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启发式教学法的内容是“不愤不启，不悱不发，举一隅不以三隅反，则不复也”（《论语·述而》）。此句话的意思按宋代朱熹的解释：“愤者，心求通而未得之意；悱者，口欲言而未能之貌；启，谓开其意；发，谓达其词”。用我们现在的话来说，“愤”，就是学习者对某一问题经过积极的探索、思考，有头绪但还没有理顺，有一些轮廓但还没有全貌的时候。这时教师应对学习者所考虑问题的关键所在加以点拨，以帮助学习者开拓思路，明确方向，这就是“启”；“悱”就是学习者对所学的知识已有感性认识，在上升为理性认识的过程中想说而又不能表达，或是对知识系统中各个知识点已基本掌握，但不能归纳为系统知识的时候，通俗地说就是还没有把别人的东西变为自己的时候。这时教师应引导学习者弄清事物的本质属性与来龙去脉，然后用尽量准确、精炼的语言表达出来，这就是“发”。
对启发式教学法的研究，我国历史上多有记载，且不乏经典之作。如孟子说“引而不发，跃如也”（《孟子·尽心上》）。《礼记·学记》中对教师的要求有：①“君子之教，喻也”。“喻”即譬喻说明，就是启发诱导的意思；②“能博喻然后能为师”；③“道而弗牵，强而弗抑，开而弗达”。其意是教师要引导学习者，但不能牵着他们走；鞭策学习者，却不能强行、强迫他们；为他们开个头，却不亲自带他们到终点。宋代理学家、教育学家朱熹对启发式教学法更有真知灼见，他认为：“指引者，师之功也”；且教师要“示之于始而正之于终”，他常常告诫学习者“书用你自己去读，道理用你自己去究索，某只是个引路底人，做得个证明的人，有疑难处，同商量而已”（《朱子论语》卷十三）。启发式教学法是中华民族的优秀传统文化，得到了我国历史上各个时期广大教育工作者的继承和发扬。
一、在教学中怎样“启”
由奥苏贝尔的意义学习理论及建构主义学习理论可知，完成学习（包括知识的掌握与应用）包括三个程序：一是激活学习者已有的认知结构，二是学习者能准确获得外部信息，三是内外信息能建立起联系。学习者在学习过程中为什么会“愤”？有三种可能：一是学习者已有的认知结构不足； 二是学习者不能准确地获得外部信息；三是内外信息之间不能建立联系。因此，在教学过程中“启”要从三个方面展开：
（一）帮助学习者激活储存在大脑中的知识和技能及补充在学习中将要用到而又还未掌握的知识和技能
这一环节在我们的教学常规中是通过复习来完成的。即教师通过学习者特征分析，可以了解到学习者已有的认知结构是什么，还需要补充的知识与技能有那些，然后有针对性地进行复习。这一过程就是为学习者“铺路”的过程。课堂教学效果的好坏，很大程度上是看教师的“路”铺得好不好。好象我们要做一个菜，在做菜之前要把食材、调料与必要的炊具准备好，如果这一过程准备不充分，那么做出来的菜至少是有缺陷的。能否正确判断学习者的认知结构，是教师能力的体现，也是教师需要“修炼”的地方。在帮助学习者复习方面，教师可以通过“旁敲侧击”的手段来引导学习者进入所需的知识体系，而不需要一步到位，从而教会学习者从哪里入手，怎样进行复习。
（二）帮助学习者正确获得外部信息
获得外部信息就是学习者要“认识事物”，在教学中就是帮助学习者正确理解学习内容，准确捕捉到学习内容中给出的所有信息。教师在这时可以发挥两方面的作用：其一是通过比喻来启发引导学习者正确获得外部信息。如“君子之教，喻也”。“先行组织者”的作用也就是帮助学习者准确获得外部信息，他是比喻中的一种具体用法。比喻的目的，就是把学习内容“翻译”成学习者能够理解的内容，这一点因人而异，因为不同的学习者有不同的认知结构，他也是因材施教的理论基础。如《论语·为政》中有这样的记载：孟懿子问孝，子曰：“无违”。攀迟御，子告之曰：“孟孙问孝于我，我对曰，‘无违’”。攀迟曰：“何谓也？”曰：“生，事之于礼；死，葬之于礼，祭之于礼”。同样对“孝”這个问题，孔子在回答孟懿子时用的是较概括的语言（只有两个字），而给攀迟的回答是具体的，原因在于孔子了解孟懿子与攀迟已有的“认知结构”。其二是教师在教学中引导学习者对学习材料要从多角度、多层次进行研究与探索，使学习者正确理解学习材料的完整意义。因为事物的存在是以空间结构即立体的形式而存在的，因此，在我们认识他的时候要从全方位来感知，这一点很重要，不然学习者会由于获得片面的外部信息，从而建构出错误的知识。盲人摸象的故事就是证明：很久以前，在印度有一群盲人，经常听人们谈论大象，但他们从不知道“象”是什么样子的。有一天当他们沿着公路进行乞讨的时候，听到有人正赶着一头大象走过来，他们就要求赶象的人停下来让他们摸一下他的象。第一个人摸到象的身体，就说：“象是一堵墙”；第二个人摸着象的牙齿，它又长又滑又尖，就说：“象是梭镖”；第三个人摸着象的鼻子，就说：“象是蛇”；第四个人摸着象的耳朵，就说：“象是扇子”；第五个人摸着象的大腿，就说：“象是棵树”；第六个人摸着象的尾巴，就说：“象是绳子”。结果他们吵作一团，都说自己说的才是正确的。从这个故事我们可知，每一个盲人对“象”的感知都是片面的，因此他们关于“象”的意义建构当然不正确，原因在于他们获得的外部信息是不完整的。若此时有人引导他们把各人的“看法”综合起来，那么“象”的意义建构是可以实现的，因为“象”的主要特征他们都已摸到了。这个故事相当于建构主义学习理论中的“小组讨论”形式。因此，教师的启发引导，常常就是把各人的意见集中起来，从多方面、多角度、多层次去理解问题，从而完成学习，这一点也是我们常说的“集思广益”（其实“开会”的目的就是集思广益，理论基础就是不同人对同一事物有不同的认识）。否则，学习者就可能只见树木，不见森林，把握不了事物的本质，这样对于学习者的知识意义建构，就会出现困难，甚至不可能。事实上，人类在未知领域内的探索，经常演绎着“盲人摸象”的故事。哲学上“形而上学”产生的原因也是由于学习者对事物的认识不全面而造成的。
“书读千遍，其义自见”也是认事物的一种重要手段。 （三）帮助学习者建立内外信息之间的联系
关于怎样帮助学习者在内外信息之间建立联系，人们还没有成熟的、系统的方法。这主要是因为人类对大脑的工作原理虽有一定的研究且取得了不俗的成果，但还没有发展到“完全认识”的阶段。现在已能证明，内外信息的联系是通过脑电流来实现的，但代表某种信息的脑电流的特征，人们还没有测量到，而且能产生脑电流的刺激又因人而异，这就是人的学习能力差别之所在。虽然如此，教师在帮助学习者建立内外信息的联系时，不是无能为力、束手无策的，相反在实践中积累了一些行之有效的方法。其一是通过联想来建立联系，即触类旁通。联想，其实质为条件反射，联想的过程，就是从感觉器官中所感知的外部信息与储存在大脑中的已有信息建立联系的过程，而这种建立联系的方式是比较固定的，即这种联系有固定的通道，找到了这条通道，就能建立起联系。这种通道就是我们所说的线索，即产生条件反射的条件。又通道的形成有些是人为建立的，如我们用歌谣口诀来帮助记忆； 有些则是自然形成的，如“睹物思人”。因此，当我们所进行的教学是比较难于记忆的内容时，就要人为的留下一些有助于回忆的线索，即帮助学习者创造能产生条件反射的条件。在这一方面，我们比较常使用的方法是建立下列联想：形象联想，谐音联想，歌谣口诀联想，接近联想，类似联想，对比联想，关系联想。其二是利用现代技术，把抽象问题形象化，静止问题动态化，空间问题平面化，从而帮助学习者在建立联系时找到“支点”，使学习顺利进行。如CAI技术的应用，能有效地促进学习者建立空间概念。这一方法比较适用于需要空间想象能力的学习。其三当学习者内外信息不能建立联系是由于两者相距“太远”时，教师就应该做好架桥方面的工作。而按建构主义学习理论，教师最多只能帮助学习者建桥墩，而不能替他们架好桥。有时甚至只能帮助他们找建桥墩的资料，连建桥墩都让学习者自己完成。若教师指定好建桥的位置，准备好建桥的材料，也就是说学习者按教师所引导的方向进行学习，这样能使学习者少走弯路，用较短的时间完成对所学知识的意义建构，这种方式对课堂教学来说是可取的。若教师仅提示学习者需要建桥才能通过，其它事情让学习者自己完成，最多给学习者提供建桥的资料或只提示那里可以找到有关资料，即教师在此时只起顾问而不是工程师的作用。这样的引导能使学习者自始至终处于主动地位，让学习者主动提出问题，思考问题，让学习者主动去发现和探索，从中找出解决问题的方法。这样则能充分发挥学习者的主动性，有利于培养学习者的首创精神。如《论语·八佾》是这样记载孔子启发子夏学习“仁义与礼仪的关系”的，子夏问曰：“‘巧笑倩兮，美目盼兮，素以为绚兮’。何谓也”？子曰：“绘事后素。”曰：“礼后乎？”孔子的回答虽然只有四个字（即仅建了一个桥墩），但这四个字不仅是前面古诗内容的概括总结，而且是形象的比喻，真正起到了承上启下的桥梁作用，所以子夏能够理解“仁义与礼仪的关系”即仁义在先，礼仪在后。又当学习者学习“病毒性感冒为什么要吃维生素C”时，教师可以提这样两个问题：（1）维生素C有什么作用？（2）感冒是由什么引起的？若学习者能回答：维生素C能产生白细胞，病毒性感冒是由病毒引起的，则他们自然就会想到白细胞与病毒的关系，即白细胞能消灭病毒。这样学习者对“病毒性感冒为什么要吃维生素C”的意义建构就顺利完成。
二、在教学中怎样“发”
学习者在学习过程中为什么会“悱”？“悱”就是学习者已能在内外信息之间建立起一定的联系，但这联系不是本质的、全面的联系。什么是本质的、全面的联系？当学习者所学到的知识能进入已有的认知结构，并形成知识网络时，这样的联系才是本质的、全面的联系。“悱”的实质就是学习者通过学习，不能得到明确与具体的结论，只有是是非非、模模糊糊的东西。“发”就是把学习结果由“不明确”与“不具体”变为“明确”与“具体”的过程。“发”的手段主要是“分析、归纳、推理与总结”，“发”的结果是不但要得到“单个”的知识，而且要把所学到的“单个”知识能形成系统知识并在应用中做到举一反三。那么，在教学中怎样“发”？
（一）通过“分析、归纳与推理”让学习者“显而易见”地得到结论
如果教师引导得当，那么“发”就是水到渠成的事情。例如，在解“指出数列0、 、 、 、 ……的一个通项公式”这题时，我们可作如下分析：如果纯粹从分数这个角度来看，这些分数是何无规律的，但我们把分数分解为分子、分母以后呢？我们看分子为0、3、8、15、24……各个数字虽然还没有规律，但各项同时加上1以后变为：1、4、9、16、25……它们的规律就“显而易见”了，即分子可表示为：bn=n2 –1。分母为：5、11、17、23、29……它们的规律倒好找，是以5 为首项，公差为6的等差数列， 即分母可表示为：cn=6n-1。所以所求数列的一个通项公式为an= 。由上可知，解本题的关键是：教师要引导学习者能把分数分解为分子、分母来分析与会运用“各个数字同时加上1”这两点。
（二）引導学习者不断更新知识体系
学习的最终目的，就是要让学到的知识方便运用！要方便运用，必须先记住所学到的知识，也就是要使学习到的知识进入大脑中的长时记忆区，而进入长时记忆区最有郊的方法就是使学习者学到的知识系统化。因此对教学效果的评价，除了能举一反三（课堂教学中的巩固练习环节就是举一反三的具体运用）外，还要检查他们所学到的知识能否组成知识系统，这样整个学习的过程才是完整的。因为割裂的材料难于记忆也难于回忆，系统化以后的知识便于记忆，也便于保持及重现。经过归纳与总结等精加工，能帮助我们把零散孤立的知识“串联”或“并联”起来，从而形成知识网络，组成知识体系，使之既条理清楚，又层次分明，这样不但便于记忆，而且便于寻找回忆的线索。这种记忆方法不仅可以减少记忆对象的绝对数量，加大信息浓度，提高记忆效率，而且能减少遗漏和丢失，使记忆精确，还可以在提取知识时做到“牵一发而动全身”，为以后的运用提供物质保证。所以学习的过程，就是不断建立新的知识网络和使已有的知识网络不断扩容的过程。有经验的教师应有这样的体会：学习者所问的问题，大部分是知识点，极少是关于方法方面的问题，造成这种状况的原因主要是记忆缺损，而记忆缺损并不是在他的记忆中没有这个知识点，而是在应用时找不到，经教师一提示才恍然大悟。这种情况从现象上来说是不能提取知识，实质上是知识没有系统化。怎样建立知识体系？一般包括两个层次，一是用“树状图”建立起脉络体系，二是补充完整细节问题与容易出错的问题。如数系的建立，我们是分三个阶段学习的：一开始是小学，学的是整数与分数；其次是初中，学的是有理数与无理数；最后是高中，学的是虚数与复数。即完整的数系为： 。又现在比较多的教师提倡学生要有“错题本”，这是治标不治本的体现，因为产生错解的题根本原因在于知识没有系统化，即完整的系统知识体系就应该包括“容易出错的问题”，例如，我们一讲分式，就要讲清楚“分母不为零”这个“容易出错的问题”，且要进行高强度的训练。
综上所述，要应用好启发式教学法，关键在于：帮助学习者激活储存在大脑中的知识和技能及补充一些在学习中将要用到而又还未掌握的知识和技能、帮助学习者正确获得外部信息、帮助学习者建立内外信息之间的联系、通过适度的分析、归纳与总结让学习者“显而易见”地得到结论、引导学习者不断更新知识体系。启发式教学法的最高境界在于：“读书无疑者，须教有疑；有疑者却教无疑”（ 朱熹《学规类编》）和“夫子循循然善诱人，博我以文，约我以礼，欲罢不能”（《论语·子罕》）。而“仰之弥高，钻之弥坚，瞻之在前，忽焉在后”（《论语·子罕》）是我们广大教育工作者的努力方向。
对启发式教学法的研究，我国历史上多有记载，且不乏经典之作。如孟子说“引而不发，跃如也”（《孟子·尽心上》）。《礼记·学记》中对教师的要求有：①“君子之教，喻也”。“喻”即譬喻说明，就是启发诱导的意思；②“能博喻然后能为师”；③“道而弗牵，强而弗抑，开而弗达”。其意是教师要引导学习者，但不能牵着他们走；鞭策学习者，却不能强行、强迫他们；为他们开个头，却不亲自带他们到终点。宋代理学家、教育学家朱熹对启发式教学法更有真知灼见，他认为：“指引者，师之功也”；且教师要“示之于始而正之于终”，他常常告诫学习者“书用你自己去读，道理用你自己去究索，某只是个引路底人，做得个证明的人，有疑难处，同商量而已”（《朱子论语》卷十三）。启发式教学法是中华民族的优秀传统文化，得到了我国历史上各个时期广大教育工作者的继承和发扬。
一、在教学中怎样“启”
由奥苏贝尔的意义学习理论及建构主义学习理论可知，完成学习（包括知识的掌握与应用）包括三个程序：一是激活学习者已有的认知结构，二是学习者能准确获得外部信息，三是内外信息能建立起联系。学习者在学习过程中为什么会“愤”？有三种可能：一是学习者已有的认知结构不足； 二是学习者不能准确地获得外部信息；三是内外信息之间不能建立联系。因此，在教学过程中“启”要从三个方面展开：
（一）帮助学习者激活储存在大脑中的知识和技能及补充在学习中将要用到而又还未掌握的知识和技能
这一环节在我们的教学常规中是通过复习来完成的。即教师通过学习者特征分析，可以了解到学习者已有的认知结构是什么，还需要补充的知识与技能有那些，然后有针对性地进行复习。这一过程就是为学习者“铺路”的过程。课堂教学效果的好坏，很大程度上是看教师的“路”铺得好不好。好象我们要做一个菜，在做菜之前要把食材、调料与必要的炊具准备好，如果这一过程准备不充分，那么做出来的菜至少是有缺陷的。能否正确判断学习者的认知结构，是教师能力的体现，也是教师需要“修炼”的地方。在帮助学习者复习方面，教师可以通过“旁敲侧击”的手段来引导学习者进入所需的知识体系，而不需要一步到位，从而教会学习者从哪里入手，怎样进行复习。
（二）帮助学习者正确获得外部信息
获得外部信息就是学习者要“认识事物”，在教学中就是帮助学习者正确理解学习内容，准确捕捉到学习内容中给出的所有信息。教师在这时可以发挥两方面的作用：其一是通过比喻来启发引导学习者正确获得外部信息。如“君子之教，喻也”。“先行组织者”的作用也就是帮助学习者准确获得外部信息，他是比喻中的一种具体用法。比喻的目的，就是把学习内容“翻译”成学习者能够理解的内容，这一点因人而异，因为不同的学习者有不同的认知结构，他也是因材施教的理论基础。如《论语·为政》中有这样的记载：孟懿子问孝，子曰：“无违”。攀迟御，子告之曰：“孟孙问孝于我，我对曰，‘无违’”。攀迟曰：“何谓也？”曰：“生，事之于礼；死，葬之于礼，祭之于礼”。同样对“孝”這个问题，孔子在回答孟懿子时用的是较概括的语言（只有两个字），而给攀迟的回答是具体的，原因在于孔子了解孟懿子与攀迟已有的“认知结构”。其二是教师在教学中引导学习者对学习材料要从多角度、多层次进行研究与探索，使学习者正确理解学习材料的完整意义。因为事物的存在是以空间结构即立体的形式而存在的，因此，在我们认识他的时候要从全方位来感知，这一点很重要，不然学习者会由于获得片面的外部信息，从而建构出错误的知识。盲人摸象的故事就是证明：很久以前，在印度有一群盲人，经常听人们谈论大象，但他们从不知道“象”是什么样子的。有一天当他们沿着公路进行乞讨的时候，听到有人正赶着一头大象走过来，他们就要求赶象的人停下来让他们摸一下他的象。第一个人摸到象的身体，就说：“象是一堵墙”；第二个人摸着象的牙齿，它又长又滑又尖，就说：“象是梭镖”；第三个人摸着象的鼻子，就说：“象是蛇”；第四个人摸着象的耳朵，就说：“象是扇子”；第五个人摸着象的大腿，就说：“象是棵树”；第六个人摸着象的尾巴，就说：“象是绳子”。结果他们吵作一团，都说自己说的才是正确的。从这个故事我们可知，每一个盲人对“象”的感知都是片面的，因此他们关于“象”的意义建构当然不正确，原因在于他们获得的外部信息是不完整的。若此时有人引导他们把各人的“看法”综合起来，那么“象”的意义建构是可以实现的，因为“象”的主要特征他们都已摸到了。这个故事相当于建构主义学习理论中的“小组讨论”形式。因此，教师的启发引导，常常就是把各人的意见集中起来，从多方面、多角度、多层次去理解问题，从而完成学习，这一点也是我们常说的“集思广益”（其实“开会”的目的就是集思广益，理论基础就是不同人对同一事物有不同的认识）。否则，学习者就可能只见树木，不见森林，把握不了事物的本质，这样对于学习者的知识意义建构，就会出现困难，甚至不可能。事实上，人类在未知领域内的探索，经常演绎着“盲人摸象”的故事。哲学上“形而上学”产生的原因也是由于学习者对事物的认识不全面而造成的。
“书读千遍，其义自见”也是认事物的一种重要手段。 （三）帮助学习者建立内外信息之间的联系
关于怎样帮助学习者在内外信息之间建立联系，人们还没有成熟的、系统的方法。这主要是因为人类对大脑的工作原理虽有一定的研究且取得了不俗的成果，但还没有发展到“完全认识”的阶段。现在已能证明，内外信息的联系是通过脑电流来实现的，但代表某种信息的脑电流的特征，人们还没有测量到，而且能产生脑电流的刺激又因人而异，这就是人的学习能力差别之所在。虽然如此，教师在帮助学习者建立内外信息的联系时，不是无能为力、束手无策的，相反在实践中积累了一些行之有效的方法。其一是通过联想来建立联系，即触类旁通。联想，其实质为条件反射，联想的过程，就是从感觉器官中所感知的外部信息与储存在大脑中的已有信息建立联系的过程，而这种建立联系的方式是比较固定的，即这种联系有固定的通道，找到了这条通道，就能建立起联系。这种通道就是我们所说的线索，即产生条件反射的条件。又通道的形成有些是人为建立的，如我们用歌谣口诀来帮助记忆； 有些则是自然形成的，如“睹物思人”。因此，当我们所进行的教学是比较难于记忆的内容时，就要人为的留下一些有助于回忆的线索，即帮助学习者创造能产生条件反射的条件。在这一方面，我们比较常使用的方法是建立下列联想：形象联想，谐音联想，歌谣口诀联想，接近联想，类似联想，对比联想，关系联想。其二是利用现代技术，把抽象问题形象化，静止问题动态化，空间问题平面化，从而帮助学习者在建立联系时找到“支点”，使学习顺利进行。如CAI技术的应用，能有效地促进学习者建立空间概念。这一方法比较适用于需要空间想象能力的学习。其三当学习者内外信息不能建立联系是由于两者相距“太远”时，教师就应该做好架桥方面的工作。而按建构主义学习理论，教师最多只能帮助学习者建桥墩，而不能替他们架好桥。有时甚至只能帮助他们找建桥墩的资料，连建桥墩都让学习者自己完成。若教师指定好建桥的位置，准备好建桥的材料，也就是说学习者按教师所引导的方向进行学习，这样能使学习者少走弯路，用较短的时间完成对所学知识的意义建构，这种方式对课堂教学来说是可取的。若教师仅提示学习者需要建桥才能通过，其它事情让学习者自己完成，最多给学习者提供建桥的资料或只提示那里可以找到有关资料，即教师在此时只起顾问而不是工程师的作用。这样的引导能使学习者自始至终处于主动地位，让学习者主动提出问题，思考问题，让学习者主动去发现和探索，从中找出解决问题的方法。这样则能充分发挥学习者的主动性，有利于培养学习者的首创精神。如《论语·八佾》是这样记载孔子启发子夏学习“仁义与礼仪的关系”的，子夏问曰：“‘巧笑倩兮，美目盼兮，素以为绚兮’。何谓也”？子曰：“绘事后素。”曰：“礼后乎？”孔子的回答虽然只有四个字（即仅建了一个桥墩），但这四个字不仅是前面古诗内容的概括总结，而且是形象的比喻，真正起到了承上启下的桥梁作用，所以子夏能够理解“仁义与礼仪的关系”即仁义在先，礼仪在后。又当学习者学习“病毒性感冒为什么要吃维生素C”时，教师可以提这样两个问题：（1）维生素C有什么作用？（2）感冒是由什么引起的？若学习者能回答：维生素C能产生白细胞，病毒性感冒是由病毒引起的，则他们自然就会想到白细胞与病毒的关系，即白细胞能消灭病毒。这样学习者对“病毒性感冒为什么要吃维生素C”的意义建构就顺利完成。
二、在教学中怎样“发”
学习者在学习过程中为什么会“悱”？“悱”就是学习者已能在内外信息之间建立起一定的联系，但这联系不是本质的、全面的联系。什么是本质的、全面的联系？当学习者所学到的知识能进入已有的认知结构，并形成知识网络时，这样的联系才是本质的、全面的联系。“悱”的实质就是学习者通过学习，不能得到明确与具体的结论，只有是是非非、模模糊糊的东西。“发”就是把学习结果由“不明确”与“不具体”变为“明确”与“具体”的过程。“发”的手段主要是“分析、归纳、推理与总结”，“发”的结果是不但要得到“单个”的知识，而且要把所学到的“单个”知识能形成系统知识并在应用中做到举一反三。那么，在教学中怎样“发”？
（一）通过“分析、归纳与推理”让学习者“显而易见”地得到结论
如果教师引导得当，那么“发”就是水到渠成的事情。例如，在解“指出数列0、 、 、 、 ……的一个通项公式”这题时，我们可作如下分析：如果纯粹从分数这个角度来看，这些分数是何无规律的，但我们把分数分解为分子、分母以后呢？我们看分子为0、3、8、15、24……各个数字虽然还没有规律，但各项同时加上1以后变为：1、4、9、16、25……它们的规律就“显而易见”了，即分子可表示为：bn=n2 –1。分母为：5、11、17、23、29……它们的规律倒好找，是以5 为首项，公差为6的等差数列， 即分母可表示为：cn=6n-1。所以所求数列的一个通项公式为an= 。由上可知，解本题的关键是：教师要引导学习者能把分数分解为分子、分母来分析与会运用“各个数字同时加上1”这两点。
（二）引導学习者不断更新知识体系
学习的最终目的，就是要让学到的知识方便运用！要方便运用，必须先记住所学到的知识，也就是要使学习到的知识进入大脑中的长时记忆区，而进入长时记忆区最有郊的方法就是使学习者学到的知识系统化。因此对教学效果的评价，除了能举一反三（课堂教学中的巩固练习环节就是举一反三的具体运用）外，还要检查他们所学到的知识能否组成知识系统，这样整个学习的过程才是完整的。因为割裂的材料难于记忆也难于回忆，系统化以后的知识便于记忆，也便于保持及重现。经过归纳与总结等精加工，能帮助我们把零散孤立的知识“串联”或“并联”起来，从而形成知识网络，组成知识体系，使之既条理清楚，又层次分明，这样不但便于记忆，而且便于寻找回忆的线索。这种记忆方法不仅可以减少记忆对象的绝对数量，加大信息浓度，提高记忆效率，而且能减少遗漏和丢失，使记忆精确，还可以在提取知识时做到“牵一发而动全身”，为以后的运用提供物质保证。所以学习的过程，就是不断建立新的知识网络和使已有的知识网络不断扩容的过程。有经验的教师应有这样的体会：学习者所问的问题，大部分是知识点，极少是关于方法方面的问题，造成这种状况的原因主要是记忆缺损，而记忆缺损并不是在他的记忆中没有这个知识点，而是在应用时找不到，经教师一提示才恍然大悟。这种情况从现象上来说是不能提取知识，实质上是知识没有系统化。怎样建立知识体系？一般包括两个层次，一是用“树状图”建立起脉络体系，二是补充完整细节问题与容易出错的问题。如数系的建立，我们是分三个阶段学习的：一开始是小学，学的是整数与分数；其次是初中，学的是有理数与无理数；最后是高中，学的是虚数与复数。即完整的数系为： 。又现在比较多的教师提倡学生要有“错题本”，这是治标不治本的体现，因为产生错解的题根本原因在于知识没有系统化，即完整的系统知识体系就应该包括“容易出错的问题”，例如，我们一讲分式，就要讲清楚“分母不为零”这个“容易出错的问题”，且要进行高强度的训练。
综上所述，要应用好启发式教学法，关键在于：帮助学习者激活储存在大脑中的知识和技能及补充一些在学习中将要用到而又还未掌握的知识和技能、帮助学习者正确获得外部信息、帮助学习者建立内外信息之间的联系、通过适度的分析、归纳与总结让学习者“显而易见”地得到结论、引导学习者不断更新知识体系。启发式教学法的最高境界在于：“读书无疑者，须教有疑；有疑者却教无疑”（ 朱熹《学规类编》）和“夫子循循然善诱人，博我以文，约我以礼，欲罢不能”（《论语·子罕》）。而“仰之弥高，钻之弥坚，瞻之在前，忽焉在后”（《论语·子罕》）是我们广大教育工作者的努力方向。