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[摘 要] 《线性代数》是高校理工科学生的必修公共基础课，内容涉及矩阵、向量、线性方程组求解、特征值与特征向量、二次型等。在有限的学时下，传统的教学方法主要是从概念和方法上进行抽象的讲解。针对《线性代数》的当前教学现状，结合软件Matlab实现《线性代数》教学，提出四点改进的教学方法，采用“理论教学—Matlab仿真—程序强化”的教学手段，以增强大学生对理论知识的理解和操练计算机的程序编写。
[关 键 词] 線性代数；Matlab；程序；仿真；教学
[中图分类号] G642 [文献标志码] A [文章编号] 2096-0603（2017）19-0066-02
当前，线性代数课程既是国内外高等学校理、工、管、农类专业的公共基础课程，例如，计算机科学与技术、电子科学与技术、软件工程、机械制造及其自动化等，也是全国硕士研究生入学考试“高等数学”的重要组成部分。作为大学数学课程的一个分支，《线性代数》以研究矩阵、向量、向量空间（或称线性空间）、线性变换、线性方程组求解、二次型等为主要内容。由于非线性模型通常可以被近似为线性模型，因此，《线性代数》不仅具备了纯数学的高度抽象性，还被具体地、广泛地应用于自然科学和社会科学的研究中。美国著名的数学教育家、美国国家《线性代数》课程研究小组核心成员、数学课程现代化的倡导者David C. Lay教授曾经说过：“《线性代数》课程是最有趣、最具价值的大学数学课程”[1][2]。
21世纪是信息的时代，科学技术的发展在某种程度上要依靠强大的数学理论支撑。《线性代数》内容是其他数学类课程的重要基础成分[3]，如，《微分方程》《计算机图形学》《金融工程》《概率论与数理统计》和《最优化》。特别地，在经济、管理、海洋、气象和金融等专业中，许多实际问题都要转换为多变量的数学优化模型，如“公交车调度”“产品销售”“货币管理”和“农作物栽培”等，而求解这些实际模型必须以《线性代数》为基础，才能得到最优状态。因此，线性代数的教学方法研究具有重要的意义。
针对我校《线性代数》的教与学现状以及该课程本身所固有的特点，本文提出结合软件Matlab实现的《线性代数》教学方法研究。结合我校人才培养目标，以提高学生的学习积极性、增强学生学习兴趣和注重实际操作能力为目的，以有效避免纯数学的理论性和单调性，建立与Matlab程序实现的创新式教学。以下提出四点关于《线性代数》的教学研究：
一、向量与矩阵的可视化教学
矩阵是由若干行和若干列所组成的数表[4]，例如，公式（1）给出了一个3×4矩阵A：
A=202 132 34 7973 56 110 6628 250 30 87（1）
特别地，如果只有一行（列）的矩阵，我们称之为行（列）向量，并用小写字母表示。然而，如果只停留在这抽象的概念上进行教学，学生会觉得其在生活的作用不大。而Matlab刚好是可视化实现的强有力工具，将Matlab结合到矩阵与向量的教学中，可以使学生对《线性代数》的学习更有兴趣。例如，我们在讲解了矩阵之后，给了个512×512的彩色辣椒图（如图1所示），利用Matlab软件进行imread读取，得到R，G，B三个信道的大小为512×512的矩阵P1，P2，P3。通过可视化的效果增强学生对矩阵及应用的认识，同时，消除“纯数字”的抽象概念教学。
■
图1 彩色辣椒
P1=101 140 … 120123 191 … 115■ ■ ■ ■93 119 … 198512×512，
P2=0 0 … 00 96 … 192■ ■ ■ ■0 79 … 200512×512，
P3=0 142 … 1810 46 … 85■ ■ ■ ■0 36 … 171512×512（2）
二、线性方程组的求解及Matlab实现
线性方程组的求解是《线性代数》里的一项重要内容，求解结果包括：（1）无解；（2）有唯一解；（3）无穷多解并求通解。若将Matlab应用到线性方程组的求解将能有效避免繁琐的计算和分析过程，提高学生的学习兴趣。另外，将能引起学生的好奇心并实现与Matlab求解一样的结果。特别是清楚解析解与数值解的差异。如下列方程[4]：
x1+x2+2x3-x4=02x1+x2+x3-x4=02x1+2x2+x3+2x4=0（3）
传统求解方法为（初等变换）：
1 1 2 -12 1 1 -12 2 1 2→1 0 0 4/30 1 0 30 0 1 -4/3，得方程组的解为：（x1，x2，x3，x4）′=k（4/3，-3，4/3，1）′，其中k为常数。
而在Matlab软件中，可以直接调用rref命令，如下：
>>C=[1 1 2 -1；2 1 1 -1；2 2 1 2]；%回车
>>D=rref（C） %回车
>>D=1 0 0 -1.333
0 1 0 3
0 0 1 -1.333
由此即得方程组的解为：（x1，x2，x3，x4）′=k（1.333，-3，1.333，1）′，其中k为常数。而这里，1.333恰好是Matlab在format short环境下的4/3的值。若在输入矩阵C前，设置format rat格式，则将保留分数4/3而不进行四舍五入，并与解析解完全一致。这样，学生不仅了解了应用Matlab可以解决大型的线性方程的求解问题，还可以进一步了解近似解在工程上的意义与应用。
三、特征值与特征向量的教学
在《线性代数》课程教学中，对方阵B的特征值与特征向量的求解步骤一般为：先通过计算多项式方程λI-B=0求出特征值，再代入方程组（λI-B）x=0求出特征向量x。如果矩阵的阶数大，那么计算起来也是比较繁琐的，会造成学生的兴趣低下。现结合Matlab软件中的eig命令来计算矩阵的特征值与特征向量，例如，求矩阵B=2 3 43 5 74 7 11的特征值与特征向量的程序如下： >>B=[2 3 4；3 5 7；4 7 11]；%回车
[x，lamda]=eig（B） %回车
x=
0.6831 0.6607 0.3111
-0.7023 0.4776 0.5278
0.2001 -0.5791 0.7903
lamda=
0.0875 0 0
0 0.6628 0
0 0 17.2497
这里，输出中的lamda的对角线上的值即为原矩阵的三个特征值，而x的列为相应的三个特征向量。因此，在Matlab中得较容易地、较快速地求出特征值与特征向量，强化学生的实际操作能力和程序编写能力，培养综合素质全面发展的大学毕业生。
四、二次型的可视化教学
二次型是《線性代数》中较难理解的知识点，为加深学生对二次型的认识，不能只停留在理论公式的教学上。否则，将导致学生无学习的积极性。我们可以通过Matlab的强大画图功能[5]吸引学生的眼球，并生动形象地展示在课堂上。例如，在讲解二次型f（x，y）=x2-5y2+xy时，通过Matlab软件命令meshgrid与mesh进行三维图形的构建，得到如下图2的效果：
>>[x，y]=meshgrid（-6：0.2：6，-6：0.2：6）；
>>f=x.^2-5*y.^2+x.*y；
>>mesh（x，y，f）
■
图2 二次型的三维曲面
这里通过图形图像的结合，提高了学生学习数学公式的兴趣，特别是复杂的公式。而《线性代数》中有许多大型的数学公式，如果利用Matlab进行可视化教学，将有助于提高学生对《线性代数》的兴趣。从而在师生的不断互动中，不仅提高了教师的教学质量而进行有效的教学，又培养了学生的主动性而进行有效的学习。
Matlab是由美国密西根大学的Moler教授首创，原名为Matrix Laboratory的前三个字母缩写。在《线性代数》的教学中，提出合理地与Matlab实现相结合，采用“理论教学—Matlab仿真—程序强化”的教学手段，将可以达到的效果为：（1）促进《线性代数》教学改革，以提高课堂的教学质量；（2）应用Matlab软件平台，改变理论教学方式，采用数形结合，以提高学生的学习兴趣，避免学习理论时出现乏味性；（3）通过程序设计进行仿真实验，以有效提高学生的实际操作能力。
参考文献：
[1]申国伦，薛有才.中美一些《线性代数》教材分析与思考[J].大学数学，2009，25（5）：202-206.
[2]David C. Lay.线性代数及其应用[M].3版.刘深泉，洪毅，译.北京：机械工业出版社，2005.
[3]曾友芳.线性代数课程教学质量之探讨[J].大学教育，2013（8）：73-74.
[4]同济大学数学系.线性代数[M].6版.北京：高等教育出版社，2014.
[5]张雪峰.MATLAB仿真软件在线性代数课程中的应用研究[J].曲阜师范大学学报，2016，42（1）：42-46.
[关 键 词] 線性代数；Matlab；程序；仿真；教学
[中图分类号] G642 [文献标志码] A [文章编号] 2096-0603（2017）19-0066-02
当前，线性代数课程既是国内外高等学校理、工、管、农类专业的公共基础课程，例如，计算机科学与技术、电子科学与技术、软件工程、机械制造及其自动化等，也是全国硕士研究生入学考试“高等数学”的重要组成部分。作为大学数学课程的一个分支，《线性代数》以研究矩阵、向量、向量空间（或称线性空间）、线性变换、线性方程组求解、二次型等为主要内容。由于非线性模型通常可以被近似为线性模型，因此，《线性代数》不仅具备了纯数学的高度抽象性，还被具体地、广泛地应用于自然科学和社会科学的研究中。美国著名的数学教育家、美国国家《线性代数》课程研究小组核心成员、数学课程现代化的倡导者David C. Lay教授曾经说过：“《线性代数》课程是最有趣、最具价值的大学数学课程”[1][2]。
21世纪是信息的时代，科学技术的发展在某种程度上要依靠强大的数学理论支撑。《线性代数》内容是其他数学类课程的重要基础成分[3]，如，《微分方程》《计算机图形学》《金融工程》《概率论与数理统计》和《最优化》。特别地，在经济、管理、海洋、气象和金融等专业中，许多实际问题都要转换为多变量的数学优化模型，如“公交车调度”“产品销售”“货币管理”和“农作物栽培”等，而求解这些实际模型必须以《线性代数》为基础，才能得到最优状态。因此，线性代数的教学方法研究具有重要的意义。
针对我校《线性代数》的教与学现状以及该课程本身所固有的特点，本文提出结合软件Matlab实现的《线性代数》教学方法研究。结合我校人才培养目标，以提高学生的学习积极性、增强学生学习兴趣和注重实际操作能力为目的，以有效避免纯数学的理论性和单调性，建立与Matlab程序实现的创新式教学。以下提出四点关于《线性代数》的教学研究：
一、向量与矩阵的可视化教学
矩阵是由若干行和若干列所组成的数表[4]，例如，公式（1）给出了一个3×4矩阵A：
A=202 132 34 7973 56 110 6628 250 30 87（1）
特别地，如果只有一行（列）的矩阵，我们称之为行（列）向量，并用小写字母表示。然而，如果只停留在这抽象的概念上进行教学，学生会觉得其在生活的作用不大。而Matlab刚好是可视化实现的强有力工具，将Matlab结合到矩阵与向量的教学中，可以使学生对《线性代数》的学习更有兴趣。例如，我们在讲解了矩阵之后，给了个512×512的彩色辣椒图（如图1所示），利用Matlab软件进行imread读取，得到R，G，B三个信道的大小为512×512的矩阵P1，P2，P3。通过可视化的效果增强学生对矩阵及应用的认识，同时，消除“纯数字”的抽象概念教学。
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图1 彩色辣椒
P1=101 140 … 120123 191 … 115■ ■ ■ ■93 119 … 198512×512，
P2=0 0 … 00 96 … 192■ ■ ■ ■0 79 … 200512×512，
P3=0 142 … 1810 46 … 85■ ■ ■ ■0 36 … 171512×512（2）
二、线性方程组的求解及Matlab实现
线性方程组的求解是《线性代数》里的一项重要内容，求解结果包括：（1）无解；（2）有唯一解；（3）无穷多解并求通解。若将Matlab应用到线性方程组的求解将能有效避免繁琐的计算和分析过程，提高学生的学习兴趣。另外，将能引起学生的好奇心并实现与Matlab求解一样的结果。特别是清楚解析解与数值解的差异。如下列方程[4]：
x1+x2+2x3-x4=02x1+x2+x3-x4=02x1+2x2+x3+2x4=0（3）
传统求解方法为（初等变换）：
1 1 2 -12 1 1 -12 2 1 2→1 0 0 4/30 1 0 30 0 1 -4/3，得方程组的解为：（x1，x2，x3，x4）′=k（4/3，-3，4/3，1）′，其中k为常数。
而在Matlab软件中，可以直接调用rref命令，如下：
>>C=[1 1 2 -1；2 1 1 -1；2 2 1 2]；%回车
>>D=rref（C） %回车
>>D=1 0 0 -1.333
0 1 0 3
0 0 1 -1.333
由此即得方程组的解为：（x1，x2，x3，x4）′=k（1.333，-3，1.333，1）′，其中k为常数。而这里，1.333恰好是Matlab在format short环境下的4/3的值。若在输入矩阵C前，设置format rat格式，则将保留分数4/3而不进行四舍五入，并与解析解完全一致。这样，学生不仅了解了应用Matlab可以解决大型的线性方程的求解问题，还可以进一步了解近似解在工程上的意义与应用。
三、特征值与特征向量的教学
在《线性代数》课程教学中，对方阵B的特征值与特征向量的求解步骤一般为：先通过计算多项式方程λI-B=0求出特征值，再代入方程组（λI-B）x=0求出特征向量x。如果矩阵的阶数大，那么计算起来也是比较繁琐的，会造成学生的兴趣低下。现结合Matlab软件中的eig命令来计算矩阵的特征值与特征向量，例如，求矩阵B=2 3 43 5 74 7 11的特征值与特征向量的程序如下： >>B=[2 3 4；3 5 7；4 7 11]；%回车
[x，lamda]=eig（B） %回车
x=
0.6831 0.6607 0.3111
-0.7023 0.4776 0.5278
0.2001 -0.5791 0.7903
lamda=
0.0875 0 0
0 0.6628 0
0 0 17.2497
这里，输出中的lamda的对角线上的值即为原矩阵的三个特征值，而x的列为相应的三个特征向量。因此，在Matlab中得较容易地、较快速地求出特征值与特征向量，强化学生的实际操作能力和程序编写能力，培养综合素质全面发展的大学毕业生。
四、二次型的可视化教学
二次型是《線性代数》中较难理解的知识点，为加深学生对二次型的认识，不能只停留在理论公式的教学上。否则，将导致学生无学习的积极性。我们可以通过Matlab的强大画图功能[5]吸引学生的眼球，并生动形象地展示在课堂上。例如，在讲解二次型f（x，y）=x2-5y2+xy时，通过Matlab软件命令meshgrid与mesh进行三维图形的构建，得到如下图2的效果：
>>[x，y]=meshgrid（-6：0.2：6，-6：0.2：6）；
>>f=x.^2-5*y.^2+x.*y；
>>mesh（x，y，f）
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图2 二次型的三维曲面
这里通过图形图像的结合，提高了学生学习数学公式的兴趣，特别是复杂的公式。而《线性代数》中有许多大型的数学公式，如果利用Matlab进行可视化教学，将有助于提高学生对《线性代数》的兴趣。从而在师生的不断互动中，不仅提高了教师的教学质量而进行有效的教学，又培养了学生的主动性而进行有效的学习。
Matlab是由美国密西根大学的Moler教授首创，原名为Matrix Laboratory的前三个字母缩写。在《线性代数》的教学中，提出合理地与Matlab实现相结合，采用“理论教学—Matlab仿真—程序强化”的教学手段，将可以达到的效果为：（1）促进《线性代数》教学改革，以提高课堂的教学质量；（2）应用Matlab软件平台，改变理论教学方式，采用数形结合，以提高学生的学习兴趣，避免学习理论时出现乏味性；（3）通过程序设计进行仿真实验，以有效提高学生的实际操作能力。
参考文献：
[1]申国伦，薛有才.中美一些《线性代数》教材分析与思考[J].大学数学，2009，25（5）：202-206.
[2]David C. Lay.线性代数及其应用[M].3版.刘深泉，洪毅，译.北京：机械工业出版社，2005.
[3]曾友芳.线性代数课程教学质量之探讨[J].大学教育，2013（8）：73-74.
[4]同济大学数学系.线性代数[M].6版.北京：高等教育出版社，2014.
[5]张雪峰.MATLAB仿真软件在线性代数课程中的应用研究[J].曲阜师范大学学报，2016，42（1）：42-46.