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摘 要：概念教学的主要内容可以归纳为，素材的引入、概念的形成、数学思想的渗透、数学的符号表达等部分。数学概念帮助学生理解数学命题、方法和体系，把握数学本质。教师授课过程中，要善于给出令学生想解决却用旧知识难以解决的特殊问题，并采取逐步追问的方式，刺激学生继续进行深入思考，进而运用于生活实践。
关键词：数学抽象；概念教学；课堂模式
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1009-010X（2017）35-0048-03
数学概念反映数学对象的本质，是形成数学思维和指导数学运算的基础。数学概念文字简约，内涵和外延严格确定，具有严谨性、抽象性、逻辑性和符号化等特征。
数学概念在学生头脑中建立的顺序，体现了数学学科系统内在的宏观逻辑关系——已知定义未知，逐层拓宽个人知识范畴和人类学术领域。对于数学概念的教学，教师要遵循学生现有的逻辑体系，从学生已有的认知出发，分析新知识在生本环境中建立的基础。因此，教学内容和过程的设计，直接影响学生的学习效率，不能搞“一个定义、三项注意”。概念教学的主要内容可以归纳为，素材的引入、概念的形成、数学思想的渗透、数学的符号表达等部分。例如，单调性概念的建立，需要从学生对函数概念的理解出发。教师需要通过具体的、大量的、有代表性的具体实例让学生发现规律，体会函数单调性概念是用来刻画函数在其定义域某区间上的变化趋势。在学生对单调性有了基本感性认识基础上，进一步体会“解析法”在刻画函数单调性方面的价值，在头脑中形成对函数单调性这一概念的清晰印象并用数学语言记忆和表达，最终在处理实际问题时投入使用。
一、教学体系主要构成
（一）概念引入
概念的引入立足于學情基础，围绕导学素材逐步促进学生形成对新概念本质的认识与思辨，从而自主建立新知识与其已有知识之间的联系。首先，教师要尊重学生现有的生活经验与数学学习经验，引导学生在观察与思考中自然建立数学概念。学习活动必然基于学习者的观察与直观感受才能使大脑进行有价值的分析活动，因此教师在课程活动中的切勿令学生仓促记忆并盲目投身题海。此外，就数学学科所指的“直观”除了具体生活实例，更侧重“几何直观”——数形结合思想，重视让学生在实践中主动观察，形成“万物皆数”的直观感受。这个过程兼具指向性和开放性，要因材施教、因势利导。
以任意角概念的教学为例。此知识点建立在初中课程的基础上，随着学生学习的深入和生活经验的积累，教师要筛选导学素材从而指出“扩充角的范围”的必要性——可以从数学知识的发展要求引入，也可以从生产、生活实际的现实问题引入——使学生在客观实例中观察圆周运动的位置规律，理解三角函数是用来精确刻画“角度的周期性变化规律”的数学模型——把有限的一次圆周运动拓展到无限次。让学生始终明确三角函数的实际意义，消除其“为什么而学”的困惑，更有效地在教学过程中感悟这一概念的内涵与外延，最终学以致用——让三角函数模型成为解决数学和其他学科实际问题时的工具。
（二）数学抽象
导学素材无论取自现实生活还是学生已经掌握的数学经验，教师在教学过程中要注意引导学生关注其中的数学特征，使这些材料数学化，促进学生形成数学抽象。概念建立的思维过程是一个从特殊到一般、从具体到抽象、从感性到理性的过程。教师要引导学生进行有目的的思考，并让学生在实际问题中体会概念的价值。实践证明学生对新知识的掌握过程是“螺旋式上升”的——从具体实例到主观抽象，然后还原到客观生活并在未来继续发现和探索，在千锤百炼的过程中使得自身的核心素养得以发展。
例如，运用解析法分析椭圆，实际上就是将一个几何问题代数化过程——通过建立表达式揭露曲线几何特征与代数形式的“双向”关系——深刻认识椭圆概念的真实含义不仅是几个例子或头脑中的粗浅印象——该图形包含很多学生前所未见的特殊属性。而学生为了透彻理解这个几何图形需要借助代数工具来研究，通过化形为数实现从将纷繁的表象还原到简洁的代数式进行解析。这就是该概念教学过程的中心环节，使得学生的“数学抽象”这个学科素养在此课程中的实现发展。
（三）数学思想方法
教学过程要着重明确概念的内涵与外延。数学概念内涵价值在于其中蕴含着的数学思想，这才是数学学科素养综合发展的核心内容。基于对数学思想的把握，才能令学生“做一道题会一类题”，使学生处理数学问题时达到触类旁通的境界。数学思想是学生在不断经历“辨析案例、回归定义、认识本质”的过程后达到的学科宏观高度，绝非熟练掌握几个难题套路就能成就的。
（四）数学符号化
数学抽象素养是指舍去外在物理属性，得到数学研究对象的思维过程。符号化的思维随之贯穿在数学学科的产生、发展、应用的过程中，使学人能更好地理解数学概念、命题、方法和体系，把握事物的数学本质，最终主动运用数学思维解决其他学科在生产生活实践中遇到的问题。数学符号是表述数学概念的基本元素。数学符号简化了数学思维的表述过程，从而实现高度抽象。教学过程中，教师要强调数学符号的抽象性和科学性——数学术语与描述性语言在具体数学问题上可以实现相互转化——用数学符号使语义表述更为简洁和精确，使实际问题处理更加高效，绝不会演变成象征性的、写意的、含义不确定的结论。
二、授课活动的主要模式
（一）自主
学生已经了解的内容是其思维的出发点，也就是其学习新知的基础。导学的意义不止是复习旧知和炒热气氛，关键是抓住学生新旧知识的节点，给出一个令学生想解决却用旧知识难以解决的特殊问题，进而引发学生的认知冲突，激发其学习欲望。从特殊到一般，逐步扩大学生的见识。这个学习过程不追求认知建立的一步到位，重点是“因材施教”——要根据学生的认识水平提出恰如其分的挑战性。教师要把课堂主体地位让给学生，始终做到“学生冲在前面、教师断后”，给予学生发展空间，让学生独立思考。
（二）合作
学生可能犯错，会因为不能摆脱原有的认知水平而产生自相矛盾或者违背客观的结论。而且学生群体中的错误可能五花八门，往往只有极少数情况下达成“所见略同”。但思维偏差是有分析价值的，教师在课堂上要组织多边的、多样的、合理有效的师生交流和生生交流，放手让学生体会和表达，促进在切磋中迸发思维的火花。学生提出的见解不到位时，教师作为主导可以采取逐步追问的方式，刺激学生继续进行深入思考。
（三）探究
概念探究的环节是检验效果的课堂核心过程，要重点关注“课堂生成”，调节学生理论构建与实践运用的平衡发展——教师要引导学生在分析问题的过程中回归概念，也要指导学生理论学习的过程中强化实践。一堂好课应该让学生经历“问题形成和解决”的完整体验，教师要让学生有值得思考的问题，进而看破问题，最终放下问题——看破问题是“探索”，放下问题方才“究竟”——在观察、分析、操作、交流的“探究”过程中，问题的价值已经得以充分利用，学生的核心素养已经得到充分发展，一课之后师生都可以继续坦然前行。
【责任编辑 冯梦阳】
关键词：数学抽象；概念教学；课堂模式
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1009-010X（2017）35-0048-03
数学概念反映数学对象的本质，是形成数学思维和指导数学运算的基础。数学概念文字简约，内涵和外延严格确定，具有严谨性、抽象性、逻辑性和符号化等特征。
数学概念在学生头脑中建立的顺序，体现了数学学科系统内在的宏观逻辑关系——已知定义未知，逐层拓宽个人知识范畴和人类学术领域。对于数学概念的教学，教师要遵循学生现有的逻辑体系，从学生已有的认知出发，分析新知识在生本环境中建立的基础。因此，教学内容和过程的设计，直接影响学生的学习效率，不能搞“一个定义、三项注意”。概念教学的主要内容可以归纳为，素材的引入、概念的形成、数学思想的渗透、数学的符号表达等部分。例如，单调性概念的建立，需要从学生对函数概念的理解出发。教师需要通过具体的、大量的、有代表性的具体实例让学生发现规律，体会函数单调性概念是用来刻画函数在其定义域某区间上的变化趋势。在学生对单调性有了基本感性认识基础上，进一步体会“解析法”在刻画函数单调性方面的价值，在头脑中形成对函数单调性这一概念的清晰印象并用数学语言记忆和表达，最终在处理实际问题时投入使用。
一、教学体系主要构成
（一）概念引入
概念的引入立足于學情基础，围绕导学素材逐步促进学生形成对新概念本质的认识与思辨，从而自主建立新知识与其已有知识之间的联系。首先，教师要尊重学生现有的生活经验与数学学习经验，引导学生在观察与思考中自然建立数学概念。学习活动必然基于学习者的观察与直观感受才能使大脑进行有价值的分析活动，因此教师在课程活动中的切勿令学生仓促记忆并盲目投身题海。此外，就数学学科所指的“直观”除了具体生活实例，更侧重“几何直观”——数形结合思想，重视让学生在实践中主动观察，形成“万物皆数”的直观感受。这个过程兼具指向性和开放性，要因材施教、因势利导。
以任意角概念的教学为例。此知识点建立在初中课程的基础上，随着学生学习的深入和生活经验的积累，教师要筛选导学素材从而指出“扩充角的范围”的必要性——可以从数学知识的发展要求引入，也可以从生产、生活实际的现实问题引入——使学生在客观实例中观察圆周运动的位置规律，理解三角函数是用来精确刻画“角度的周期性变化规律”的数学模型——把有限的一次圆周运动拓展到无限次。让学生始终明确三角函数的实际意义，消除其“为什么而学”的困惑，更有效地在教学过程中感悟这一概念的内涵与外延，最终学以致用——让三角函数模型成为解决数学和其他学科实际问题时的工具。
（二）数学抽象
导学素材无论取自现实生活还是学生已经掌握的数学经验，教师在教学过程中要注意引导学生关注其中的数学特征，使这些材料数学化，促进学生形成数学抽象。概念建立的思维过程是一个从特殊到一般、从具体到抽象、从感性到理性的过程。教师要引导学生进行有目的的思考，并让学生在实际问题中体会概念的价值。实践证明学生对新知识的掌握过程是“螺旋式上升”的——从具体实例到主观抽象，然后还原到客观生活并在未来继续发现和探索，在千锤百炼的过程中使得自身的核心素养得以发展。
例如，运用解析法分析椭圆，实际上就是将一个几何问题代数化过程——通过建立表达式揭露曲线几何特征与代数形式的“双向”关系——深刻认识椭圆概念的真实含义不仅是几个例子或头脑中的粗浅印象——该图形包含很多学生前所未见的特殊属性。而学生为了透彻理解这个几何图形需要借助代数工具来研究，通过化形为数实现从将纷繁的表象还原到简洁的代数式进行解析。这就是该概念教学过程的中心环节，使得学生的“数学抽象”这个学科素养在此课程中的实现发展。
（三）数学思想方法
教学过程要着重明确概念的内涵与外延。数学概念内涵价值在于其中蕴含着的数学思想，这才是数学学科素养综合发展的核心内容。基于对数学思想的把握，才能令学生“做一道题会一类题”，使学生处理数学问题时达到触类旁通的境界。数学思想是学生在不断经历“辨析案例、回归定义、认识本质”的过程后达到的学科宏观高度，绝非熟练掌握几个难题套路就能成就的。
（四）数学符号化
数学抽象素养是指舍去外在物理属性，得到数学研究对象的思维过程。符号化的思维随之贯穿在数学学科的产生、发展、应用的过程中，使学人能更好地理解数学概念、命题、方法和体系，把握事物的数学本质，最终主动运用数学思维解决其他学科在生产生活实践中遇到的问题。数学符号是表述数学概念的基本元素。数学符号简化了数学思维的表述过程，从而实现高度抽象。教学过程中，教师要强调数学符号的抽象性和科学性——数学术语与描述性语言在具体数学问题上可以实现相互转化——用数学符号使语义表述更为简洁和精确，使实际问题处理更加高效，绝不会演变成象征性的、写意的、含义不确定的结论。
二、授课活动的主要模式
（一）自主
学生已经了解的内容是其思维的出发点，也就是其学习新知的基础。导学的意义不止是复习旧知和炒热气氛，关键是抓住学生新旧知识的节点，给出一个令学生想解决却用旧知识难以解决的特殊问题，进而引发学生的认知冲突，激发其学习欲望。从特殊到一般，逐步扩大学生的见识。这个学习过程不追求认知建立的一步到位，重点是“因材施教”——要根据学生的认识水平提出恰如其分的挑战性。教师要把课堂主体地位让给学生，始终做到“学生冲在前面、教师断后”，给予学生发展空间，让学生独立思考。
（二）合作
学生可能犯错，会因为不能摆脱原有的认知水平而产生自相矛盾或者违背客观的结论。而且学生群体中的错误可能五花八门，往往只有极少数情况下达成“所见略同”。但思维偏差是有分析价值的，教师在课堂上要组织多边的、多样的、合理有效的师生交流和生生交流，放手让学生体会和表达，促进在切磋中迸发思维的火花。学生提出的见解不到位时，教师作为主导可以采取逐步追问的方式，刺激学生继续进行深入思考。
（三）探究
概念探究的环节是检验效果的课堂核心过程，要重点关注“课堂生成”，调节学生理论构建与实践运用的平衡发展——教师要引导学生在分析问题的过程中回归概念，也要指导学生理论学习的过程中强化实践。一堂好课应该让学生经历“问题形成和解决”的完整体验，教师要让学生有值得思考的问题，进而看破问题，最终放下问题——看破问题是“探索”，放下问题方才“究竟”——在观察、分析、操作、交流的“探究”过程中，问题的价值已经得以充分利用，学生的核心素养已经得到充分发展，一课之后师生都可以继续坦然前行。
【责任编辑 冯梦阳】