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[摘 要]通过分析非惯性系与惯性系之间的局域等价性，提出了物理学中一个新的基本原理——广义等价性原理。以此为依据，论述了事件的时间间隔和空间间隔、物质的运动速度（包括光速）以及事件的四维间隔在引力场中的可变性行为。证明了有引力场存在的时空是“四维非黎曼空间”。指出了广义相对论中“非惯性系中为黎曼空间”的证明过程存在的缺陷。
[关键词]无穷小参考系 时空 光速 引力场 非黎曼空间
中图分类号：O41 文献标识码：A 文章编号：1009-914X（2014）29-0394-03
1 广义等价性原理
根据狭义相对性原理，一切惯性系对于物理规律的描述都是等价的。因为这里提到的等价性只限于惯性系之间。所以，狭义相对性原理又可称为“狭义等价性原理”。那么，非惯性系与惯性系之间是否存在等价性呢？接下来，我们将讨论这个问题。
在几何学中我们知道，从一般的有限空间范围来讲，弯曲空间中的几何性质与平直空间是不同的。但是，如果考察弯曲空间中一个足够小的空间区域，其几何性质就近似于平直空间。而当所考察的空间区域为无穷小时，其与平直空间的区别就消失了。例如，球面上无穷小的局域范围可当作平面。[1]由此我们得出的结论是：在无穷小的空间范围内，弯曲空间与平直空间是等价的。这是弯曲空间本身所固有的性质，因此与坐标系的选择无关。按照广义相对论的观点，非惯性系中是四维弯曲时空，而惯性系中是四维平直时空。所以，根据上述几何学中的结论，在无穷小的时空范围内非惯性系与惯性系应该是等价的。
我们从物理学的角度来考虑上述问题。按照狭义相对论的观点，闵可夫斯基空间中作自由运动的参考系是惯性系，而相对于惯性系作加速运动的参考系是非惯性系。非惯性系与惯性系一般来讲是不同的。但是，对于空间中任何一个作加速运动的体积无穷小的非惯性系，在每一时刻（即无穷小时间范围内）都可以在相同空间位置引入一个作自由运动并且相对于上述非惯性系瞬时静止的体积无穷小的惯性系。因为处于相同空间位置，并且相互之间不存在相对运动。所以，在每一瞬间上述非惯性系与相应惯性系可看作是同一个参考系，其中钟和尺的标度是完全相同的。在此基础上，如果只限于考察上述两个参考系中无穷小时空范围内的物理现象，则观察者观测到的结果应该是完全相同的。例如，在无穷小的时空范围内，非惯性系中的时空同样是均匀和各向同性的，自由粒子同样作匀速直线运动。
通常的非惯性系与惯性系之间的一个重要区别还在于：处于非惯性系中的观察者身体上能够感受到惯性力。首先，必须搞清楚上述惯性力产生的原因。根据强等效原理，引力和惯性力是等效的。所以，我们可以借助引力场中的情形来进行讨论。假设在水平地面上有一个静止的立方形物体。此时，物体受到地心垂直向下的引力作用和地面垂直向上的支持力。由于上述两个力的作用点分布情况之间的差异，必然在组成物体的各个相邻纵向微观粒子之间产生一种排斥性质的力（例如电磁力），用以抗衡其上部所有粒子受到的引力作用。所以，观察者身体上感受到的引力或惯性力本质上是物体内部的一种应力。而内部应力只有占据一定空间大小并且有内部结构的物体才会产生。对于无穷小空间范围内的物质，由于不存在内部结构，自然也无内部应力可言。因此，处于无穷小时空范围内的非惯性理想观察者是不会感受到惯性力的。
于是，我们得出了与前述相同的结论：在无穷小的时空范围内，非惯性系与惯性系对于普遍物理规律的描述是完全等价的。“所有无穷小空间范围内的参考系（惯性系或非惯性系）在任意无穷小时间范围内（即每一时刻）都是等价的”，这句话等价于说：所有无穷小空间范围内的参考系在所有时间都是等价的。因此，如果把无穷小空间范围内的参考系称为“无穷小参考系”，则我们的结论是：所有无穷小参考系（惯性系或非惯性系）都是等价的，或者说，所有无穷小参考系都是惯性系。我们把该结论作为本文理论的一个基本原理，称为“广义等价性原理”。按照广义等价性原理的观点，时空的弯曲效应纯粹是相对而言的。作任何运动的观察者都有同样的理由认为自身所在之处（即无穷小参考系中）的时空是未作改变的平直时空，并以此为参照来描述其他各个场点处时空的变化规律。
2 广义等价性原理的一些推论
2.1 引力场中静止事件时间间隔和静止物体长度的可变性
首先需要明确的是：任何观察者对于时间的测量结果都是用自身所在位置相对静止的钟记录的时间，任何观察者对于长度的测量结果都是用自身所在位置相对静止的尺量取的长度，即时空的测量具有相对性。闵可夫斯基时空中，在不同空间位置相对静止的惯性系中测量，同一个静止事件（即发生在同一空间位置的事件）的时间间隔和同一个静止物体的长度是完全相同的。因此，静止事件的时间间隔与固有时间隔，静止物体的长度与固有长度是同一个概念，不加区分。然而，在有引力场存在的时空中并非如此。
所以，在旋转圆盘上并不存在统一的长度。对于旋转圆盘中心的观察者而言，圆盘上沿圆周方向的尺杆都是一样长的；而沿半径方向，距离圆盘中心越远的位置处尺杆的长度越短。在这里，还需要补充一点。广义相对论认为：旋转圆盘上没有统一的时间，距离圆盘中心越远的位置处钟走的越慢。对于上述观点，本文是没有异议的。
3.2 引力场中为黎曼空间的证明过程存在的缺陷
在广义相对论中，根据强等效原理证明了引力场中的时空是四维黎曼空间。[4]下面，我们来对此证明过程进行分析。在这里需要指出的是：仅仅由“时空局域范围内是惯性系”这一条件是不足以推断出“时空在整体范围内是黎曼空间”这一结论的，即前提只是必要而非充分条件。因为，强等效原理只是证明了：在引力场中的每一时空点附近可以引入一个局域惯性系。但是，并不能证明这些局域惯性系在物理学上是全同的。我们可以举一个反例：
假设某时空中各部分之间除了发生弯曲形变外，还存在不同程度的伸缩形变。在上述时空中的每一点附近仍然可以引入一个局域惯性系。但是，在其中不同时空点附近所建立的局域惯性系中，即使相对于观察者静止的钟和尺的标度（即钟的快慢和尺的长短）也是各不相同的。因此，对于该时空中的同一个物理事件，在上述每一个局域惯性系中的观察者都有以自己所携带的（静止的）钟和尺测量的时间间隔、空间间隔以及四维间隔dS。而不同观察者之间所测量的结果却是彼此不相同的（如本文第二部分所述）。由于在坐标系的变换下不存在统一的四维间隔不变量dS。所以，上述假设中的时空结构并非黎曼空间。因此，强等效原理不能证明有引力场存在的四维时空是黎曼空间。
参考文献
[1] 王正行.近代物理学.北京：北京大学出版社，1995.504，507-508
[2] 赵展岳.相对论导引.修订版.北京：清华大学出版社，2002.72-73，102-103
[关键词]无穷小参考系 时空 光速 引力场 非黎曼空间
中图分类号：O41 文献标识码：A 文章编号：1009-914X（2014）29-0394-03
1 广义等价性原理
根据狭义相对性原理，一切惯性系对于物理规律的描述都是等价的。因为这里提到的等价性只限于惯性系之间。所以，狭义相对性原理又可称为“狭义等价性原理”。那么，非惯性系与惯性系之间是否存在等价性呢？接下来，我们将讨论这个问题。
在几何学中我们知道，从一般的有限空间范围来讲，弯曲空间中的几何性质与平直空间是不同的。但是，如果考察弯曲空间中一个足够小的空间区域，其几何性质就近似于平直空间。而当所考察的空间区域为无穷小时，其与平直空间的区别就消失了。例如，球面上无穷小的局域范围可当作平面。[1]由此我们得出的结论是：在无穷小的空间范围内，弯曲空间与平直空间是等价的。这是弯曲空间本身所固有的性质，因此与坐标系的选择无关。按照广义相对论的观点，非惯性系中是四维弯曲时空，而惯性系中是四维平直时空。所以，根据上述几何学中的结论，在无穷小的时空范围内非惯性系与惯性系应该是等价的。
我们从物理学的角度来考虑上述问题。按照狭义相对论的观点，闵可夫斯基空间中作自由运动的参考系是惯性系，而相对于惯性系作加速运动的参考系是非惯性系。非惯性系与惯性系一般来讲是不同的。但是，对于空间中任何一个作加速运动的体积无穷小的非惯性系，在每一时刻（即无穷小时间范围内）都可以在相同空间位置引入一个作自由运动并且相对于上述非惯性系瞬时静止的体积无穷小的惯性系。因为处于相同空间位置，并且相互之间不存在相对运动。所以，在每一瞬间上述非惯性系与相应惯性系可看作是同一个参考系，其中钟和尺的标度是完全相同的。在此基础上，如果只限于考察上述两个参考系中无穷小时空范围内的物理现象，则观察者观测到的结果应该是完全相同的。例如，在无穷小的时空范围内，非惯性系中的时空同样是均匀和各向同性的，自由粒子同样作匀速直线运动。
通常的非惯性系与惯性系之间的一个重要区别还在于：处于非惯性系中的观察者身体上能够感受到惯性力。首先，必须搞清楚上述惯性力产生的原因。根据强等效原理，引力和惯性力是等效的。所以，我们可以借助引力场中的情形来进行讨论。假设在水平地面上有一个静止的立方形物体。此时，物体受到地心垂直向下的引力作用和地面垂直向上的支持力。由于上述两个力的作用点分布情况之间的差异，必然在组成物体的各个相邻纵向微观粒子之间产生一种排斥性质的力（例如电磁力），用以抗衡其上部所有粒子受到的引力作用。所以，观察者身体上感受到的引力或惯性力本质上是物体内部的一种应力。而内部应力只有占据一定空间大小并且有内部结构的物体才会产生。对于无穷小空间范围内的物质，由于不存在内部结构，自然也无内部应力可言。因此，处于无穷小时空范围内的非惯性理想观察者是不会感受到惯性力的。
于是，我们得出了与前述相同的结论：在无穷小的时空范围内，非惯性系与惯性系对于普遍物理规律的描述是完全等价的。“所有无穷小空间范围内的参考系（惯性系或非惯性系）在任意无穷小时间范围内（即每一时刻）都是等价的”，这句话等价于说：所有无穷小空间范围内的参考系在所有时间都是等价的。因此，如果把无穷小空间范围内的参考系称为“无穷小参考系”，则我们的结论是：所有无穷小参考系（惯性系或非惯性系）都是等价的，或者说，所有无穷小参考系都是惯性系。我们把该结论作为本文理论的一个基本原理，称为“广义等价性原理”。按照广义等价性原理的观点，时空的弯曲效应纯粹是相对而言的。作任何运动的观察者都有同样的理由认为自身所在之处（即无穷小参考系中）的时空是未作改变的平直时空，并以此为参照来描述其他各个场点处时空的变化规律。
2 广义等价性原理的一些推论
2.1 引力场中静止事件时间间隔和静止物体长度的可变性
首先需要明确的是：任何观察者对于时间的测量结果都是用自身所在位置相对静止的钟记录的时间，任何观察者对于长度的测量结果都是用自身所在位置相对静止的尺量取的长度，即时空的测量具有相对性。闵可夫斯基时空中，在不同空间位置相对静止的惯性系中测量，同一个静止事件（即发生在同一空间位置的事件）的时间间隔和同一个静止物体的长度是完全相同的。因此，静止事件的时间间隔与固有时间隔，静止物体的长度与固有长度是同一个概念，不加区分。然而，在有引力场存在的时空中并非如此。
所以，在旋转圆盘上并不存在统一的长度。对于旋转圆盘中心的观察者而言，圆盘上沿圆周方向的尺杆都是一样长的；而沿半径方向，距离圆盘中心越远的位置处尺杆的长度越短。在这里，还需要补充一点。广义相对论认为：旋转圆盘上没有统一的时间，距离圆盘中心越远的位置处钟走的越慢。对于上述观点，本文是没有异议的。
3.2 引力场中为黎曼空间的证明过程存在的缺陷
在广义相对论中，根据强等效原理证明了引力场中的时空是四维黎曼空间。[4]下面，我们来对此证明过程进行分析。在这里需要指出的是：仅仅由“时空局域范围内是惯性系”这一条件是不足以推断出“时空在整体范围内是黎曼空间”这一结论的，即前提只是必要而非充分条件。因为，强等效原理只是证明了：在引力场中的每一时空点附近可以引入一个局域惯性系。但是，并不能证明这些局域惯性系在物理学上是全同的。我们可以举一个反例：
假设某时空中各部分之间除了发生弯曲形变外，还存在不同程度的伸缩形变。在上述时空中的每一点附近仍然可以引入一个局域惯性系。但是，在其中不同时空点附近所建立的局域惯性系中，即使相对于观察者静止的钟和尺的标度（即钟的快慢和尺的长短）也是各不相同的。因此，对于该时空中的同一个物理事件，在上述每一个局域惯性系中的观察者都有以自己所携带的（静止的）钟和尺测量的时间间隔、空间间隔以及四维间隔dS。而不同观察者之间所测量的结果却是彼此不相同的（如本文第二部分所述）。由于在坐标系的变换下不存在统一的四维间隔不变量dS。所以，上述假设中的时空结构并非黎曼空间。因此，强等效原理不能证明有引力场存在的四维时空是黎曼空间。
参考文献
[1] 王正行.近代物理学.北京：北京大学出版社，1995.504，507-508
[2] 赵展岳.相对论导引.修订版.北京：清华大学出版社，2002.72-73，102-103