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[摘 要]高中数学中函数的最值（值域）问题在数学教学中占有非常重要的位置，因为不但它几乎涉及高中数学的各个分支，而且也是历年高考重点考查的知识点之一。
[关键词]函数；最值问题；天龙八式
[中图分类号]G633.6 [文献标识码]A [文章编号]2095-3712（2014）14-0053-03[作者简介]赵杰（1982—），男，江苏南通人，本科，江苏省海门市三厂中学教师，中学二级。
2013年江苏省数学高考试卷中的第9题、第14题、第20题，2012年江苏省数学高考试卷中第8题、第12题、第13题、第17题、第19题，2011年江苏省数学高考试卷中第8题、第12题、第13题、第14题、第17题都有所涉及函数的最值（值域）问题。它出现在试卷上的题型不一，有的以填空题形式出现，有的以解答题形式出现。它又和其他知识整合在一起，例如与方程、不等式及某些几何知识紧密联系在一起。这类题对于学生的分析能力要求特别高，综合性强，还要懂得变通，令学生非常头疼，所以函数的最值（值域）问题成了高中数学中的一个重点，也是一个难点。因此，笔者针对高中阶段遇见的最值（值域）问题，归纳出常用、有效的八种方法，并把它取名为“天龙八式”。
第一式：图像法
作为“天龙八式”的起始式，图像法具有简洁、明了、直观、易懂等特性，也是被许多学生所青睐的一种方法，但它只能解决一些简单函数，学生必须能准确的画出它的图像才能施之可行。
例如：求函数f（x）=|x-3|+|x-1|的值域。
解析：我们的学生只要能把函数写出分段函数的形式f（x）=-2x+4，（x<1）
2，（1≤x≤3）
2x-4，（x>3），然后画出图像（如图1），那么函数的值域就显而易见了，值域就为[2，+∞）。
第二式：分离常数法
分离常数是我们针对一次分式函数求最值常用的一种方法，但要引起高度重视的是一定要把分子上的变量全部化掉，要不然我们还是不能达到应要的目标。
例如：求函数f（x）=2-sinx2+sinx的值域。
解析：∵f（x）=-（2+sinx）+42+sinx=-1+42+sinx，
又∵-1≤sinx≤1，∴13≤-1+42+sinx≤3，即函数的值域为13，3。
第三式：换元法
换元法是我们高中阶段最常用的方法之一，它最重要的功能是把一个复杂问题通过换元后变简单化。在这里，我们通过换元法能把一些复合函数简单化，一些陌生函数熟悉化，从而更容易地解决问题。
例如，求函数y=2x-1-13-4x的最大值。
解析：令t= 13-4x，则x=13-t24，因此函数变为y= 13-t22-1-t=-t22-t+112（t≥0），这个二次函数求最值问题，就简单多了，最后答案呼之欲出，最大值为112。
第四式：单调性法
利用单调性求函数值域是学生比较容易理解、掌握的一种方法，但真正在解题时学生往往会忽略这种方法，其最主要的原因是学生不会主动去研究函数的单调性。就以上面的题目为例，如果学生能发现y=2x-1为增函数，y=13-4x为减函数，那么y=2x-1-13-4x在定义域-∞，134为增函数，因此也能得到函数最大值为112。
第五式：基本不等式法
基本不等式在高考考纲要求中是八个C级要求之一，可见它的重要性是不可忽视的。而在使用基本不等式的过程中除了要掌握它的使用条件“一正，二定，三相等”以外，我们的学生还要能看出如何使用基本不等式。
例如：求函数f（x）=xx2+3x+4（x>0）的最大值。
解析：首先我们要做的是分子、分母同除以x，把函数变形为f（x）=1x+4x+3（x>0），然后用基本不等式很容易得到最大值为17。
第六式：参数法
参数法是我们在选修4系列中学到的一种技巧，这也为理科的学生提供了一种解题的方法。这种方法的关键是把方程转换为参数方程，然后再去求最值。
例如：已知点P（x，y）是椭圆x29+y24=1上的任意一点，求2x+3y的最值。
解析：先把椭圆方程化为参数方程x=3cosθ
y=2sinθ（θ为参数），然后代入2x+3y=6cosθ+6sinθ=62sinθ+π4，得到最大值为62，最小值为-62。但这要求我们的学生要有很强的三角基本功。当然我们也可以用线性规划的方法去处理，这也是我要讲的第七式。
第七式：数形结合法
庞加莱说过：“感觉到数学的美，感觉到数与形的协调，感觉到几何的优雅，这是所有真正的数学家都清楚的真实的美的感觉。”数形结合作为高中数学四大思想之一，它的用途非常广泛，它把代数和几何做了一个完美的融合。所以要能很好地运用数形结合，学生必须要掌握好相关知识的几何意义。对函数而言，常用的几何意义有截距、斜率、距离和面积等。
例如：求函数f（x）=（x-1）2+1+（x-2）2+4的最小值。
解析：函数变形为：f（x）=（x-1）2+（0-1）2+（x-2）2+（0-2）2理解为点（x，0）到A（1，1）、B（2，2）。两点的距离之和的最小值，然后再利用数形结合的思想，在x轴上找一点到A、B两点距离之和最短，易得最小值为10。
终极式：导数法
作为“天龙八式”的终极式，导数法有着一招定乾坤的威力，凡是函数求最值问题，无论是简单函数还是复合函数，理论上我们都可以用导数法解决，只不过有些问题我们用前面的方法更方便。
例如：求函数f（x）=4x2-72-x，x∈0，1的值域。
解析：∵f（x）=4x2-72-x，∴f′（x）=8x（2-x）+（4x2-7）（2-x）2=-4x2+16x-7（2-x）2=-（2x-1）（2x-7）（2-x）2当0≤x<12时，f′（x）<0；当120
因此f（x）在0，12上递减，在12，1上递增。
则f（x）的值域为-4，-3。
叶圣陶先生说过：“教师之为教，不在全盘授予，而在相机诱导。”当然，解决最值（值域）问题的方法远远不止这些，例如，还有判别式法，反函数法等。这里的“天龙八式”只是对常见的求最值问题作一个归纳，而且有时在同一个题目中，解决的方法也可以几种通用或者几种并用。总而言之，解决函数的最值（值域）问题，关键还是要掌握这几种方法，然后以不变应万变，具体问题具体分析，能灵活运用这几种方法解决问题。
参考文献：
[1] 席美能.最值问题之笔者见[J].中学生数理化：教与学，2011（8）.
[2] 张琳琳.形如Y=f（x，y）的二元函数的最值的求法[J].科教新报：教育科研，2011（23）.
[3] 江怀起.函数值域的求法分析类析[J].数学教学研究，2008（S2）.
[关键词]函数；最值问题；天龙八式
[中图分类号]G633.6 [文献标识码]A [文章编号]2095-3712（2014）14-0053-03[作者简介]赵杰（1982—），男，江苏南通人，本科，江苏省海门市三厂中学教师，中学二级。
2013年江苏省数学高考试卷中的第9题、第14题、第20题，2012年江苏省数学高考试卷中第8题、第12题、第13题、第17题、第19题，2011年江苏省数学高考试卷中第8题、第12题、第13题、第14题、第17题都有所涉及函数的最值（值域）问题。它出现在试卷上的题型不一，有的以填空题形式出现，有的以解答题形式出现。它又和其他知识整合在一起，例如与方程、不等式及某些几何知识紧密联系在一起。这类题对于学生的分析能力要求特别高，综合性强，还要懂得变通，令学生非常头疼，所以函数的最值（值域）问题成了高中数学中的一个重点，也是一个难点。因此，笔者针对高中阶段遇见的最值（值域）问题，归纳出常用、有效的八种方法，并把它取名为“天龙八式”。
第一式：图像法
作为“天龙八式”的起始式，图像法具有简洁、明了、直观、易懂等特性，也是被许多学生所青睐的一种方法，但它只能解决一些简单函数，学生必须能准确的画出它的图像才能施之可行。
例如：求函数f（x）=|x-3|+|x-1|的值域。
解析：我们的学生只要能把函数写出分段函数的形式f（x）=-2x+4，（x<1）
2，（1≤x≤3）
2x-4，（x>3），然后画出图像（如图1），那么函数的值域就显而易见了，值域就为[2，+∞）。
第二式：分离常数法
分离常数是我们针对一次分式函数求最值常用的一种方法，但要引起高度重视的是一定要把分子上的变量全部化掉，要不然我们还是不能达到应要的目标。
例如：求函数f（x）=2-sinx2+sinx的值域。
解析：∵f（x）=-（2+sinx）+42+sinx=-1+42+sinx，
又∵-1≤sinx≤1，∴13≤-1+42+sinx≤3，即函数的值域为13，3。
第三式：换元法
换元法是我们高中阶段最常用的方法之一，它最重要的功能是把一个复杂问题通过换元后变简单化。在这里，我们通过换元法能把一些复合函数简单化，一些陌生函数熟悉化，从而更容易地解决问题。
例如，求函数y=2x-1-13-4x的最大值。
解析：令t= 13-4x，则x=13-t24，因此函数变为y= 13-t22-1-t=-t22-t+112（t≥0），这个二次函数求最值问题，就简单多了，最后答案呼之欲出，最大值为112。
第四式：单调性法
利用单调性求函数值域是学生比较容易理解、掌握的一种方法，但真正在解题时学生往往会忽略这种方法，其最主要的原因是学生不会主动去研究函数的单调性。就以上面的题目为例，如果学生能发现y=2x-1为增函数，y=13-4x为减函数，那么y=2x-1-13-4x在定义域-∞，134为增函数，因此也能得到函数最大值为112。
第五式：基本不等式法
基本不等式在高考考纲要求中是八个C级要求之一，可见它的重要性是不可忽视的。而在使用基本不等式的过程中除了要掌握它的使用条件“一正，二定，三相等”以外，我们的学生还要能看出如何使用基本不等式。
例如：求函数f（x）=xx2+3x+4（x>0）的最大值。
解析：首先我们要做的是分子、分母同除以x，把函数变形为f（x）=1x+4x+3（x>0），然后用基本不等式很容易得到最大值为17。
第六式：参数法
参数法是我们在选修4系列中学到的一种技巧，这也为理科的学生提供了一种解题的方法。这种方法的关键是把方程转换为参数方程，然后再去求最值。
例如：已知点P（x，y）是椭圆x29+y24=1上的任意一点，求2x+3y的最值。
解析：先把椭圆方程化为参数方程x=3cosθ
y=2sinθ（θ为参数），然后代入2x+3y=6cosθ+6sinθ=62sinθ+π4，得到最大值为62，最小值为-62。但这要求我们的学生要有很强的三角基本功。当然我们也可以用线性规划的方法去处理，这也是我要讲的第七式。
第七式：数形结合法
庞加莱说过：“感觉到数学的美，感觉到数与形的协调，感觉到几何的优雅，这是所有真正的数学家都清楚的真实的美的感觉。”数形结合作为高中数学四大思想之一，它的用途非常广泛，它把代数和几何做了一个完美的融合。所以要能很好地运用数形结合，学生必须要掌握好相关知识的几何意义。对函数而言，常用的几何意义有截距、斜率、距离和面积等。
例如：求函数f（x）=（x-1）2+1+（x-2）2+4的最小值。
解析：函数变形为：f（x）=（x-1）2+（0-1）2+（x-2）2+（0-2）2理解为点（x，0）到A（1，1）、B（2，2）。两点的距离之和的最小值，然后再利用数形结合的思想，在x轴上找一点到A、B两点距离之和最短，易得最小值为10。
终极式：导数法
作为“天龙八式”的终极式，导数法有着一招定乾坤的威力，凡是函数求最值问题，无论是简单函数还是复合函数，理论上我们都可以用导数法解决，只不过有些问题我们用前面的方法更方便。
例如：求函数f（x）=4x2-72-x，x∈0，1的值域。
解析：∵f（x）=4x2-72-x，∴f′（x）=8x（2-x）+（4x2-7）（2-x）2=-4x2+16x-7（2-x）2=-（2x-1）（2x-7）（2-x）2当0≤x<12时，f′（x）<0；当120
因此f（x）在0，12上递减，在12，1上递增。
则f（x）的值域为-4，-3。
叶圣陶先生说过：“教师之为教，不在全盘授予，而在相机诱导。”当然，解决最值（值域）问题的方法远远不止这些，例如，还有判别式法，反函数法等。这里的“天龙八式”只是对常见的求最值问题作一个归纳，而且有时在同一个题目中，解决的方法也可以几种通用或者几种并用。总而言之，解决函数的最值（值域）问题，关键还是要掌握这几种方法，然后以不变应万变，具体问题具体分析，能灵活运用这几种方法解决问题。
参考文献：
[1] 席美能.最值问题之笔者见[J].中学生数理化：教与学，2011（8）.
[2] 张琳琳.形如Y=f（x，y）的二元函数的最值的求法[J].科教新报：教育科研，2011（23）.
[3] 江怀起.函数值域的求法分析类析[J].数学教学研究，2008（S2）.