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“走进图形世界”是初中几何学习的起始部分.对这一章重难点的掌握程度、思想方法的体会程度，将会影响同学们接下来的几何学习信心以及数学学习热情.下面通过几个经典例题，与同学们一起来探索本章中常用的数学思想方法.
一、“概念型”的分类思想
例1 将下列几何体分类，并说明理由.
【分析】本题应在认识到以上几何体的各自特征基础上，比较它们之间的相同点与不同点，再将它们进行分类.棱柱的特征：组成棱柱的面都是平面，上下底面是形状、大小都相同的多边形，侧面是长方形或平行四边形.球的特征：组成球的面是曲面.圆柱的特征：上下底面是大小相同的圆，侧面是曲面.棱锥的特征：组成棱锥的面都是平面，底面是多边形，侧面是三角形.圆锥的特征：底面是一个圆，侧面是曲面.
【答案】①若按柱、锥、球分：棱柱、圆柱是一类，为柱体；棱锥、圆锥是一类，为锥体；球是一类为球体.
②若按组成几何体的面中是否有曲面来分：棱柱、棱锥是一类，即组成几何体的各个面都是平面图形；球、圆柱、圆锥是一类，即组成几何体的面中至少有一个面是曲面.
③若按几何体是否有顶点来分：棱柱、棱锥、圆锥是一类，即至少有一个顶点；球、圆柱是一类，没有顶点.
【点评】这是一个开放型题目，又渗透了分类的思想.分类思想是根据数学本质属性的相同点和不同点，将数学研究对象分为不同种类的一种数学思想.概念型的分类，一定要充分了解分类对象的属性，统一好分类的标准，不一样的标准将会有不一样的结果.
二、“结论型”的分类思想
例2 把下图中的直角三角形和直角梯形（一腰垂直于底的梯形）相等的边拼在一起，可以拼成哪些不同的平面图形？
【分析】仔细观察图形，两个图形中有长度分别为1，2的边长，可以分类将长度为1的拼在一起，长度为2的拼在一起.在此过程中让一个图形位置不变，另一个通过平移、翻折、旋转等图形运动将相等的边拼在一起.注意分类还不能遗漏，图中还有两条没标注长度的边，需要考虑.
【答案】所拼成的图形有直角三角形、有1个角是直角的凹五边形、等腰梯形、平行四边形、有2个角是直角的凸四边形、有1个角是直角的凸五边形、正方形、有3个角是直角的凸五边形等8种情况如下：
【点评】这是一个操作型题目，其中也渗透了分类的思想，求解的数学问题结论一般有多种情况.如何将所有的情况不遗漏地全部得到，这就需要我们能够有条理地进行分类.因此，从所给的问题情境中，正确而迅速地辨认题目中与分类有关的数量关系及位置关系，是解决问题的关键.
三、“探索型”的化归思想
例3 十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数 （V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式.请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题.
（1）根据上面多面体模型，完成表格：
你发现顶点数 （V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是_______________；
（2）一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是_______________；
（3）某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱.设该多面体外表面三角形为x个，八边形为y个，求x y的值.
【分析】本题是一个有关欧拉公式的探索以及运用的题型.（1）通过观察几个特殊幾何体的顶点数、面数、棱数，得出具体数值，再探索出它们之间的一般关系. 经历由易到难，由特殊到一般的探索过程.（2）运用欧拉公式解决问题.（3）运用欧拉公式解决问题，与（2）不同的是，棱数要计算出来，这是一个小难点.
【答案】（1）
发现：4 4-6=2，8 6-12=2，6 8-12=2，20 12-30=2，于是有：V F-E=2.
（2）面数为20.
（3）每个顶点处有3条棱，这样24个顶点共有72条棱.但是每条棱连着两个顶点，每条棱均算了两遍，实际上棱只有36条，根据欧拉公式V F-E=2，可得x y=14.
【点评】本题是宁波市的一道中考题，是典型的探索与运用题型.如果没有第（1）问的直观几何体铺垫，同学们无从下手推导出抽象的欧拉公式.此题正体现了数学中常用的化归思想，将一个问题由难化易，由繁化简，进行转化和归结.化归不仅是重要的解题思想，更是一种有效的数学思维方式.
（作者单位：江苏省南京市第二十九中学致远初级中学）
一、“概念型”的分类思想
例1 将下列几何体分类，并说明理由.
【分析】本题应在认识到以上几何体的各自特征基础上，比较它们之间的相同点与不同点，再将它们进行分类.棱柱的特征：组成棱柱的面都是平面，上下底面是形状、大小都相同的多边形，侧面是长方形或平行四边形.球的特征：组成球的面是曲面.圆柱的特征：上下底面是大小相同的圆，侧面是曲面.棱锥的特征：组成棱锥的面都是平面，底面是多边形，侧面是三角形.圆锥的特征：底面是一个圆，侧面是曲面.
【答案】①若按柱、锥、球分：棱柱、圆柱是一类，为柱体；棱锥、圆锥是一类，为锥体；球是一类为球体.
②若按组成几何体的面中是否有曲面来分：棱柱、棱锥是一类，即组成几何体的各个面都是平面图形；球、圆柱、圆锥是一类，即组成几何体的面中至少有一个面是曲面.
③若按几何体是否有顶点来分：棱柱、棱锥、圆锥是一类，即至少有一个顶点；球、圆柱是一类，没有顶点.
【点评】这是一个开放型题目，又渗透了分类的思想.分类思想是根据数学本质属性的相同点和不同点，将数学研究对象分为不同种类的一种数学思想.概念型的分类，一定要充分了解分类对象的属性，统一好分类的标准，不一样的标准将会有不一样的结果.
二、“结论型”的分类思想
例2 把下图中的直角三角形和直角梯形（一腰垂直于底的梯形）相等的边拼在一起，可以拼成哪些不同的平面图形？
【分析】仔细观察图形，两个图形中有长度分别为1，2的边长，可以分类将长度为1的拼在一起，长度为2的拼在一起.在此过程中让一个图形位置不变，另一个通过平移、翻折、旋转等图形运动将相等的边拼在一起.注意分类还不能遗漏，图中还有两条没标注长度的边，需要考虑.
【答案】所拼成的图形有直角三角形、有1个角是直角的凹五边形、等腰梯形、平行四边形、有2个角是直角的凸四边形、有1个角是直角的凸五边形、正方形、有3个角是直角的凸五边形等8种情况如下：
【点评】这是一个操作型题目，其中也渗透了分类的思想，求解的数学问题结论一般有多种情况.如何将所有的情况不遗漏地全部得到，这就需要我们能够有条理地进行分类.因此，从所给的问题情境中，正确而迅速地辨认题目中与分类有关的数量关系及位置关系，是解决问题的关键.
三、“探索型”的化归思想
例3 十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数 （V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式.请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题.
（1）根据上面多面体模型，完成表格：
你发现顶点数 （V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是_______________；
（2）一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是_______________；
（3）某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱.设该多面体外表面三角形为x个，八边形为y个，求x y的值.
【分析】本题是一个有关欧拉公式的探索以及运用的题型.（1）通过观察几个特殊幾何体的顶点数、面数、棱数，得出具体数值，再探索出它们之间的一般关系. 经历由易到难，由特殊到一般的探索过程.（2）运用欧拉公式解决问题.（3）运用欧拉公式解决问题，与（2）不同的是，棱数要计算出来，这是一个小难点.
【答案】（1）
发现：4 4-6=2，8 6-12=2，6 8-12=2，20 12-30=2，于是有：V F-E=2.
（2）面数为20.
（3）每个顶点处有3条棱，这样24个顶点共有72条棱.但是每条棱连着两个顶点，每条棱均算了两遍，实际上棱只有36条，根据欧拉公式V F-E=2，可得x y=14.
【点评】本题是宁波市的一道中考题，是典型的探索与运用题型.如果没有第（1）问的直观几何体铺垫，同学们无从下手推导出抽象的欧拉公式.此题正体现了数学中常用的化归思想，将一个问题由难化易，由繁化简，进行转化和归结.化归不仅是重要的解题思想，更是一种有效的数学思维方式.
（作者单位：江苏省南京市第二十九中学致远初级中学）