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【摘 要】高中数学是一项逻辑性、理论性较强的学科，对培养高中生数学学科素养，拓展学生理性思维，促进学生全面发展具有重要意义。立体几何作为高中数学教学中的重点内容，不仅是教育教学重点，也是学生学习难点，对立体几何问题解析方法的掌握，有利于提升高中生数学学习质量与效率。基于此，本文笔者结合自身学习经验，对高中数学立体几何问题解析方法进行了研究，以期为关注这一话题的人提供帮助，促进学生数学学习质量的提升。
【关键词】高中数学；立体几何；解析方法
引言
几何学作为实际物体结构、形状、位置关系、大小研究的数学学科，对学生空间认知能力、思维想象力、推理证明能力的培养与提升具有重要作用。因此，在认知立体几何结构特征的基础上，应用数学语言进行关系表述，运用解析方法进行几何问题处理，是我们学习的重点也是难点。基于此，笔者针对立体几何问题，在学习总结上提出了以下几种解析方法，以供参考。
1.认识并理解立体几何结构规律
几何问题是数学学科领域中的重点问题，立体几何问题的学习，是认知三维空间图形，培养空间思维创造能力、事物推理能力的重要手段与途径。作为高中必修课程中的关键知识点，对立体几何结构的认知与理解，是解析立体几何问题的关键。对此，我们在原有数学平面几何基础知识的基础上，应通过观察与联想，对空间几何具有一定的认知，从而为以后立体几何问题的分析与解答奠定基础。
例如，在长方体的学习中，首先应明确认知长方体的组成结构，并对空间中长方体各点、线、面位置关系具有明确的认知与了解。其次，运用数学符号语言，对长方体中点、线、面平行、垂直关系进行表述，加深自身对立体几何性质与相关判定的掌握与运用，如用字母a表示线段“线线垂直”表示为“a■⊥a■”。与此同时，在掌握其基本性质与定理的基础上，对空间几何体表面积、体积等计算公式与方法进行掌握，用以为后期复杂的立体几何问题的求解奠定基础，保证思维的清晰，能够在最短时间内找到与之相符的性质、判断定理与公式，从而提升解题效率。
2.采用向量法进行立体几何问题解析
由向量法的定义：“如果直线l与平面a垂直，那么在直线l上区向量a，则可以说a垂直于平面a，用数字符号表示，则记作a⊥a，同时向量a叫做平面a的法向量”。通常情况下，在线面垂直问题、线面平行问题、线线垂直问题、面面垂直问题等中应用，具有良好的效果。因此，在立体几何问题解析中，可应用向量法解析“异面直线距离”问题、“点到直线的距离”问题以及“直线与平面成角”等问题。
2.1应用向量法解“异面直线间的距离”立体几何问题
关于异面直线间的距离：在异面直线l■、l■中，E、F分别为a、b上的两个点（如图所示），■直线l■、l■的法向量，那么异面直线l■、l■上E、F两点间的距离则可表示为：D=■。与此同时，如果设θ为异面直线l■、l■的夹角，■，■为直线l■、l■的向量，则有cosθ=■。
图1异面直线间的距离
例1如图2，在四棱锥P-ABCD中，线段PD垂直于地面矩形ABCD，其中点E在线段AB上，线段PE与线段EC垂直。已知PD=■，AE=1/2，CD=2。求：异面直线PD与EC之间的距离。
图2
解：以D点为坐标原点，建立x、y、z之间坐标系。假设，DA=a，则有点A为（a，0，0），点B为（a，2，0），点C为（0，2，0），点D为（0，0，0），点P为（0，■，0），点E为（a，■，0）。
由题意可知，PE⊥EC，所以P■·E■=0，故可解得a=■。所有可知，D■·E■=0，则有DE⊥EC，又因为DE⊥PD，则DE为直线PD与EC的公垂线，带入公式，可解得DG=1，因此，异面直线PD与EC之间的距离为1。
2.2应用向量法解“点到直线的距离”立体几何问题
例2，如图3所示，ABCD是边长为4的正方形，其中E、F分为线段AD与AB的中点。已知GC与平面ABCD垂直，且GC长为2。求：点P到平面EFG的距离。
解：以C为坐标原点，建立如图所示的x、y、z直角坐标系，由GC=2。可得A（4，4，0），B（0，4，0），C（0，0，0），D（4，0，0），E（4，2，0），G（0，0，2），F（2，4，0）。
假設关于平面EFG的法向量■的坐标为（x，y，z），
则有■·E■=（x，y，z）·（-2，2，0）=0 ①
■·G■=（x，y，z）·（2，4，-2）=0 ②
由①②可得x=y，z=3y。
所以■=（y，y，3y），故可求得d=■=■。
因此，点P到平面EFG的距离为■。
2.3应用向量法解“直线与平面成角”立体几何问题
例3，如图3所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，其中线段PA垂直于底面ABCD，且PA=AD=4，AB=2，点O为AC的中点。如果以O为原点，AC长为直径做球，且球面与PD相交于点M，与PC相交于点N。求：直线CD与平面ACM所成角的值。
图3
解：以A为坐标原点，建立如图3所示的x、y、z直角坐标系，其中AB、AD、AP分为在x、y、z轴上，由PA=AD=4，AB=2可知，A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，4，0），D（0，4，0），P（0，0，4），M（0，2，2）。
假设关于平面ACM的法向量■的坐标为（x，y，z），根据■⊥A■，■A■可得到 2x+4y=0，令z=1，则可得■（2，-1，
2y+2z=0
1）。用α表示直线CD与平面ACM所成的角，结合相关公式可得sinα=■，代数数值可解得直线CD与平面ACM所成角的大小为■。 3.基于函数思想解答立体几何问题
函数思想是“数学型”问题解决中的典型思想，它是在辩证主义观念下通过事物之间的联系与变化，进行数学数量关系分析，并在此基礎上构建相应的函数或函数关系式，借助函数所具有的性质、概念，实现对数学问题的分析与转化，从而解决数学问题。可以说函数思想的运用，不仅是对函数本质内涵（定义）的理解，也是通过这种理解去观察、发现、处理并解决问题。因此，在高中立体几何问题解析中，可通过应用函数思想，探寻问题中存在的函数解析式，通过构建函数关系，运用函数性质进行问题转化，从而达到“由难变简”、“由繁化简”的目标，进行求解。与此同时，也可将函数思想与方程思想（从数学问题中存在的数量关系出发，建立数学模型，构成方程、方程与不等式/组、不等式/组等）有机结合，在相互转化与连接中进行问题的解析。
例4，在长方体中，已知顶点A相连的三条棱长之和≤为1，表面积为16/27。求：该长方体的体积的最值。
解：依据长方体性质，设长方体三条棱长的大小分为a，b，c，则长方体的体积为V=abc。
根据题意可知：a+b+c=1①，2（ab+bc+ac）=■②，
结合①，②可得出bc=■-（ab+ac）=■-a-a■
因此，长方体体积V（a）=abc=a■-a■-■a
又因为b+c=1-a，bc=■-a-a■
a的范围为■≤a≤■
故b，c是方程t■-（1-a）t+■-a-a■=0的实根，因此有Vn（a）=3a■-2a+■。可解的长方体的体积最值分别为■、■。
结论
总而言之，学习并掌握立体几何知识，是我们高中数学学习的重点内容。在认知立体几何结构特征的基础上，学会用数学语言进行几何关系的表述，有利于我们进一步理解立体几何问题。在数学知识融合运用下，采用向量法、函数法进行立体几何问题的解析具有良好的效果。只有准确掌握立体几何问题解析方法，并在此基础上进行灵活运用，立体几何问题将不再成为困扰我们数学学习的障碍。
【参考文献】
[1]李泽寰.巧用圆锥曲线的概念解立体几何与解析几何的综合题[J].中国培训，2016.24：201
[2]陆一冰.试论数形结合思想在高中数学解题中的应用[J].中国培训，2016.22：204
【关键词】高中数学；立体几何；解析方法
引言
几何学作为实际物体结构、形状、位置关系、大小研究的数学学科，对学生空间认知能力、思维想象力、推理证明能力的培养与提升具有重要作用。因此，在认知立体几何结构特征的基础上，应用数学语言进行关系表述，运用解析方法进行几何问题处理，是我们学习的重点也是难点。基于此，笔者针对立体几何问题，在学习总结上提出了以下几种解析方法，以供参考。
1.认识并理解立体几何结构规律
几何问题是数学学科领域中的重点问题，立体几何问题的学习，是认知三维空间图形，培养空间思维创造能力、事物推理能力的重要手段与途径。作为高中必修课程中的关键知识点，对立体几何结构的认知与理解，是解析立体几何问题的关键。对此，我们在原有数学平面几何基础知识的基础上，应通过观察与联想，对空间几何具有一定的认知，从而为以后立体几何问题的分析与解答奠定基础。
例如，在长方体的学习中，首先应明确认知长方体的组成结构，并对空间中长方体各点、线、面位置关系具有明确的认知与了解。其次，运用数学符号语言，对长方体中点、线、面平行、垂直关系进行表述，加深自身对立体几何性质与相关判定的掌握与运用，如用字母a表示线段“线线垂直”表示为“a■⊥a■”。与此同时，在掌握其基本性质与定理的基础上，对空间几何体表面积、体积等计算公式与方法进行掌握，用以为后期复杂的立体几何问题的求解奠定基础，保证思维的清晰，能够在最短时间内找到与之相符的性质、判断定理与公式，从而提升解题效率。
2.采用向量法进行立体几何问题解析
由向量法的定义：“如果直线l与平面a垂直，那么在直线l上区向量a，则可以说a垂直于平面a，用数字符号表示，则记作a⊥a，同时向量a叫做平面a的法向量”。通常情况下，在线面垂直问题、线面平行问题、线线垂直问题、面面垂直问题等中应用，具有良好的效果。因此，在立体几何问题解析中，可应用向量法解析“异面直线距离”问题、“点到直线的距离”问题以及“直线与平面成角”等问题。
2.1应用向量法解“异面直线间的距离”立体几何问题
关于异面直线间的距离：在异面直线l■、l■中，E、F分别为a、b上的两个点（如图所示），■直线l■、l■的法向量，那么异面直线l■、l■上E、F两点间的距离则可表示为：D=■。与此同时，如果设θ为异面直线l■、l■的夹角，■，■为直线l■、l■的向量，则有cosθ=■。
图1异面直线间的距离
例1如图2，在四棱锥P-ABCD中，线段PD垂直于地面矩形ABCD，其中点E在线段AB上，线段PE与线段EC垂直。已知PD=■，AE=1/2，CD=2。求：异面直线PD与EC之间的距离。
图2
解：以D点为坐标原点，建立x、y、z之间坐标系。假设，DA=a，则有点A为（a，0，0），点B为（a，2，0），点C为（0，2，0），点D为（0，0，0），点P为（0，■，0），点E为（a，■，0）。
由题意可知，PE⊥EC，所以P■·E■=0，故可解得a=■。所有可知，D■·E■=0，则有DE⊥EC，又因为DE⊥PD，则DE为直线PD与EC的公垂线，带入公式，可解得DG=1，因此，异面直线PD与EC之间的距离为1。
2.2应用向量法解“点到直线的距离”立体几何问题
例2，如图3所示，ABCD是边长为4的正方形，其中E、F分为线段AD与AB的中点。已知GC与平面ABCD垂直，且GC长为2。求：点P到平面EFG的距离。
解：以C为坐标原点，建立如图所示的x、y、z直角坐标系，由GC=2。可得A（4，4，0），B（0，4，0），C（0，0，0），D（4，0，0），E（4，2，0），G（0，0，2），F（2，4，0）。
假設关于平面EFG的法向量■的坐标为（x，y，z），
则有■·E■=（x，y，z）·（-2，2，0）=0 ①
■·G■=（x，y，z）·（2，4，-2）=0 ②
由①②可得x=y，z=3y。
所以■=（y，y，3y），故可求得d=■=■。
因此，点P到平面EFG的距离为■。
2.3应用向量法解“直线与平面成角”立体几何问题
例3，如图3所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，其中线段PA垂直于底面ABCD，且PA=AD=4，AB=2，点O为AC的中点。如果以O为原点，AC长为直径做球，且球面与PD相交于点M，与PC相交于点N。求：直线CD与平面ACM所成角的值。
图3
解：以A为坐标原点，建立如图3所示的x、y、z直角坐标系，其中AB、AD、AP分为在x、y、z轴上，由PA=AD=4，AB=2可知，A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，4，0），D（0，4，0），P（0，0，4），M（0，2，2）。
假设关于平面ACM的法向量■的坐标为（x，y，z），根据■⊥A■，■A■可得到 2x+4y=0，令z=1，则可得■（2，-1，
2y+2z=0
1）。用α表示直线CD与平面ACM所成的角，结合相关公式可得sinα=■，代数数值可解得直线CD与平面ACM所成角的大小为■。 3.基于函数思想解答立体几何问题
函数思想是“数学型”问题解决中的典型思想，它是在辩证主义观念下通过事物之间的联系与变化，进行数学数量关系分析，并在此基礎上构建相应的函数或函数关系式，借助函数所具有的性质、概念，实现对数学问题的分析与转化，从而解决数学问题。可以说函数思想的运用，不仅是对函数本质内涵（定义）的理解，也是通过这种理解去观察、发现、处理并解决问题。因此，在高中立体几何问题解析中，可通过应用函数思想，探寻问题中存在的函数解析式，通过构建函数关系，运用函数性质进行问题转化，从而达到“由难变简”、“由繁化简”的目标，进行求解。与此同时，也可将函数思想与方程思想（从数学问题中存在的数量关系出发，建立数学模型，构成方程、方程与不等式/组、不等式/组等）有机结合，在相互转化与连接中进行问题的解析。
例4，在长方体中，已知顶点A相连的三条棱长之和≤为1，表面积为16/27。求：该长方体的体积的最值。
解：依据长方体性质，设长方体三条棱长的大小分为a，b，c，则长方体的体积为V=abc。
根据题意可知：a+b+c=1①，2（ab+bc+ac）=■②，
结合①，②可得出bc=■-（ab+ac）=■-a-a■
因此，长方体体积V（a）=abc=a■-a■-■a
又因为b+c=1-a，bc=■-a-a■
a的范围为■≤a≤■
故b，c是方程t■-（1-a）t+■-a-a■=0的实根，因此有Vn（a）=3a■-2a+■。可解的长方体的体积最值分别为■、■。
结论
总而言之，学习并掌握立体几何知识，是我们高中数学学习的重点内容。在认知立体几何结构特征的基础上，学会用数学语言进行几何关系的表述，有利于我们进一步理解立体几何问题。在数学知识融合运用下，采用向量法、函数法进行立体几何问题的解析具有良好的效果。只有准确掌握立体几何问题解析方法，并在此基础上进行灵活运用，立体几何问题将不再成为困扰我们数学学习的障碍。
【参考文献】
[1]李泽寰.巧用圆锥曲线的概念解立体几何与解析几何的综合题[J].中国培训，2016.24：201
[2]陆一冰.试论数形结合思想在高中数学解题中的应用[J].中国培训，2016.22：204