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（苏科版七年级下册108页问题4）运动场环形跑道长400 m，小红跑步的速度是爷爷的5/3倍，他们从同一起点沿跑道的同一方向同时出发，5 min后小红第一次追上爷爷，请求出小红与爷爷的速度.
这是一个环形跑道上的追及问题，今天我们就从这个问题出发研究一下行程问题中的追及问题.
拓展一 运动场环形跑道长400 m，小红跑步的速度是爷爷的倍，他们从同一起点沿跑道的同一方向同时出发，5 min后小红第一次追上爷爷，如果小红追上爷爷后立即转身沿相反方向跑，那么几分钟后小红与爷爷再次相遇？
【分析】 可以画出线形示意图：
根据线形示意图我们可以找到这个问题中数量之间的相等关系是：
小红跑的路程 爷爷跑的路程=400 m.
解：设x分钟后，小红和爷爷再次相遇.
由教材解题过程可知道，爷爷的速度是120 m/min，小红的速度是200 m/min.
根据题意，得120x 200x=400.
解这个方程，得x=1.25.
答：1.25分钟后，小红和爷爷再次相遇.
【点评】 该问题是相遇问题，蕴涵的主要相等关系是：小红和爷爷所跑的路程和等于环形跑道的周长.
拓展二 运动场环形跑道长400 m，小红跑步的速度是爷爷的倍，他们从同一起点沿跑道的同一方向同时出发，5 min后小红第一次追上爷爷，假设爷爷与小红第一次相遇后继续跑，则第______分钟第二次相遇，第______分钟第三次相遇，假想一下，若他们一直这样循环下去，第______分钟后第n次相遇.
【分析】 由题意可知道，小红和爷爷第一次相遇时，小红比爷爷多跑了400 m，第二次相遇时，小红比爷爷多跑了800 m，那么依次类推，第n次相遇时，小红比爷爷多跑了400n m.
可以画出线形示意图：
根据线形示意图我们可以找到这个问题中数量之间的相等关系是：
爷爷跑的路程 400n m=小红跑的路程.
解：设第x分钟后第n次相遇.
由教材中解题过程可知道，爷爷的速度是120 m/min，小红的速度是200 m/min.
根据题意，得120x 400n=200x.
解这个方程，得x=5n.
答案：第10分钟爷爷和小红第二次相遇，第15分钟爷爷和小红第三次相遇，第5n分钟爷爷和小红第n次相遇.
【点评】 这几个问题都是追及问题，每增加一次相遇，小红跑的路程都相应地增加一圈.
变式一 甲、乙两人在400 m的环形跑道上练习跑步，甲每秒跑5.5 m，乙每秒跑4.5 m.
（1） 甲与乙同地、同向出发，乙先跑10 m，甲出发后需要多长时间两人首次相遇？
【分析】 可以画出线形示意图：
根据线形示意图我们可以找到这个问题中数量之间的相等关系是：
乙跑的路程 10 m=甲跑的路程.
解：设甲出发x秒后两人首次相遇.
根据题意，得4.5x 10=5.5x.
解这个方程，得x=10.
答：甲出发10秒后两人首次相遇.
（2） 甲与乙同地、同向出发，乙先跑4 s，甲出发后需要多长时间两人首次相遇？
【分析】 可以画出线形示意图：
根据线形示意图我们可以找到这个问题中数量之间的相等关系是：
乙前4秒跑的路程 乙4秒后跑的路程=甲跑的路程.
解：设甲出发x秒后两人首次相遇.
根据题意，得4.5x 4.5×4=5.5x.
解这个方程，得x=18.
答：甲出发18秒后两人首次相遇.
（3） 甲与乙同地、同向出发，甲先跑100 m，乙出发后需要多长时间两人首次相遇？
【分析】 由教材中108页问题4解题过程可知道，他们从同一起点沿跑道的同一方向同时出发时，如果他们第一次相遇，小红比爷爷多跑一圈. 本题中，甲与乙同地、同向出发，甲先跑100 m，如果他们第一次相遇，可以看作甲比乙多跑300 m.
可以画出线形示意图：
根据线形示意图我们可以找到这个问题中数量之间的相等关系是：
乙跑的路程 300 m=甲跑的路程.
解：设乙出发x秒后两人首次相遇.
根据题意，得4.5x 300=5.5x.
解这个方程，得x=300.
答：乙出发300秒后两人首次相遇.
变式二 甲、乙两人在同一条路上前进，甲每小时行3 km，乙每小时行5 km，甲在中午12点时经过A地，乙在下午2点经过A地，问乙下午几点能追上甲？
【分析】 “甲在中午12点时经过A地，乙在下午2点经过A地”说明当乙到A地时，甲在乙前面3×2=6（km）处.
可以画出线形示意图：
根据线形示意图我们可以找到这个问题中数量之间的相等关系是：
甲在12点到下午2点走的路程 甲在下午2点后走的路程=乙在下午2点后走的路程.
解：设乙出发x小时后，乙追上甲.
根据题意，得3x 3×2=5x.
解这个方程，得x=3.
2 3=5.
答：乙下午5点能追上甲.
【变式训练1】 汽车以每小时72 km的速度在公路上行驶，开向寂静的山谷. 驾驶员按一声喇叭，4秒后听到喇叭声，此时汽车距离山谷多少米？（声音的速度是340 m/s）
【分析】 可以画出线形示意图：
根据线形示意图我们可以找到这个问题中数量之间的相等关系是：
汽车4秒走的路程 汽车4秒后离山谷的距离=声音走的路程-汽车4秒后离山谷的距离.
解：设4秒后汽车距离山谷x米.
每小时72 km=每秒20米.
根据题意，得x 20×4=340×4-x.
解这个方程，得x=640.
答：此时汽车距离山谷640米.
【变式训练2】 甲、乙两人同时以每小时4 km的速度从A地出发到B地办事，走了2.5 km时，甲要回去取一份文件，他以每小时6 km的速度往回走，取了文件后以同样的速度追赶乙，结果他们同时到达B地，已知甲取文件时在办公室耽误了15 min，求A、B两地的距离.
【分析】 可以画出线形示意图：
根据线形示意图我们可以找到这个问题中数量之间的相等关系是：
甲往回走后乙走的路程 2.5 km=甲往回走到追上乙的路程-2.5 km.
本题如果直接设A、B两地的距离相对较难处理，我们可以采用间接法设未知数.
解：设甲从往回走到追上乙共用了x小时.
15 min=0.25 h.
根据题意，得
2.5 4x=6（x-0.25）-2.5.
解这个方程，得x=3.25.
2.5 4x=15.5.
答：A、B两地的距离是15.5 km.
把实际问题转化为方程，有助于帮助学生感受方程是刻画现实世界的有效的数学模型. 方程的出现源于实际问题，追及问题是实际问题中的一个很重要的部分，用一元一次方程可以很有效地解决追及问题.
（作者单位：江苏省常州外国语学校）
这是一个环形跑道上的追及问题，今天我们就从这个问题出发研究一下行程问题中的追及问题.
拓展一 运动场环形跑道长400 m，小红跑步的速度是爷爷的倍，他们从同一起点沿跑道的同一方向同时出发，5 min后小红第一次追上爷爷，如果小红追上爷爷后立即转身沿相反方向跑，那么几分钟后小红与爷爷再次相遇？
【分析】 可以画出线形示意图：
根据线形示意图我们可以找到这个问题中数量之间的相等关系是：
小红跑的路程 爷爷跑的路程=400 m.
解：设x分钟后，小红和爷爷再次相遇.
由教材解题过程可知道，爷爷的速度是120 m/min，小红的速度是200 m/min.
根据题意，得120x 200x=400.
解这个方程，得x=1.25.
答：1.25分钟后，小红和爷爷再次相遇.
【点评】 该问题是相遇问题，蕴涵的主要相等关系是：小红和爷爷所跑的路程和等于环形跑道的周长.
拓展二 运动场环形跑道长400 m，小红跑步的速度是爷爷的倍，他们从同一起点沿跑道的同一方向同时出发，5 min后小红第一次追上爷爷，假设爷爷与小红第一次相遇后继续跑，则第______分钟第二次相遇，第______分钟第三次相遇，假想一下，若他们一直这样循环下去，第______分钟后第n次相遇.
【分析】 由题意可知道，小红和爷爷第一次相遇时，小红比爷爷多跑了400 m，第二次相遇时，小红比爷爷多跑了800 m，那么依次类推，第n次相遇时，小红比爷爷多跑了400n m.
可以画出线形示意图：
根据线形示意图我们可以找到这个问题中数量之间的相等关系是：
爷爷跑的路程 400n m=小红跑的路程.
解：设第x分钟后第n次相遇.
由教材中解题过程可知道，爷爷的速度是120 m/min，小红的速度是200 m/min.
根据题意，得120x 400n=200x.
解这个方程，得x=5n.
答案：第10分钟爷爷和小红第二次相遇，第15分钟爷爷和小红第三次相遇，第5n分钟爷爷和小红第n次相遇.
【点评】 这几个问题都是追及问题，每增加一次相遇，小红跑的路程都相应地增加一圈.
变式一 甲、乙两人在400 m的环形跑道上练习跑步，甲每秒跑5.5 m，乙每秒跑4.5 m.
（1） 甲与乙同地、同向出发，乙先跑10 m，甲出发后需要多长时间两人首次相遇？
【分析】 可以画出线形示意图：
根据线形示意图我们可以找到这个问题中数量之间的相等关系是：
乙跑的路程 10 m=甲跑的路程.
解：设甲出发x秒后两人首次相遇.
根据题意，得4.5x 10=5.5x.
解这个方程，得x=10.
答：甲出发10秒后两人首次相遇.
（2） 甲与乙同地、同向出发，乙先跑4 s，甲出发后需要多长时间两人首次相遇？
【分析】 可以画出线形示意图：
根据线形示意图我们可以找到这个问题中数量之间的相等关系是：
乙前4秒跑的路程 乙4秒后跑的路程=甲跑的路程.
解：设甲出发x秒后两人首次相遇.
根据题意，得4.5x 4.5×4=5.5x.
解这个方程，得x=18.
答：甲出发18秒后两人首次相遇.
（3） 甲与乙同地、同向出发，甲先跑100 m，乙出发后需要多长时间两人首次相遇？
【分析】 由教材中108页问题4解题过程可知道，他们从同一起点沿跑道的同一方向同时出发时，如果他们第一次相遇，小红比爷爷多跑一圈. 本题中，甲与乙同地、同向出发，甲先跑100 m，如果他们第一次相遇，可以看作甲比乙多跑300 m.
可以画出线形示意图：
根据线形示意图我们可以找到这个问题中数量之间的相等关系是：
乙跑的路程 300 m=甲跑的路程.
解：设乙出发x秒后两人首次相遇.
根据题意，得4.5x 300=5.5x.
解这个方程，得x=300.
答：乙出发300秒后两人首次相遇.
变式二 甲、乙两人在同一条路上前进，甲每小时行3 km，乙每小时行5 km，甲在中午12点时经过A地，乙在下午2点经过A地，问乙下午几点能追上甲？
【分析】 “甲在中午12点时经过A地，乙在下午2点经过A地”说明当乙到A地时，甲在乙前面3×2=6（km）处.
可以画出线形示意图：
根据线形示意图我们可以找到这个问题中数量之间的相等关系是：
甲在12点到下午2点走的路程 甲在下午2点后走的路程=乙在下午2点后走的路程.
解：设乙出发x小时后，乙追上甲.
根据题意，得3x 3×2=5x.
解这个方程，得x=3.
2 3=5.
答：乙下午5点能追上甲.
【变式训练1】 汽车以每小时72 km的速度在公路上行驶，开向寂静的山谷. 驾驶员按一声喇叭，4秒后听到喇叭声，此时汽车距离山谷多少米？（声音的速度是340 m/s）
【分析】 可以画出线形示意图：
根据线形示意图我们可以找到这个问题中数量之间的相等关系是：
汽车4秒走的路程 汽车4秒后离山谷的距离=声音走的路程-汽车4秒后离山谷的距离.
解：设4秒后汽车距离山谷x米.
每小时72 km=每秒20米.
根据题意，得x 20×4=340×4-x.
解这个方程，得x=640.
答：此时汽车距离山谷640米.
【变式训练2】 甲、乙两人同时以每小时4 km的速度从A地出发到B地办事，走了2.5 km时，甲要回去取一份文件，他以每小时6 km的速度往回走，取了文件后以同样的速度追赶乙，结果他们同时到达B地，已知甲取文件时在办公室耽误了15 min，求A、B两地的距离.
【分析】 可以画出线形示意图：
根据线形示意图我们可以找到这个问题中数量之间的相等关系是：
甲往回走后乙走的路程 2.5 km=甲往回走到追上乙的路程-2.5 km.
本题如果直接设A、B两地的距离相对较难处理，我们可以采用间接法设未知数.
解：设甲从往回走到追上乙共用了x小时.
15 min=0.25 h.
根据题意，得
2.5 4x=6（x-0.25）-2.5.
解这个方程，得x=3.25.
2.5 4x=15.5.
答：A、B两地的距离是15.5 km.
把实际问题转化为方程，有助于帮助学生感受方程是刻画现实世界的有效的数学模型. 方程的出现源于实际问题，追及问题是实际问题中的一个很重要的部分，用一元一次方程可以很有效地解决追及问题.
（作者单位：江苏省常州外国语学校）