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分式方程及其应用在2010年部分省市中考数学试卷中的考点分布情况统计如下:
考点一、分式方程的解
例 1(1)分式方程 =的解是( ).
A.-3B.2C.3D.-2
(2)分式方程= 的解是( ).
A.x=1 B.x=-1C.x=3 D.x=-3
解析:根据方程解的意义,将各选项逐一代入方程进行检验,利用排除法,满足方程的即为方程的解,不满足的即不是方程的解,故(1)C; (2) D.
点拨: 在代入检验时,应注意不能使分式方程的分母为0.
考点二、列分式方程
例 2(1)货车行驶25千米与小车行驶35千米所用时间相同,已知小车每小时比货车多行驶20千米,求两车的速度各为多少?设货车的速度为
x千米/小时,依题意列方程正确的是().
A. = B. =
C.=D. =
(2)某施工队挖掘一条长90米的隧道,开工后每天比原计划多挖1米,结果提前3天完成任务,原计划每天挖多少米?若设原计划每天挖x米,则依题意列出正确方程的是( ).
A. -=3B.- =3
C.-=3 D. - =3
解析:(1)设货车的速度为x千米/小时,则设小车的速度为(x+20)千米/小时,货车行驶25千米所需时间为小时,小车行驶35千米所需时间为小时,根据等量关系:货车行驶25千米所用的时间=小车行驶35千米所用的时间,易列出分式方程.
(2)若设原计划每天挖x米,则开工后每天挖(x+1)米,那么原计划用的时间为天,开工后用的时间为天,因为提前3天完成任务,所以得-=3,故(1)C; (2)C.
点拨:列分式方程与列整式方程一样,关键是要找出题中的等量关系.对于行程问题、工程问题,要理清速度、时间和路程以及工作效率、工作时间、工作总量之间的关系.
考点三、解分式方程
例 3(1)解方程: -1=.
(2)解方程: =.
解析:先确定最简公分母,各项同乘最简公分母,将分式方程转化为整式方程,解这个整式方程,将解得的根代入原方程进行检验.
(1)去分母得,x(x+2)-(x-1)(x+2) =3 .
化简得,x+2=3 .
移项合并得,x=1 .
经检验x=1不是原方程的解,所以原方程无解.
(2)原方程变形为= .
方程两边同乘以x(x-1)2去分母得,x-1=2x .
解这个整式方程得,x=-1 .
经检验 x=-1是原方程的根.
点拨:解分式方程的基本思想是把分式方程转化为整式方程,去分母是将分式方程转化为整式方程的关键.如果分母是多项式,能因式分解的一定先因式分解,再找最简公分母;去分母时,要找准最简公分母,并用它乘以方程的每一项,不要漏乘不含分母的项.需要特别强调的是分式方程必须检验.
考点四、参数的取值范围
例4(1)已知关于x的方程=3的解是正数,则m的取值范围为___________ .
(2)已知关于x的分式方程=1的解是非正数,则a的取值范围是___________.
解析: (1)去分母得2x+m=3(x-2),解得x=m+6, 因为x为正数,故m+6>0,所以m>-6,当m=-4时,x=2,此时分式方程无解,故m的取值范围为m>-6 且m≠-4.
(2)解关于x的分式方程,去分母,得a+2=x+1,得到x=a+1,
因为方程的解为非正数,所以x≤0,即a+1≤0,解得a≤-1,
又当 a= -2时,x= -1,此时分式方程无解,所以a 的取值范围是a≤-1且a≠-2.
故 (1)m>-6 且m≠-4;(2)a≤-1且a≠-2.
点拨: 解关于x的分式方程得到方程的解,再根据解所满足的条件得到不等式,通过解不等式求得参数的取值范围.但应特别注意参数的取值不能使分式方程无解.
考点五、分式方程的应用
例 5(1)小明到距家2.4千米的体育馆看球赛,进场时,发现门票落在家中,此时距离开赛还有45分钟,于是他立即步行(匀速)回家取票,在家取票用时2分钟,取到票后,他马上骑自行车(匀速)赶往体育馆.已知小明骑自行车从家赶往体育馆比从体育馆步行回家所用时间少20分钟,骑自行车的速度是步行速度的3倍.
①小明步行的速度(单位:米/分钟)是多少?
②小明能否在球赛开始前赶到体育馆?
(2)我市某县为创建省文明卫生城市,计划将城市道路两旁的人行道进行改造,经调查可知,若该工程由甲工程队单独来做恰好在规定时间内完成;若该工程由乙工程队单独完成,则需要的天数是规定时间的2倍,若甲、乙两工程队合作6天后,余下的工程由甲工程队单独来做还需3天完成.
①问该县要求完成这项工程规定的时间是多少天?
②已知甲工程队做一天需付工资5万元,乙工程队做一天需付工资3万元.现该工程由甲、乙两个工程队合作完成,该县准备了工程工资款65万元,请问该县准备的工程工资款是否够用?
解析:(1)①2.4千米=2 400米的路程步行时间比骑自行车的时间多用20分钟,这是本题列方程的等量关系;②只要算出了步行和骑车的时间,那么来回的时间加上在家取票的时间如果小于45分钟,则能赶到,否则不能赶到;(2)①根据题意,规定时间就是甲单独完成所需要的时间,设规定时间是x天,那么甲单独完成的时间就是x天,乙单独完成的时间为2x天,总工作量为1,则甲、乙的工作效率分别为 ,,甲、乙两工程队合作6天的工作量表示为6(+),甲又单独干了3天的工作量为,所以列方程 6(+)+=1;②由①可知甲乙分别单独完成所需要的时间,则两队合作所用的时间可求,从而可进一步求出所需的工程工资款,通过比较,作出判断.
(1)①设步行的速度为x米/分钟,则骑自行车的速度为3x米/分钟.
依题意得-=20,解得x=80.
答:小明步行的速度是80米/分钟.
②来回取票总时间为:++2=
42<45,
故能在球赛开始前赶到体育馆.
(2)①设规定时间为x天;根据题意可得,
6(+)+=1,解这个方程得x=12,
经检验 x=12是原方程的解.
②由①可知,由甲工程队单独做需12天,乙工程队单独做需24天,
所以甲乙两工程队合作需要的天数是:
1÷(+)=8天,
则所需工程工资款为(5+3)×8=64万<65万.
所以该县要求完成这项工程规定的时间是12天,准备的工程工资款够用.
点拨:主要考查同学们列方程解应用题的能力.解题关键是能够从问题中找到等量关系.审题过程中,要解决“已知什么”(可找)“要求什么”(可设)“利用谁建立等量关系”(可列),然后采用直接或间接设法列方程,求解.最后既要检验求出的未知数的值是否是增根,还要检验求出的未知数的值是否符合题意.
考点一、分式方程的解
例 1(1)分式方程 =的解是( ).
A.-3B.2C.3D.-2
(2)分式方程= 的解是( ).
A.x=1 B.x=-1C.x=3 D.x=-3
解析:根据方程解的意义,将各选项逐一代入方程进行检验,利用排除法,满足方程的即为方程的解,不满足的即不是方程的解,故(1)C; (2) D.
点拨: 在代入检验时,应注意不能使分式方程的分母为0.
考点二、列分式方程
例 2(1)货车行驶25千米与小车行驶35千米所用时间相同,已知小车每小时比货车多行驶20千米,求两车的速度各为多少?设货车的速度为
x千米/小时,依题意列方程正确的是().
A. = B. =
C.=D. =
(2)某施工队挖掘一条长90米的隧道,开工后每天比原计划多挖1米,结果提前3天完成任务,原计划每天挖多少米?若设原计划每天挖x米,则依题意列出正确方程的是( ).
A. -=3B.- =3
C.-=3 D. - =3
解析:(1)设货车的速度为x千米/小时,则设小车的速度为(x+20)千米/小时,货车行驶25千米所需时间为小时,小车行驶35千米所需时间为小时,根据等量关系:货车行驶25千米所用的时间=小车行驶35千米所用的时间,易列出分式方程.
(2)若设原计划每天挖x米,则开工后每天挖(x+1)米,那么原计划用的时间为天,开工后用的时间为天,因为提前3天完成任务,所以得-=3,故(1)C; (2)C.
点拨:列分式方程与列整式方程一样,关键是要找出题中的等量关系.对于行程问题、工程问题,要理清速度、时间和路程以及工作效率、工作时间、工作总量之间的关系.
考点三、解分式方程
例 3(1)解方程: -1=.
(2)解方程: =.
解析:先确定最简公分母,各项同乘最简公分母,将分式方程转化为整式方程,解这个整式方程,将解得的根代入原方程进行检验.
(1)去分母得,x(x+2)-(x-1)(x+2) =3 .
化简得,x+2=3 .
移项合并得,x=1 .
经检验x=1不是原方程的解,所以原方程无解.
(2)原方程变形为= .
方程两边同乘以x(x-1)2去分母得,x-1=2x .
解这个整式方程得,x=-1 .
经检验 x=-1是原方程的根.
点拨:解分式方程的基本思想是把分式方程转化为整式方程,去分母是将分式方程转化为整式方程的关键.如果分母是多项式,能因式分解的一定先因式分解,再找最简公分母;去分母时,要找准最简公分母,并用它乘以方程的每一项,不要漏乘不含分母的项.需要特别强调的是分式方程必须检验.
考点四、参数的取值范围
例4(1)已知关于x的方程=3的解是正数,则m的取值范围为___________ .
(2)已知关于x的分式方程=1的解是非正数,则a的取值范围是___________.
解析: (1)去分母得2x+m=3(x-2),解得x=m+6, 因为x为正数,故m+6>0,所以m>-6,当m=-4时,x=2,此时分式方程无解,故m的取值范围为m>-6 且m≠-4.
(2)解关于x的分式方程,去分母,得a+2=x+1,得到x=a+1,
因为方程的解为非正数,所以x≤0,即a+1≤0,解得a≤-1,
又当 a= -2时,x= -1,此时分式方程无解,所以a 的取值范围是a≤-1且a≠-2.
故 (1)m>-6 且m≠-4;(2)a≤-1且a≠-2.
点拨: 解关于x的分式方程得到方程的解,再根据解所满足的条件得到不等式,通过解不等式求得参数的取值范围.但应特别注意参数的取值不能使分式方程无解.
考点五、分式方程的应用
例 5(1)小明到距家2.4千米的体育馆看球赛,进场时,发现门票落在家中,此时距离开赛还有45分钟,于是他立即步行(匀速)回家取票,在家取票用时2分钟,取到票后,他马上骑自行车(匀速)赶往体育馆.已知小明骑自行车从家赶往体育馆比从体育馆步行回家所用时间少20分钟,骑自行车的速度是步行速度的3倍.
①小明步行的速度(单位:米/分钟)是多少?
②小明能否在球赛开始前赶到体育馆?
(2)我市某县为创建省文明卫生城市,计划将城市道路两旁的人行道进行改造,经调查可知,若该工程由甲工程队单独来做恰好在规定时间内完成;若该工程由乙工程队单独完成,则需要的天数是规定时间的2倍,若甲、乙两工程队合作6天后,余下的工程由甲工程队单独来做还需3天完成.
①问该县要求完成这项工程规定的时间是多少天?
②已知甲工程队做一天需付工资5万元,乙工程队做一天需付工资3万元.现该工程由甲、乙两个工程队合作完成,该县准备了工程工资款65万元,请问该县准备的工程工资款是否够用?
解析:(1)①2.4千米=2 400米的路程步行时间比骑自行车的时间多用20分钟,这是本题列方程的等量关系;②只要算出了步行和骑车的时间,那么来回的时间加上在家取票的时间如果小于45分钟,则能赶到,否则不能赶到;(2)①根据题意,规定时间就是甲单独完成所需要的时间,设规定时间是x天,那么甲单独完成的时间就是x天,乙单独完成的时间为2x天,总工作量为1,则甲、乙的工作效率分别为 ,,甲、乙两工程队合作6天的工作量表示为6(+),甲又单独干了3天的工作量为,所以列方程 6(+)+=1;②由①可知甲乙分别单独完成所需要的时间,则两队合作所用的时间可求,从而可进一步求出所需的工程工资款,通过比较,作出判断.
(1)①设步行的速度为x米/分钟,则骑自行车的速度为3x米/分钟.
依题意得-=20,解得x=80.
答:小明步行的速度是80米/分钟.
②来回取票总时间为:++2=
42<45,
故能在球赛开始前赶到体育馆.
(2)①设规定时间为x天;根据题意可得,
6(+)+=1,解这个方程得x=12,
经检验 x=12是原方程的解.
②由①可知,由甲工程队单独做需12天,乙工程队单独做需24天,
所以甲乙两工程队合作需要的天数是:
1÷(+)=8天,
则所需工程工资款为(5+3)×8=64万<65万.
所以该县要求完成这项工程规定的时间是12天,准备的工程工资款够用.
点拨:主要考查同学们列方程解应用题的能力.解题关键是能够从问题中找到等量关系.审题过程中,要解决“已知什么”(可找)“要求什么”(可设)“利用谁建立等量关系”(可列),然后采用直接或间接设法列方程,求解.最后既要检验求出的未知数的值是否是增根,还要检验求出的未知数的值是否符合题意.