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【摘要】 在数学教学中，为了提高学生的素质，培养学生的思维，巧妙地选择典型例题，寻求一题多解，不失为培养学生数学思维的发散性、创造性和广阔性的有效途径.
【关键词】 数学教学 一题多解 思维培养
随着科学技术的飞速发展和培养人才的需要，怎样提高学生的素质，培养学生的思维能力，已成为教育教学研究的重要内容. 在教学实践中，笔者体会到在数学教学过程中，选择典型例题，寻求一题多解，不失为培养学生数学思维的发散性、创造性和广阔性的有效途径. 本文就此谈几点体会.
一、一题多解，培养思维的发散性
所谓思维的发散性是指沿着不同的方向和不同的角度来思考同一问题，并且从多方面寻求多样性答案的展开性思维方式. 数学习题，浩如烟海，即使昼夜运算，也难以完成. 在数学教学中，如果能选择典型例题，巧妙地进行一题多解，这样既省力省时，起到了事半功倍的效果，同时又大大地培养了学生思维的发散性.
例１ 求函数y =的最大值和最小值．
解法一 利用三角函数的有界性来解.
因为2y - ycos x = sin x，故2y = sin x + ycos x.
所以=•sin x +•cos x= siｎ（ｘ ＋ φ）．（φ ＝ ａｒｃｔａｎ ｙ）.
因此≤1，y2 ≤． 所以-≤y ≤ .
解法二 利用变量代换，转化为有理分式函数求解.
令２ － ｃｏｓ ｘ ＝ ｔ，则ｓｉｎ２ ｘ ＝ －ｔ２ ＋ ４ｔ － ３ （１≤ｔ≤３）. 故ｙ２ ＝ ，即（ｙ２ ＋ １）ｔ２ － ４ｔ ＋ ３ ＝ ０ 在区间［１，３］内有解.
因此ｙ２ ≤ ，所以－≤ｙ ≤ .
解法三 利用复数知识转化为辐角正切值求解.
令ｚ＝ ２ － ｃｏｓ ｘ ＋ ｉｓｉｎ ｘ，则ｙ 是ｚ 的辐角的正切值，而ｚ是圆（ｘ － ２）２ ＋ ｙ２ ＝ １上的动点，故ｚ 的辐角的正切值的范围是- , ，即有-≤y ≤ ．
该例题分别利用三角函数、分式函数、复数等相关知识多角度求解，拓宽了思路，克服了思维定式，培养了学生思维的发散性.
二、一题多解，培养思维的创造性
所谓思维的创造性，是人类高级的心理活动，是指带有创见性的思维. 即人们通过思维不仅能揭示客观事物的本质的内在联系，而且在此基础上能产生出新颖的、独特的东西，至少是以前在思维中缺少的东西. 在数学教学过程中，对于同一道例题，如果教师能正确引导学生多角度、多途径地去分析、思考，从而寻求多种解法，这样不仅可使学生思路开阔，思维活跃，从而产生出新颖的、独特的东西，而且对培养学生思维的创造性有着积极的推动作用.
例２ 求 .
解法一 先引导学生将无理式通过三角函数代换为有理式，然后积分.
设x = sec t，则dx = sec t•tan tdt
故 = dt =dt = t + c=arccos+ c.
解法二 再引导学生利用配方的方法进行积分.
== -= -arcsin+ c.
解 法三 最后再引导学生利用倒置变换法进行积分.
设x = ，则dx = - dt. 故 == - = arcsin t + c = -arcsin+ c.
通过前三种普通常用积分方法的学习，这时就会有学生提出：是否可以直接令 = t，于是就产生了第四种解法，它是一种新颖的、独特的解法.
解法四 令 = t，则 dx = dt.
故 == arctan t + c =arctan + c. 该例题在常用解题方法的基础上产生新颖的、独特的解法，因此较好地培养了学生思维的创造性.
三、一题多解，培养思维的广阔性
思维的广阔性是指思维活动作用范围的广泛和全面的程度. 在数学教学过程中，对于同一道例题，如果教师能正确引导学生全面地分析问题、多方位地思考问题、多角度地研究问题，并对该例题的特征、函数关系进行重新分析，作出更为广泛的联想，使用不同的处理方法进行一题多解，这样对于培养学生思维的广阔性有着重要的指导意义.
例３ 求.
解法一 因该极限是“”型不定式，多次尝试罗必塔法则，可得下列解法：
原式 ===
- = - .
解法二 在上述解题过程中，当两次使用罗必塔法则后，分析函数的结构，再联想到极限四则运算法则，不难得到下列解法：
原式 = = =•= - •1 = - .
解法三 在法一的解题中，当第一次使用罗必塔法则后，分析函数的结构，再联想到三角恒等式，于是可得下列解法：
原式 ===
= - .
该例题在解题过程中，在使用罗必塔法则的同时联想到极限四则运算法则、三角恒等式的相关知识，得到三种不同的解法，这对培养学生的思维广阔性起着十分积极的作用.
【参考文献】
［１］ 罗增儒．数学解题学引论［Ｍ］．西安：陕西师范大学出版社，１９９７（６）．
［２］ 柳重堪．一元函数微积分［Ｍ］．北京：中央广播电视大学出版社，２０００（７）．
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
【关键词】 数学教学 一题多解 思维培养
随着科学技术的飞速发展和培养人才的需要，怎样提高学生的素质，培养学生的思维能力，已成为教育教学研究的重要内容. 在教学实践中，笔者体会到在数学教学过程中，选择典型例题，寻求一题多解，不失为培养学生数学思维的发散性、创造性和广阔性的有效途径. 本文就此谈几点体会.
一、一题多解，培养思维的发散性
所谓思维的发散性是指沿着不同的方向和不同的角度来思考同一问题，并且从多方面寻求多样性答案的展开性思维方式. 数学习题，浩如烟海，即使昼夜运算，也难以完成. 在数学教学中，如果能选择典型例题，巧妙地进行一题多解，这样既省力省时，起到了事半功倍的效果，同时又大大地培养了学生思维的发散性.
例１ 求函数y =的最大值和最小值．
解法一 利用三角函数的有界性来解.
因为2y - ycos x = sin x，故2y = sin x + ycos x.
所以=•sin x +•cos x= siｎ（ｘ ＋ φ）．（φ ＝ ａｒｃｔａｎ ｙ）.
因此≤1，y2 ≤． 所以-≤y ≤ .
解法二 利用变量代换，转化为有理分式函数求解.
令２ － ｃｏｓ ｘ ＝ ｔ，则ｓｉｎ２ ｘ ＝ －ｔ２ ＋ ４ｔ － ３ （１≤ｔ≤３）. 故ｙ２ ＝ ，即（ｙ２ ＋ １）ｔ２ － ４ｔ ＋ ３ ＝ ０ 在区间［１，３］内有解.
因此ｙ２ ≤ ，所以－≤ｙ ≤ .
解法三 利用复数知识转化为辐角正切值求解.
令ｚ＝ ２ － ｃｏｓ ｘ ＋ ｉｓｉｎ ｘ，则ｙ 是ｚ 的辐角的正切值，而ｚ是圆（ｘ － ２）２ ＋ ｙ２ ＝ １上的动点，故ｚ 的辐角的正切值的范围是- , ，即有-≤y ≤ ．
该例题分别利用三角函数、分式函数、复数等相关知识多角度求解，拓宽了思路，克服了思维定式，培养了学生思维的发散性.
二、一题多解，培养思维的创造性
所谓思维的创造性，是人类高级的心理活动，是指带有创见性的思维. 即人们通过思维不仅能揭示客观事物的本质的内在联系，而且在此基础上能产生出新颖的、独特的东西，至少是以前在思维中缺少的东西. 在数学教学过程中，对于同一道例题，如果教师能正确引导学生多角度、多途径地去分析、思考，从而寻求多种解法，这样不仅可使学生思路开阔，思维活跃，从而产生出新颖的、独特的东西，而且对培养学生思维的创造性有着积极的推动作用.
例２ 求 .
解法一 先引导学生将无理式通过三角函数代换为有理式，然后积分.
设x = sec t，则dx = sec t•tan tdt
故 = dt =dt = t + c=arccos+ c.
解法二 再引导学生利用配方的方法进行积分.
== -= -arcsin+ c.
解 法三 最后再引导学生利用倒置变换法进行积分.
设x = ，则dx = - dt. 故 == - = arcsin t + c = -arcsin+ c.
通过前三种普通常用积分方法的学习，这时就会有学生提出：是否可以直接令 = t，于是就产生了第四种解法，它是一种新颖的、独特的解法.
解法四 令 = t，则 dx = dt.
故 == arctan t + c =arctan + c. 该例题在常用解题方法的基础上产生新颖的、独特的解法，因此较好地培养了学生思维的创造性.
三、一题多解，培养思维的广阔性
思维的广阔性是指思维活动作用范围的广泛和全面的程度. 在数学教学过程中，对于同一道例题，如果教师能正确引导学生全面地分析问题、多方位地思考问题、多角度地研究问题，并对该例题的特征、函数关系进行重新分析，作出更为广泛的联想，使用不同的处理方法进行一题多解，这样对于培养学生思维的广阔性有着重要的指导意义.
例３ 求.
解法一 因该极限是“”型不定式，多次尝试罗必塔法则，可得下列解法：
原式 ===
- = - .
解法二 在上述解题过程中，当两次使用罗必塔法则后，分析函数的结构，再联想到极限四则运算法则，不难得到下列解法：
原式 = = =•= - •1 = - .
解法三 在法一的解题中，当第一次使用罗必塔法则后，分析函数的结构，再联想到三角恒等式，于是可得下列解法：
原式 ===
= - .
该例题在解题过程中，在使用罗必塔法则的同时联想到极限四则运算法则、三角恒等式的相关知识，得到三种不同的解法，这对培养学生的思维广阔性起着十分积极的作用.
【参考文献】
［１］ 罗增儒．数学解题学引论［Ｍ］．西安：陕西师范大学出版社，１９９７（６）．
［２］ 柳重堪．一元函数微积分［Ｍ］．北京：中央广播电视大学出版社，２０００（７）．
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”