行讨论。
生1：我觉得他的得数是对的。
生2：他的第一步算式2×6=12（元）好像不知道求的是什么。
生3：我认为他的解法是可以的。因为第一步用算式2×6=12（元）求的是上面一排乒乓球多少元，然后再求5排乒乓球一共多少元。（为了让大家听得更清楚、明白，生3还特意在教学挂图上增画了一条直线，帮助同学理解，如下图）
通过直观图的提示，多数学生豁然开朗了。例题挖掘至此，顺风顺水。我正准备按常规收尾时，冷不防又有一学生突然冒出一句：“随便怎么乘，都可以！”“真是这样吗？”我很意外，也很震惊。说实话，学生们的这些想法，我在备课时还真没有认真思考过。虽然这三种解法备课时我已预设，但这类问题是不是都具有同样的规律呢？教材中的例题确实是随便怎么乘都可以，那是不是所有类似的实际问题都可以随便乘呢？根据乘法交换律和结合律的知识，每种不同算式的结果肯定是一样的，但道理上说得通吗？为了弄明白这个问题，我决定发动学生一起参与探究，要求大家在练习中留意观察：是不是所有类似的题目都可以随便怎么乘？有没有不可以随便乘的？
三、验证
我让学生带着问题做练习，鼓励他们想办法验证自己发现的“规律”（还未经验证），极大地调动了学生探究的兴趣。学生通过一系列的练习，发现图文结合的实际问题都可以随便乘，但一些文字题目好像不可以随便乘。如：“一个盒子放6个茶杯，妈妈买了3盒，每个茶杯4元。妈妈一共要付多少元？”学生认为可以先用4×6，求的是一盒茶杯多少元；也可以先用6×3，求的是一共有多少个茶杯，但不能先用4×3，因为每个茶杯的钱数不能乘盒数。这道题与上面的例题很相似，既然例题可以用三种不同的方法解答，为什么这道题就不可以呢？我寻思学生产生这一错觉的原因。
原来学生在分析题意时，把题目中的“3”仅看作了3盒，这样用每个茶杯的钱数乘盒数就觉得难以解释最后的结果。于是，我出示了如下直观图，把原来的文字信息转化成图示信息，帮助学生分析和理解：如果我们把3盒茶杯叠在一起看，原来的3盒就变成了3层，从图中不难发现一共有6个竖行的杯子。这时我启发学生思考：“4×3求的是什么？可以解释出它的含义吗？”有了图的帮助，学生立刻恍然大悟：4×3求的是1个竖行杯子的钱数，这里的“3”还可以看成3层或者是3个。最后，用1个竖行的钱数乘6就得到6个竖行茶杯的钱数，也就是一共需付的钱数。
学生通过实例列举，最终得出结论：连乘的实际问题随便怎么乘都可以。有没有更加科学的方法来帮助学生论证这一发现呢？从上面图文信息的转化，我得到了如下启示：如果把例题中的三个已知信息分别看作一个长方体的长、宽、高的话，那么所求问题不就是这个长方体的体积吗？任何相关联的两个量相乘，乘积都可以用长方形的面积表示，这样三个量相乘的积，我们也可以用“形”表示出来。比如，我们可以把例题中的信息看作长是6，宽是2，高是5（如下图）。
第一种解法：5×2=10（元），10×6=60（元）；先求侧面的面积，再用侧面的面积乘长。
第二种解法：6×5=30（个），30×2=60（元）；先求前面的面积，再用前面的面积乘宽。
第三种解法：2×6=12（元），12×5=60（元）；先求底面积，再用底面积乘高。
无疑，通过这一转化，我们发现只要是连乘的实际问题，都可以用其中任意两个相关联的量先乘，得到长方体一个面的面积，然后乘相应的高就得到了体积。显然，学生的发现是对的！
四、思考
上述教学内容虽然我教过多次，但从来没有研究过学生发现的规律，甚至在批改学生的作业时，还花很长的时间和相当多的精力去琢磨学生的解题思路是否正确。在课堂教学中我也只是就教材教教材，停留在教学的表面，缺乏深层次主动思考的意识。学生的慧眼发现，弥补了我这一空白，也启迪我今后的教学既要不断增加广度，更要增加厚度。
回顾这节课，学生之所以有这样精彩的发现，我觉得首先是得益于课堂上的有效引导，积极启发学生从多种角度思考同一问题，活跃了学生的思维。其次，当我在课堂上听到学生不同声音的时候，并没有轻易否定或放弃，而是细心琢磨，帮助学生寻找科学的依据，保护了学生创造的积极性。尽管以学生现有的知识水平和思维能力，我们无法帮助他们论证这一“发现”的科学性和严密性，但作为教师对学生的正确“发现”要积极给予肯定，鼓励学生勇于探究和创新，促进他们积极思考，真正让学生体验到探究和创新的快乐。同时，在学生今后学习 “长方体和正方体的体积”时，我们不妨相机出示一些上述学过的连乘的实际问题，既让学生过去的“独创”得到进一步的论证，也让学生体会数形结合的思想，并把后续知识的学习与旧知相机结合，丰富了学生的知识结构，拓宽学生数学思维的广度。
学生经历上述的探究过程，特别是他们的“发现”得到了科学的论证以后，一定倍感喜悦，这份体验对学生今后的数学学习都是弥足珍贵的。
（责编 杜 华）