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摘要：函数是高中数学课程的主线之一，是贯穿了高中数学的重中之重，它与高中数学的其他主线息息相关，密不可分。由于函数具有高度抽象性，对于刚入高一的学生而言，在学习的过程中，不可避免的出现错误。
关键词：高中数学，易错问题；函数
【中图分类号】G633.6
为了帮助学生尽快适应高中数学，本文分析了高中函数学习过程中学生易犯的错误，这些错误很可能是大多数学生在学习过程中都会经历的，同时也是老师在教学中容易忽略的。
张奠宙先生在他的《数学教育的中国道路》一文中，论述学科知识（SK）和教学知识（PK）的关系时写道：“中国数学教育历来关注教材教法的整体研究。”[1]这和西方 L.Schulman 教授提出的‘教学内容知识（PCK）理论是一致的。因此，认识数学易错问题对数学学习重要性，对高中生数学易错问题进行分类，对学生容易出错的问题进行总结，从而减少高中生做错题是有重大意义的。
一、合理分类，正确归因
对学习过程中出现的错误分类研究国内外已有不少。戴再平、罗增儒主要从认知的角度把学生的解题错误分为四类：①知识性错误；②逻辑性错误；③策略性错误；④心理性错误。[2]这种分类比较全面，也为一般的研究者所广泛使用。由于产生错误的原因的复杂性和错误的表现形式的多样性，因此按不同的标准，可以对错误作出不同的分类”。按个体发生解题错误的频发程度，可以把解题错误分为一贯性错误和偶然性错误；按群体发生解题错误的范围大小，可以分为普遍性错误与个别性错误。[3]按照错误性质的不同，可以分为合理性错误与非合理性错误两种类型。[4]从错误的形成原因来看，可分为主观性错误与非主观性错误。[4]
本文选取戴再平、罗增儒关于数学解题错误的分类框架。戴再平、罗增儒主要从学生认知的角度把学生的数学解题错误分为以下四类：
1.知识性错误：
这里主要指解题者由于数学知识上的缺陷与不足所造成的各种错误。如不能正确理解题意（包括误解题意）、概念（性质）混淆、忽视公式、定理成立的条件（比如，公式法则的误用，以及定理的错用），等等。
2.逻辑性错误：
违反基本逻辑规则所产生的推理与论证错误。常见的逻辑性错误的主要表现有：虚假论据、偷换概念、不能推出、循环论证、分类不当、不等价变换。同时，逻辑性错误也常常表现为四种命题混淆、充要条件的错乱、反正法反设不真，等等。
3.策略性错误：
由于解题方向上的偏差，造成思路受阻或解题长度过大”。有些解题方法或解题思路虽没有数学错误，但解题过程过于曲折隐晦，或存在思维回路等，导致整个解题过程费时费力，且易于出错。
4.心理性错误
这里指解题者虽然具备了解决问题的必要数学知识与基本技能，但由于某些心理原因而產生的各种解题错误。
二、举例论证，提出建议
在确定分类框架后，笔者查阅了近年来各地数学的高考题、模拟题、调研考试题，并针对每一类错误，选取了代表性的例题进行分析说明。
1.知识性错误：
（2013山东济南高一年级调研考试）
已知 定义域为 求下列函数定义域：
① ② ③
①错解：
∵ 定义域为 ，∴ ，∴ ，∴ 定义域是
②错解：
定义域是 ，∴ 。∴
分析：
1.未能充分理解函数概念的本质，对函数理解仅仅停留在表面。
函数的定义域是自变量 的取值范围，也就是指能使函数式有意义的 的所有实数的 构成的集合。
2.缺乏对符号“ ”的深入理解。
是“ 是 的函数”的数学表示，应理解为： 是自变量，也就是对应法则 所操作、施加变换的量。
解决方法：
1.解析概念，强调核心要素
函数的三要素是定义域、对应法则、值域。教师需要强调：函数的定义域指的是“自变量”（ ，或 等等，与符号无关）可取的范围的集合，而不是对应法则所作用的括号内的整体的取值范围。
2.多举实例，逐步建构概念
由于函数概念具有高度抽象性，因此可以多举具体实例，让学生在实例中体会求解有关函数的问题。
2.逻辑性错误
（2013江西吉安模拟题）
已知函数
①若 的值域为R，求实数 的取值范围；
②若 的定义域为R，求实数 的取值范围；
①错解：∵ 值域为R，由对数函数图像性质可知，若要满足值域为 ，则真数部分， 恒成立，
∴
解得 的范围是
②错解： 的定义域为 意味着对于任意的 ， 都是有意义的，即对于任意的 ， 的值恒为正，∴
解得 的取值范围是
分析：
第一问的错误之处是： 的值域为R推出真数部分 恒成立进而得到 属于逻辑错误。事实上，当 的值域为R，真数部分必须遍历 的每一个实数，仅仅要求 是不够的。第二问的错误解在于，没有经过讨论就想当然的认为 是一个二次函数，忽略了对 时的讨论，属于逻辑不严密。
解决方法：
1、强调推理论证的严密性。强调当函数中含有未知参数时，谨记对函数类型的讨论
2、让学生理解“当 ，作为真数部分的‘ ’的值域为 ，则 ”是有一定困难的，因为有学生会认为 时，真数部分会出现负数，这时对数无意义。为了使学生理解这点，可举例具体函数说明。
3.策略性错误
（2013陕西汉中调研考试）
已知函数 ，求
解法一：（配凑法）
，∴
于是
解法二：（换元法）
设 ，则 ，于是
， ，于是
解法三：（代入法）
，
分析：
本题给出了三种解题方法，三种方法各有特点：
配凑法需要一定技巧，需要学生可以观察出规律进行配凑。
换元法具有一般性，可以解决所有类似的问题，但是需要强调换元法换元后要注意新变量的取值范围。有时换元法可以与配凑法并用。
代入法同配凑法有类似的地方，都需要注意到新变量和旧变量之间的关系、规律。
教师应注意总结三种方法的规律，让同学在练习中自己体会三种方法各自的优劣，寻找最优解题策略。
参考文献
[1]张奠宙. 数学教育的中国道路[J]. 中学数学月刊， 2012， （1）.
[2]罗增儒. 数学高考答题失误的研究[J]. 数学通报， 1997， （2）.
[3]戴再平.数学习题理论[M].上海：上海教育出版社， 2002.
[4]韩华球. 错误：一笔重要的教学资源[J]. 课程：教材， 2005， （3）.
关键词：高中数学，易错问题；函数
【中图分类号】G633.6
为了帮助学生尽快适应高中数学，本文分析了高中函数学习过程中学生易犯的错误，这些错误很可能是大多数学生在学习过程中都会经历的，同时也是老师在教学中容易忽略的。
张奠宙先生在他的《数学教育的中国道路》一文中，论述学科知识（SK）和教学知识（PK）的关系时写道：“中国数学教育历来关注教材教法的整体研究。”[1]这和西方 L.Schulman 教授提出的‘教学内容知识（PCK）理论是一致的。因此，认识数学易错问题对数学学习重要性，对高中生数学易错问题进行分类，对学生容易出错的问题进行总结，从而减少高中生做错题是有重大意义的。
一、合理分类，正确归因
对学习过程中出现的错误分类研究国内外已有不少。戴再平、罗增儒主要从认知的角度把学生的解题错误分为四类：①知识性错误；②逻辑性错误；③策略性错误；④心理性错误。[2]这种分类比较全面，也为一般的研究者所广泛使用。由于产生错误的原因的复杂性和错误的表现形式的多样性，因此按不同的标准，可以对错误作出不同的分类”。按个体发生解题错误的频发程度，可以把解题错误分为一贯性错误和偶然性错误；按群体发生解题错误的范围大小，可以分为普遍性错误与个别性错误。[3]按照错误性质的不同，可以分为合理性错误与非合理性错误两种类型。[4]从错误的形成原因来看，可分为主观性错误与非主观性错误。[4]
本文选取戴再平、罗增儒关于数学解题错误的分类框架。戴再平、罗增儒主要从学生认知的角度把学生的数学解题错误分为以下四类：
1.知识性错误：
这里主要指解题者由于数学知识上的缺陷与不足所造成的各种错误。如不能正确理解题意（包括误解题意）、概念（性质）混淆、忽视公式、定理成立的条件（比如，公式法则的误用，以及定理的错用），等等。
2.逻辑性错误：
违反基本逻辑规则所产生的推理与论证错误。常见的逻辑性错误的主要表现有：虚假论据、偷换概念、不能推出、循环论证、分类不当、不等价变换。同时，逻辑性错误也常常表现为四种命题混淆、充要条件的错乱、反正法反设不真，等等。
3.策略性错误：
由于解题方向上的偏差，造成思路受阻或解题长度过大”。有些解题方法或解题思路虽没有数学错误，但解题过程过于曲折隐晦，或存在思维回路等，导致整个解题过程费时费力，且易于出错。
4.心理性错误
这里指解题者虽然具备了解决问题的必要数学知识与基本技能，但由于某些心理原因而產生的各种解题错误。
二、举例论证，提出建议
在确定分类框架后，笔者查阅了近年来各地数学的高考题、模拟题、调研考试题，并针对每一类错误，选取了代表性的例题进行分析说明。
1.知识性错误：
（2013山东济南高一年级调研考试）
已知 定义域为 求下列函数定义域：
① ② ③
①错解：
∵ 定义域为 ，∴ ，∴ ，∴ 定义域是
②错解：
定义域是 ，∴ 。∴
分析：
1.未能充分理解函数概念的本质，对函数理解仅仅停留在表面。
函数的定义域是自变量 的取值范围，也就是指能使函数式有意义的 的所有实数的 构成的集合。
2.缺乏对符号“ ”的深入理解。
是“ 是 的函数”的数学表示，应理解为： 是自变量，也就是对应法则 所操作、施加变换的量。
解决方法：
1.解析概念，强调核心要素
函数的三要素是定义域、对应法则、值域。教师需要强调：函数的定义域指的是“自变量”（ ，或 等等，与符号无关）可取的范围的集合，而不是对应法则所作用的括号内的整体的取值范围。
2.多举实例，逐步建构概念
由于函数概念具有高度抽象性，因此可以多举具体实例，让学生在实例中体会求解有关函数的问题。
2.逻辑性错误
（2013江西吉安模拟题）
已知函数
①若 的值域为R，求实数 的取值范围；
②若 的定义域为R，求实数 的取值范围；
①错解：∵ 值域为R，由对数函数图像性质可知，若要满足值域为 ，则真数部分， 恒成立，
∴
解得 的范围是
②错解： 的定义域为 意味着对于任意的 ， 都是有意义的，即对于任意的 ， 的值恒为正，∴
解得 的取值范围是
分析：
第一问的错误之处是： 的值域为R推出真数部分 恒成立进而得到 属于逻辑错误。事实上，当 的值域为R，真数部分必须遍历 的每一个实数，仅仅要求 是不够的。第二问的错误解在于，没有经过讨论就想当然的认为 是一个二次函数，忽略了对 时的讨论，属于逻辑不严密。
解决方法：
1、强调推理论证的严密性。强调当函数中含有未知参数时，谨记对函数类型的讨论
2、让学生理解“当 ，作为真数部分的‘ ’的值域为 ，则 ”是有一定困难的，因为有学生会认为 时，真数部分会出现负数，这时对数无意义。为了使学生理解这点，可举例具体函数说明。
3.策略性错误
（2013陕西汉中调研考试）
已知函数 ，求
解法一：（配凑法）
，∴
于是
解法二：（换元法）
设 ，则 ，于是
， ，于是
解法三：（代入法）
，
分析：
本题给出了三种解题方法，三种方法各有特点：
配凑法需要一定技巧，需要学生可以观察出规律进行配凑。
换元法具有一般性，可以解决所有类似的问题，但是需要强调换元法换元后要注意新变量的取值范围。有时换元法可以与配凑法并用。
代入法同配凑法有类似的地方，都需要注意到新变量和旧变量之间的关系、规律。
教师应注意总结三种方法的规律，让同学在练习中自己体会三种方法各自的优劣，寻找最优解题策略。
参考文献
[1]张奠宙. 数学教育的中国道路[J]. 中学数学月刊， 2012， （1）.
[2]罗增儒. 数学高考答题失误的研究[J]. 数学通报， 1997， （2）.
[3]戴再平.数学习题理论[M].上海：上海教育出版社， 2002.
[4]韩华球. 错误：一笔重要的教学资源[J]. 课程：教材， 2005， （3）.