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迈克尔·波兰尼认为：“人类的知识有两种。通常被描述为知识的，即以书面文字、图表和数学公式加以表述的，只是一种类型的知识。而未被表述的知识，像我们在做某件事的行动中所拥有的知识，是另一种知识。”他把前者称为显性知识，而将后者称为隐性知识。按照波兰尼的理解，显性知识是能够被人类以一定符码系统（最典型的是语言，也包括数学公式、各类图表、盲文、手势语、旗语等诸种符号形式）加以完整表述的知识。隐性知识和显性知识相对，是指那种存在于个人头脑中的，在特定情境下的、难以明确表述的知识，它要通过个人亲自的体验、实践和领悟来获得。在教学中，如果能把学生在探索学习中出现的一些模糊的、不完整的、难于表述的现象，通过老师的引导，使这种现象明朗化、逻辑化，并促使其外化，以开发学生的无意识潜能，发展学生的学习能力。
一、引导表述，促进学生把内隐的知识外化
教学中，有些教师虽然能够根据学生认知特点以及数学知识的抽象性，把其进行形象化，并也能引导学生进行动手操作或直观观察学习，但对于学生在探索学习中呈现出来的潜在知识的开发与利用却不够理想，浪费了课堂生成的资源。如有一位老师在进行“认识■”的教学时，用课件出示分苹果的情景：
师：2个苹果平均分给两个小朋友，每人分得几个苹果？
生：每人分得1个苹果。
师：如果是1个苹果平均分给两个小朋友，每人分得几个苹果？
生：每人分得半个苹果。
师：在同学们学习过的数中，有没有可以用来表示一半的数呢？
生：没有。
师：请同学们创造出一定的方式或新数来表示半个苹果。
学生独立思考，联系已有经验创造表示半个苹果的方式或新数。教师及时归类整理出示在黑板上，有如下几种情况：
第一种是用一纸张来代替苹果，对折出苹果的一半。
第二种是运用图形表示出半个苹果，如：
第三种是运用符号表示出半个苹果，如：
■或2—1。
教师把学生研究成果展示后，再没有让学生表述各自所创造“方式”的含义，就急忙启示：在这几位同学创造的表示“一半”的方式中，哪种方式最好？
众生：用■表示“一半”最好。
师：对，同学们创造的■与数学家创造的一样，这个新的数读作二分之一，用它来表示“一半”。
课的开头很好，设计了由“能分得整数结果的”到“不能分得整数结果的”这样一个认知冲突，让学生自主探索表示“半个苹果”的方式，诱发了学生的创造意识。由于学生认知水平不一样，思维的层次不一样，所以表示“一半”的方式也不一样，但这些不同的“方式”都隐藏着一个共同点，就是■的本质属性，即把一个物体平均分成两份，表示其中的一份。其实这一知识本质属性早已隐藏于学生大脑之中，学生之所以能用一定的方式表示一半，是他们凭借生活经验来进行思考、操作。此时，教师应当引导学生把这一隐性的知识进行外化，促进学生把生活经验抽象为数学知识，而不要急于优化，应引导式地问：“哪种方式最好？”先掏出潜在学生大脑里没有表述出来的认知，可以让学生说说，各自所操作的含义是什么？各自创造的符号表示什么意思？自己是怎样想的？通过学生表述寻找共同特点——■的本质属性，即把一个物体平均分成两份，表示其中的一份。尤其是对用“■”和“2—1”的思路更应挖掘。可以这样启发（1）“■”和“2—1”符号中的“—”表示什么意思？学生可能会说是“平均分”。（2）“■”“2—1”符号中的“2”与“1”各表示什么意思“■”或“2—1”整个符号各表示什么？通过让学生表述，促使学生大脑里的隐性知识显示出来进行外化，并让其他同伴分享其思考的结果，也有利于进行数学化。
二、挖掘提升，帮助学生把潜在的思想方法外显
中高年级的学生往往会有意或无意地运用已学习过的数学思想方法来解决生活中的一些数学问题。当学生处于那种无意识运用数学思想方法解决问题时，老师应当引导他们把所运用的思想方法凸显出来，提升学生解决实际问题的能力。如，一位老师在教学“图形中的规律”（北师大版数学四年级下册）时，出示如下一道拓展题让学生进行练习：
1张餐桌坐8人，2张餐桌合并在一起坐12人，3张餐桌合并在一起可以坐多少人？像这样如果安排52人就餐，需要合并多少张餐桌？
在学生审清题意，独立思考练习之后，师生互动交流。
师：可以怎样算？你是怎样想的？
生1：我看作长方形的周长来计算，（长+宽）×2=52。即，
52÷2=26（人），（26-2）÷2=12（张）
师：这两个算式的含义是什么，说给大家听听？
生1：52除以2等于26人，就是这排餐桌一条长和一条宽所坐的人数，26减去宽边上坐的2人，就是长边坐的24人，一桌的一条长边坐2人，因此，用24除以2求出所需合并餐桌的张数。
师：刚才这位同学解决这一问题时，所用的方法与什么类似呢？
生2：与求长方形周长的方法相似。
生3：“已知长方形的周长和宽是多少，求长”的问题相似。
师：运用了求长方形周长的知识来解决问题，很好！
在这一过程中，老师用“这位同学解决这一问题时，所用的方法与什么类似”启发，并给予中肯的评价，让大家感受到是用联想类比的思想方法来解决问题。教学中虽然没有出现思想方法的名称，但能把学生大脑里潜在的这一思想方法凸现出来，使之外化，进而提升了学生应用数学思想方法解决问题的能力。
接下来，老师又继续启发：谁还有不同的解法？
生：用52减去首尾的2个2，就是长边坐的人数，即52-4=48（人）。48除以长边每桌坐的4人，就是所求餐桌的张数。48÷4=12（张）。
这时老师对照课件引导学生复述一遍，然后问：同学们，这种方法可以称为什么方法？
生1：减首尾的方法。
师：减首尾，有点道理。如果只是减首尾，那么剩下的是什么呢？
生2：可以看成“减首尾除中间”。
师：说说你的理由。
……
通过引导，帮助学生凸显大脑里潜在的策略方法，使解决问题的策略明朗化，优化学生解决问题的策略。
帮助学生把隐性知识进行外化的方式方法很多，我想最为根本的是：第一，教师要把握好数学教学内容的数学本质，对在解决某一问题时，学生的具体想法是什么，隐含着什么数学知识、数学思想方法等，教师应及时作出相应的思考，给予恰当的点拨。第二，教师在引导时需要宽容、等待与尊重，因为隐性知识往往是学生个人通过亲自实践、体验和领悟获得的，存在于个人头脑中的，具有较强的个体性，当与数学共通性不一致时，教师应以宽容心来对待，这样才有利于教师发挥教学机智，引导学生寻找其元认知，引发思辨。隐性知识具有默认性，有的难以进行明确表述与逻辑说明，当学生对内隐知识难以表述时，教师要耐心等待。儿童具有异想天开的天性，儿童的奇思妙想对于儿童来说就是创新，学生的一些创意也许只有学生个体才能理解，当这种状况出现时，需要教师呵护，需要教师尊重，以培养学生的创新意识。
作者单位
福建省永春县教师进修学校
◇责任编辑：曹文◇
一、引导表述，促进学生把内隐的知识外化
教学中，有些教师虽然能够根据学生认知特点以及数学知识的抽象性，把其进行形象化，并也能引导学生进行动手操作或直观观察学习，但对于学生在探索学习中呈现出来的潜在知识的开发与利用却不够理想，浪费了课堂生成的资源。如有一位老师在进行“认识■”的教学时，用课件出示分苹果的情景：
师：2个苹果平均分给两个小朋友，每人分得几个苹果？
生：每人分得1个苹果。
师：如果是1个苹果平均分给两个小朋友，每人分得几个苹果？
生：每人分得半个苹果。
师：在同学们学习过的数中，有没有可以用来表示一半的数呢？
生：没有。
师：请同学们创造出一定的方式或新数来表示半个苹果。
学生独立思考，联系已有经验创造表示半个苹果的方式或新数。教师及时归类整理出示在黑板上，有如下几种情况：
第一种是用一纸张来代替苹果，对折出苹果的一半。
第二种是运用图形表示出半个苹果，如：
第三种是运用符号表示出半个苹果，如：
■或2—1。
教师把学生研究成果展示后，再没有让学生表述各自所创造“方式”的含义，就急忙启示：在这几位同学创造的表示“一半”的方式中，哪种方式最好？
众生：用■表示“一半”最好。
师：对，同学们创造的■与数学家创造的一样，这个新的数读作二分之一，用它来表示“一半”。
课的开头很好，设计了由“能分得整数结果的”到“不能分得整数结果的”这样一个认知冲突，让学生自主探索表示“半个苹果”的方式，诱发了学生的创造意识。由于学生认知水平不一样，思维的层次不一样，所以表示“一半”的方式也不一样，但这些不同的“方式”都隐藏着一个共同点，就是■的本质属性，即把一个物体平均分成两份，表示其中的一份。其实这一知识本质属性早已隐藏于学生大脑之中，学生之所以能用一定的方式表示一半，是他们凭借生活经验来进行思考、操作。此时，教师应当引导学生把这一隐性的知识进行外化，促进学生把生活经验抽象为数学知识，而不要急于优化，应引导式地问：“哪种方式最好？”先掏出潜在学生大脑里没有表述出来的认知，可以让学生说说，各自所操作的含义是什么？各自创造的符号表示什么意思？自己是怎样想的？通过学生表述寻找共同特点——■的本质属性，即把一个物体平均分成两份，表示其中的一份。尤其是对用“■”和“2—1”的思路更应挖掘。可以这样启发（1）“■”和“2—1”符号中的“—”表示什么意思？学生可能会说是“平均分”。（2）“■”“2—1”符号中的“2”与“1”各表示什么意思“■”或“2—1”整个符号各表示什么？通过让学生表述，促使学生大脑里的隐性知识显示出来进行外化，并让其他同伴分享其思考的结果，也有利于进行数学化。
二、挖掘提升，帮助学生把潜在的思想方法外显
中高年级的学生往往会有意或无意地运用已学习过的数学思想方法来解决生活中的一些数学问题。当学生处于那种无意识运用数学思想方法解决问题时，老师应当引导他们把所运用的思想方法凸显出来，提升学生解决实际问题的能力。如，一位老师在教学“图形中的规律”（北师大版数学四年级下册）时，出示如下一道拓展题让学生进行练习：
1张餐桌坐8人，2张餐桌合并在一起坐12人，3张餐桌合并在一起可以坐多少人？像这样如果安排52人就餐，需要合并多少张餐桌？
在学生审清题意，独立思考练习之后，师生互动交流。
师：可以怎样算？你是怎样想的？
生1：我看作长方形的周长来计算，（长+宽）×2=52。即，
52÷2=26（人），（26-2）÷2=12（张）
师：这两个算式的含义是什么，说给大家听听？
生1：52除以2等于26人，就是这排餐桌一条长和一条宽所坐的人数，26减去宽边上坐的2人，就是长边坐的24人，一桌的一条长边坐2人，因此，用24除以2求出所需合并餐桌的张数。
师：刚才这位同学解决这一问题时，所用的方法与什么类似呢？
生2：与求长方形周长的方法相似。
生3：“已知长方形的周长和宽是多少，求长”的问题相似。
师：运用了求长方形周长的知识来解决问题，很好！
在这一过程中，老师用“这位同学解决这一问题时，所用的方法与什么类似”启发，并给予中肯的评价，让大家感受到是用联想类比的思想方法来解决问题。教学中虽然没有出现思想方法的名称，但能把学生大脑里潜在的这一思想方法凸现出来，使之外化，进而提升了学生应用数学思想方法解决问题的能力。
接下来，老师又继续启发：谁还有不同的解法？
生：用52减去首尾的2个2，就是长边坐的人数，即52-4=48（人）。48除以长边每桌坐的4人，就是所求餐桌的张数。48÷4=12（张）。
这时老师对照课件引导学生复述一遍，然后问：同学们，这种方法可以称为什么方法？
生1：减首尾的方法。
师：减首尾，有点道理。如果只是减首尾，那么剩下的是什么呢？
生2：可以看成“减首尾除中间”。
师：说说你的理由。
……
通过引导，帮助学生凸显大脑里潜在的策略方法，使解决问题的策略明朗化，优化学生解决问题的策略。
帮助学生把隐性知识进行外化的方式方法很多，我想最为根本的是：第一，教师要把握好数学教学内容的数学本质，对在解决某一问题时，学生的具体想法是什么，隐含着什么数学知识、数学思想方法等，教师应及时作出相应的思考，给予恰当的点拨。第二，教师在引导时需要宽容、等待与尊重，因为隐性知识往往是学生个人通过亲自实践、体验和领悟获得的，存在于个人头脑中的，具有较强的个体性，当与数学共通性不一致时，教师应以宽容心来对待，这样才有利于教师发挥教学机智，引导学生寻找其元认知，引发思辨。隐性知识具有默认性，有的难以进行明确表述与逻辑说明，当学生对内隐知识难以表述时，教师要耐心等待。儿童具有异想天开的天性，儿童的奇思妙想对于儿童来说就是创新，学生的一些创意也许只有学生个体才能理解，当这种状况出现时，需要教师呵护，需要教师尊重，以培养学生的创新意识。
作者单位
福建省永春县教师进修学校
◇责任编辑：曹文◇