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【摘要】数学的知识、思想、方法、技能只有经过一定的数学基本活动经验的积累才能内化为学生的数学素养.综合与实践活动为数学基本活动经验的积累提供了平台，本文对“猜想、证明与拓广”教学中学生数学基本活动经验的积累进行了分析.
【关键词】综合与实践;数学基本活动经验;猜想;证明;拓广
数学基本活动经验作为课程目标之一在《义务教育数学课程标准（2011年版）》中被明确提出，可以理解为学生从经历的数学活动过程中获得的感受、体验、领悟以及数学知识、技能、情感与观念等内容组成的有机组合性经验[1].综合实践活动的形式多种多样，包括观察、猜想、验证、推理与交流等数学活动，学生要综合自己的知识，运用数学的思维模式进行课题的研究，因此，综合实践活动是积累数学基本活动经验的重要载体.“猜想、证明与拓广”（第一课时）选自北师大版课标教材九年级上册综合与实践，主要探究矩形的“倍增”与“减半”问题.本文分析了这节综合与实践课对学生积累数学基本活动经验的独特价值.
一、课堂教学实录
（一）探究活动1：正方形的“倍增”问题
1.猜想环节
师：任意给定一个正方形，是否存在另一个正方形，它的周长与面积分别是已知正方形周长和面积的2倍？大家大胆猜想一下.
（教师板书并画图（如图1所示），学生交流讨论）
生：不存在.
师：是怎么考虑的？
生：特殊值验算，设原正方形边长为2，所要求的正方形的周长应该为16，那么它的边长为4，面积为16，不是原来的2倍.
（教师板书猜想）
2.证明环节
师：仅凭这样一个例子可以直接判定不存在吗，还是不一定存在呢？
生：不能判定，这只是一个特殊情况，只能作为一种猜想的依据.
师：怎么给出一般性的证明呢？
生：用字母表示边长.
师：好，那我们任意给定一个正方形，设它的边长为a，则周长为4a，面积为a2.那么该如何证明呢？
（小组内交流讨论，小组代表发言）
生：如果存在满足条件的正方形，假如周长是原来的2倍，那么它的边长应该为2a，但是此时面积为4a2，不是原来的2倍，因此，不存在满足条件的正方形.
生：假如所求正方形的面积满足是原来的2倍，它的边长应该为2a，那么此时正方形的周长是42a，变成了原来的2倍，因此，不存在满足条件的正方形.
师：很好，你们都是从代数角度考虑的，从正方形的几何特性考虑一下，还有别的方法吗？
生：利用相似来做，如果存在，这两个正方形一定相似，所以可设相似比为k，则周长比为k，面积比为k2，由题意可得k=k2=2，这样的k不存在，故这样的正方形不存在.
师：非常好，同学们用三种方法证明了猜想.我们来总结一下：方法一，固定周长，看面积是否满足条件;方法二，固定面积，看周长是否符合条件;方法三，利用相似图形的性质证明.谁来表述一下结论？
生：任意给定一个正方形，不存在另一个正方形，它的周长与面积分别是已知正方形周长和面积的2倍.
3.拓广环节
师：刚才我们研究的是正方形的“倍增”问题，其他的图形有这样的性质吗？你们能拓广一下吗？
生：将正方形改为矩形.
师：用语言表述一下.
生：（猜想一）任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍？
生：（猜想二）任意给定一个三角形，是否存在另一个三角形，它的周长和面积分别是已知三角形周长和面积的2倍？
师：好，同学们不拘泥于四边形，将边数扩展到三条边了.
生：（猜想三）任意给定一个圆，是否存在另一个圆，它的周长和面积分别是已知圆周长和面积的2倍？
师：好，现在又拓广到圆了.
师：那么对于这些猜想，同学们最想探究哪一个呢？
生：矩形，正方形是特殊的矩形，我们证明了正方形的结论，它的进一步拓广就是矩形，就探究一下矩形吧.
师：大家同意吗？
生：同意！
（二）探究活动2：矩形的“倍增”问题
1.猜想环节
师：那我们接下来一起猜想一下有关矩形的这个结论，存在这样的矩形吗？大家想怎么探究呢？小组交流一下.
生：可以确定的是，不存在满足要求并且与已知矩形相似的矩形.
生：探究正方形的方法也是适用的.可以先找个特殊的矩形验证一下，再进行猜想.
生：直接用字母表示之后得出一般性结论.
师：同学们的想法都很好，直接用字母表示来验证是可行的，我们验证几个特例可以理清计算的思路，减少后续计算的困难.大家计算一下以下几个矩形（如图2所示）并验证结论.
（以学习小组为单位进行探究活动，每个小组选择一种情况进行验证，整理并写出完整的解答过程，尝试多种方法解决）
師：同学们说一下第一个长为2、宽为1的矩形，大家找到满足条件的矩形了吗？怎么做的呢？
生：先固定所求矩形的周长，周长为12，设所求矩形的长为x，那么它的宽为6-x，而它的面积为x（6-x），满足的关系式为x（6-x）=4.转化为一元二次方程x2-6x 4=0，计算可得所求的矩形长为3 5，宽为3-5.
生：先固定所求矩形的面积，面积为4，设所求矩形的长为x，那么它的宽为4x，而它的周长为2x 4x，满足的关系式为2x 4x=12.转化为分式方程x 4x=6，计算可得所求的矩形长为3 5，宽为3-5.
生：设所求矩形的长为x，宽为y，那么满足方程组x y=6，xy=4， 对这个方程我们在解的程中遇到了一些困难. 师：好，同学们如何解这个方程组呢？大家一块讨论一下.
（小组交流讨论，小组代表发言）
生：xy=4将x除过去可以转化为反比例函数y=4x，这是我们所熟悉的.将x y=6变形可得y=6-x，方程组的解可以看作这两个函数图像的交点.
师：好，同学们用GeoGebra软件操作一下，将它的求解出来.
生：由函数图像（图3）可得方程组有解，因此，存在这样的矩形.
师：同学们将图形的问题转化为方程问题，方程的解又可以借助函数图像来解决，真正地做到了数形结合.经过刚才的交流，大家解决问题的方法是不是又丰富了呢？再给大家一些时间，解决剩下的两个问题，小组交流讨论.
师：现在给出你们的猜想吧.
生：任意给定一个矩形，存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍.
2.证明环节
师：大家通过几个特例给出了猜想，下面我们来探究一下一般的情况.
生：假设已知矩形的长和宽分别为a和b，那么已知矩形的周长和面积分别为2（a b）和ab，先固定所求矩形的周长，周长为4（a b），设所求矩形的长为x，那么它的宽为2（a b）-x，而它的面积为x[2（a b）-x]，满足的关系式为x[2（a b）-x]=2ab.将关系式变形得到一元二次方程x2-2（a b）x 2ab=0，判别式Δ=4（a2 b2）显然是大于0的，说明方程有解，因此，所要求的矩形是存在的.
师：其他小组还有不一样的做法吗？
生：还可以先固定面积，所求矩形的面积为2ab，设所求矩形的长为x，那么它的宽为2abx，而它的周长为2x 2abx，满足的关系式为2x 2abx=4（a b）.这是一个分式方程，经过变形整理，可以得到方程x2-2（a b）x 2ab=0，同样Δ=4（a2 b2）
【关键词】综合与实践;数学基本活动经验;猜想;证明;拓广
数学基本活动经验作为课程目标之一在《义务教育数学课程标准（2011年版）》中被明确提出，可以理解为学生从经历的数学活动过程中获得的感受、体验、领悟以及数学知识、技能、情感与观念等内容组成的有机组合性经验[1].综合实践活动的形式多种多样，包括观察、猜想、验证、推理与交流等数学活动，学生要综合自己的知识，运用数学的思维模式进行课题的研究，因此，综合实践活动是积累数学基本活动经验的重要载体.“猜想、证明与拓广”（第一课时）选自北师大版课标教材九年级上册综合与实践，主要探究矩形的“倍增”与“减半”问题.本文分析了这节综合与实践课对学生积累数学基本活动经验的独特价值.
一、课堂教学实录
（一）探究活动1：正方形的“倍增”问题
1.猜想环节
师：任意给定一个正方形，是否存在另一个正方形，它的周长与面积分别是已知正方形周长和面积的2倍？大家大胆猜想一下.
（教师板书并画图（如图1所示），学生交流讨论）
生：不存在.
师：是怎么考虑的？
生：特殊值验算，设原正方形边长为2，所要求的正方形的周长应该为16，那么它的边长为4，面积为16，不是原来的2倍.
（教师板书猜想）
2.证明环节
师：仅凭这样一个例子可以直接判定不存在吗，还是不一定存在呢？
生：不能判定，这只是一个特殊情况，只能作为一种猜想的依据.
师：怎么给出一般性的证明呢？
生：用字母表示边长.
师：好，那我们任意给定一个正方形，设它的边长为a，则周长为4a，面积为a2.那么该如何证明呢？
（小组内交流讨论，小组代表发言）
生：如果存在满足条件的正方形，假如周长是原来的2倍，那么它的边长应该为2a，但是此时面积为4a2，不是原来的2倍，因此，不存在满足条件的正方形.
生：假如所求正方形的面积满足是原来的2倍，它的边长应该为2a，那么此时正方形的周长是42a，变成了原来的2倍，因此，不存在满足条件的正方形.
师：很好，你们都是从代数角度考虑的，从正方形的几何特性考虑一下，还有别的方法吗？
生：利用相似来做，如果存在，这两个正方形一定相似，所以可设相似比为k，则周长比为k，面积比为k2，由题意可得k=k2=2，这样的k不存在，故这样的正方形不存在.
师：非常好，同学们用三种方法证明了猜想.我们来总结一下：方法一，固定周长，看面积是否满足条件;方法二，固定面积，看周长是否符合条件;方法三，利用相似图形的性质证明.谁来表述一下结论？
生：任意给定一个正方形，不存在另一个正方形，它的周长与面积分别是已知正方形周长和面积的2倍.
3.拓广环节
师：刚才我们研究的是正方形的“倍增”问题，其他的图形有这样的性质吗？你们能拓广一下吗？
生：将正方形改为矩形.
师：用语言表述一下.
生：（猜想一）任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍？
生：（猜想二）任意给定一个三角形，是否存在另一个三角形，它的周长和面积分别是已知三角形周长和面积的2倍？
师：好，同学们不拘泥于四边形，将边数扩展到三条边了.
生：（猜想三）任意给定一个圆，是否存在另一个圆，它的周长和面积分别是已知圆周长和面积的2倍？
师：好，现在又拓广到圆了.
师：那么对于这些猜想，同学们最想探究哪一个呢？
生：矩形，正方形是特殊的矩形，我们证明了正方形的结论，它的进一步拓广就是矩形，就探究一下矩形吧.
师：大家同意吗？
生：同意！
（二）探究活动2：矩形的“倍增”问题
1.猜想环节
师：那我们接下来一起猜想一下有关矩形的这个结论，存在这样的矩形吗？大家想怎么探究呢？小组交流一下.
生：可以确定的是，不存在满足要求并且与已知矩形相似的矩形.
生：探究正方形的方法也是适用的.可以先找个特殊的矩形验证一下，再进行猜想.
生：直接用字母表示之后得出一般性结论.
师：同学们的想法都很好，直接用字母表示来验证是可行的，我们验证几个特例可以理清计算的思路，减少后续计算的困难.大家计算一下以下几个矩形（如图2所示）并验证结论.
（以学习小组为单位进行探究活动，每个小组选择一种情况进行验证，整理并写出完整的解答过程，尝试多种方法解决）
師：同学们说一下第一个长为2、宽为1的矩形，大家找到满足条件的矩形了吗？怎么做的呢？
生：先固定所求矩形的周长，周长为12，设所求矩形的长为x，那么它的宽为6-x，而它的面积为x（6-x），满足的关系式为x（6-x）=4.转化为一元二次方程x2-6x 4=0，计算可得所求的矩形长为3 5，宽为3-5.
生：先固定所求矩形的面积，面积为4，设所求矩形的长为x，那么它的宽为4x，而它的周长为2x 4x，满足的关系式为2x 4x=12.转化为分式方程x 4x=6，计算可得所求的矩形长为3 5，宽为3-5.
生：设所求矩形的长为x，宽为y，那么满足方程组x y=6，xy=4， 对这个方程我们在解的程中遇到了一些困难. 师：好，同学们如何解这个方程组呢？大家一块讨论一下.
（小组交流讨论，小组代表发言）
生：xy=4将x除过去可以转化为反比例函数y=4x，这是我们所熟悉的.将x y=6变形可得y=6-x，方程组的解可以看作这两个函数图像的交点.
师：好，同学们用GeoGebra软件操作一下，将它的求解出来.
生：由函数图像（图3）可得方程组有解，因此，存在这样的矩形.
师：同学们将图形的问题转化为方程问题，方程的解又可以借助函数图像来解决，真正地做到了数形结合.经过刚才的交流，大家解决问题的方法是不是又丰富了呢？再给大家一些时间，解决剩下的两个问题，小组交流讨论.
师：现在给出你们的猜想吧.
生：任意给定一个矩形，存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍.
2.证明环节
师：大家通过几个特例给出了猜想，下面我们来探究一下一般的情况.
生：假设已知矩形的长和宽分别为a和b，那么已知矩形的周长和面积分别为2（a b）和ab，先固定所求矩形的周长，周长为4（a b），设所求矩形的长为x，那么它的宽为2（a b）-x，而它的面积为x[2（a b）-x]，满足的关系式为x[2（a b）-x]=2ab.将关系式变形得到一元二次方程x2-2（a b）x 2ab=0，判别式Δ=4（a2 b2）显然是大于0的，说明方程有解，因此，所要求的矩形是存在的.
师：其他小组还有不一样的做法吗？
生：还可以先固定面积，所求矩形的面积为2ab，设所求矩形的长为x，那么它的宽为2abx，而它的周长为2x 2abx，满足的关系式为2x 2abx=4（a b）.这是一个分式方程，经过变形整理，可以得到方程x2-2（a b）x 2ab=0，同样Δ=4（a2 b2）