浅谈高中数学思想方法的应用

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  摘 要:数学思想方法是数学知识的核心和精髓,是有效解决数学问题的重要手段,在学生的学习和思维发展中起着十分重要的作用。本文从“数形结合思想”“分类讨论思想”“转化化归思想”三个方面展开讨论,通过分析它们在高中数学中的应用,旨在帮助学生灵活应用数学思想解决实际问题,培养数学综合素养。
  关键词:高中数学;数学思想方法;灵活应用
  高中数学的知识较为抽象、复杂,数学思想能够帮助学生形成对知识的良好认知,提高思考、分析和解决问题的能力。但同时,由于高中数学知识的庞杂繁多,许多教师和学生受传统观念的束缚,只是一味重视浅层的数学知识和解题步骤,忽视了背后隐藏的数学思想,依靠题海战术去缓慢摸索题目背后的思想,浪费大量的时间和精力,学习效果不甚理想。因此,广大数学教师必须要更新教学理念,在教学中加强对数学思想方法的重视,同时在课堂上逐渐渗透这些思想。
  一、利用数形结合思想,快速分析问题
  数形结合思想是将数量关系和空间图象结合在一起的一种思想,由于数学的学习研究总是围绕“数”和“形”进行的,所以数形结合思想能够有效帮助学生抓住问题的本质,通过将抽象的问题转化为具体的“形”,避开繁瑣的推导和运算,使得解题过程更为简便。
  例如,在“函数单调性和奇偶性”的学习中就频繁地用到了数形结合思想。教师可以利用图象来解释增减函数、奇偶函数的定义,借图象可举一些反例来强调学生往往容易忽略的“任意”二字的含义。在类似“讨论函数f(x)=1/x(x∈R)的单调性”这样的问题中,学生很容易将答案写成“函数f(x)=1/x在定义域内单调递减”或是“函数f(x)=1/x在 内单调递减”,针对这种常见的问题,教师就可以利用反比例函数的图象来解释为什么该函数在定义域内不是单调递减的,帮助学生从图象直观地理解概念,找到思维误区,有效纠正错误。此外,在解决函数问题时,往往也可以应用数形结合思想先将简单函数图象作出,再根据直观的图象理清思路,逐步分析。例如在习题“求函数 的值域”中,就可以先画出以1/2为底的对数函数图象,从图象中找到定义域范围内的值域,再将这个值域加3。这样的做法直观简便,不容易犯错。
  二、利用分类讨论思想,规范解题
  分类讨论思想虽然较为基础,但其应用十分广泛,不仅能帮助学生在解题时形成条理清晰的严谨思路,而且有助于学生将学过的诸多知识进行归纳总结,形成系统化的知识网络。
  例如,在解决集合问题时,因为集合之间的关系和运算较为繁琐,有时会出现很多中符合题目要求的情况,此时就可以利用分类讨论思想去理清思路。在问题“已知集合 ,集合 ,且A∪B=A,求k的取值范围”中,学生往往不够严谨,会遗漏B=?这样的情况,教师就可以在示范讲解时,规范作答:“①B=?时,k+1 2k-1;②B ?时,2k-1 4;k+1 3”。这样亲身示范,逐渐渗透分类讨论思想。再如,必修二立体几何的知识点十分繁杂,教师就可以引导学生进行分类整理,将柱体、椎体和台体的几何特征进行归纳总结,再结合判断题去分析每一条特征,找到常见的一些题目设置的陷阱,在无形中渗透分类讨论思想,使学生在潜移默化中养成严谨的思路和良好的学习习惯。
  三、利用转化化归思想,解决复杂问题
  许多数学问题,若是从何正面思考并进行攻克,虽然可行,但其解题过程不论是对计算量还是思维量的要求都十分高,有一定的难度。此时,利用转化化归思想,采用一定的手段将问题进行变换转化,将未知解的问题转化到已知的、可解的知识范围内,化复杂为简单,化陌生为熟悉,就会事半功倍。
  例如,在问题“求函数 的反函数的定义域”中,“反函数”是学生接触较少的知识,若是从正面思考,就要先求出函数的反函数,再利用函数的性质结合图象来分析其定义域,对学生对定义的理解应用和思维量都有较高的要求,此时可考虑将陌生的知识转化到熟悉的领域内,即利用“反函数的定义域就是原函数的值域”这个知识点,将问题转化为“求函数 的值域”,就使解题过程变得容易许多。再如,如果按照讨论开口方向、对称轴、判别式、区间端点值的正负去解决某些一元二次方程根的分布的题目,就需要很高的分析能力和十分严谨的思路,学生往往很难想得那么全面。因此,如果方程中出现了参数,并且能将其分离,那么往往采用分离参数的办法,将问题转化为求参数的范围,就只需要将参数另一边的式子看作一个函数,去求解其值域即可。这个过程明显就简单了许多。
  总之,数学思想方法在教师在潜移默化中教授给学生的,教师在实践教学中,要不断总结教学经验,并结合实际的学情,对数学概念、公式、经典题目等进行深入挖掘,帮助学生掌握数学思想,以使学生能够举一反三,达到灵活应用数学知识的目的。
  参考文献
  [1] 吴金华.数形结合思想方法在高中数学教学与解题中的应用分析[J].数学学习与研究,2018(23):35.
  [2] 程金兵.浅谈高中数学思想方法在教学中的应用[J].科学大众(科学教育),2011(10):67.
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