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基于数学六大核心素养制定的《义务教育数学学科课程标准》（2011年版），将数学课题学习这一内容逐步融入实际教学中，同时也通过实践论的方式展示了数学的价值，引导学生对初中数学课题学习中的七个课题进行了学习与研究，启发其思考，积累数学活动的经验，为学生后续学习奠定基础，培养他们的数学核心素养.在这里，笔者对人教版八年级上册《数学》课题学习中的造桥选址问题进行教学实践探索，挖掘其数学本质与数学思想，使学生在学习过程中获得具有综合性、阶段性、持久性的数学能力，使得课题学习在现代教育中真正发挥其价值.
一、挖掘教材数学本质与数学思想，培养学生的数学抽象素养
人教版八年级上册《数学》中提出的造桥选址问题：
如图1，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）
如图1，把河的两岸看成两条平行线a和b，N为直线b上的一个动点，MN垂直于直线b，交直线a于点M.这样，上面的问题就可以转化为下面的问题：当点N在直线b的什么位置时，AM+MN+NB最小？由于河岸宽度是固定的，因此当AM+NB最小时，AM+MN+NB最小.这样，问题就进一步转化为：当点N在直线b的什么位置时，AM+NB最小？
教材上解决这个问题的方法：如图2，通过平移AM，将求AM，MN，NB三条线段和最短转化为求两条线段AM，NB的和最短.如图3，其实就是将点A移动到点A′，将河的两岸的两点转化为一条直线b两侧的两个点，再利用两点之间线段最短，连接A′，B两点，从而找到造桥点N的位置.
通过对教材的研究，笔者帮助学生将造桥选址从实际背景中抽象出结构，提炼其数学本质，在数学思想的引领下，找到解决问题的数学方法，根据基本原理得到作图的方法，从而解决最短路径问题.但是，如何更好地运用平移的方法找到造桥的位置，教材给我们留下了广阔的研究空间.
二、精心设计教学方案，启发学生思维，培养学生的数学直观想象素养
经过教学反思，笔者发现教材上的方法很好，但是学生却很难想到，在转化上较为复杂，不易形成思维通路.因此，结合学生思维最近发展区，笔者设计问题串，启发学生思考，努力找到解决问题更好的方法.
问题一：如果河宽忽略不计，假设河为一条直线，点A与点B之间如何作图才能找到造桥的选址点？
学生1回答：连接点A与点B，线段AB与代表河的直线的交点就是造桥的选址点.
问题二：请将图1画在一张白纸上，如何动手操作可以消除河的宽度？
学生2回答：如图4，将这张纸沿直线a与直线b的中轴线对折.如图5，使两条平行河岸重合，点A与点B位于直线a（b）两侧.
问题三：此时，你能否作图找到选址点？还原这张纸，你能找到线段MN吗？
学生3回答：如图6，连接点A与点B，线段AB与直线a（b）的交点就是造桥的选址点.如图7，标注交点还原图形后，连接直线a，b上标注的点M与点N，线段MN即为所求.
问题四：你找到最短路径了吗？请说出你找到的最短路径，并说明理由.
学生4回答：找到了，如图7，AM+MN+NB就是最短路径.因为此时AM+NB=AB，两点之间线段最短，MN是固定河宽，路径AMNB就是最短路径.
问题五：不能折纸时又如何作图呢？
学生5回答：不能折纸消除河宽时，如图8，可以通过将点A沿垂直于河岸方向向下平移河宽个单位到点A′，连接A′B，交直线b于点N，过点N作线段MN⊥a于点M，连接AM，MN，NB，所求即为最短路径.
学生6回答：如图9，还可以通过将点B沿垂直于河岸方向向上平移河宽个单位到点B′，连接B′A，交直线a于点M，过点M作线段MN⊥b于点N，连接AM，MN，NB，所求即为最短路径.
学生7回答：如图10，用两种方法作图得到的线段MN是一致的，我发现平移点A或是点B都可以找到造桥的选址点.
学生8回答：如图11，过点B作BH⊥直线b于点H，将线段BH沿垂直于河岸的方向向上平移，得到线段B′H′⊥直线a于点H′.如图12，连接AB′，交直线a于点M，再过点M作线段MN⊥直线b于点N.由此作图得到造桥选址问题中的最短路径AMNB.
教材上的方法，學生不容易想到，教师也不易设计教学，学生达不到这样的认知水平，教学比较困难.教师可以创新教学方案，由问题串引导学生发现解决造桥选址问题的不同方法，探索这些方法的原理，通过作图解决问题.教师再通过这些问题启发学生思考.学生的思维能够巧妙转化，结合直观想象，他们容易说出路径最短的原理，通过思考再得出最佳作图方法.
从教材解决造桥选址的方法，到折纸忽略河岸，平移点A或点B，再到直接平移垂线段BH到河对岸的线段B′H′，教师指导学生自主学习，学生承担思考解法从繁到简的任务，从而找到了最后一种易于操作的方法.可见，教学就是由教师引起、维持和促进学生学习的所有行为.
初中课题学习共七个内容，这七个内容密切联系实际，综合应用知识，以探索为主线，学习活动形式多种多样.在上述以造桥选址问题为例，创设教学方案，启发学生思维的教学实例中，教师由问题串引导学生找到忽略河宽的方法，教会学生思考问题的方法，挖掘数学的基本原理，找到作图的最佳方法.在师生之间、生生之间持续互动的过程中，学生在思维上层层递进，不仅积累了数学思维活动的经验，而且学会思考，进而敢于思考，最后善于思考，最终提升了数学学科核心素养.
◇责任编辑 邱 艳◇
一、挖掘教材数学本质与数学思想，培养学生的数学抽象素养
人教版八年级上册《数学》中提出的造桥选址问题：
如图1，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）
如图1，把河的两岸看成两条平行线a和b，N为直线b上的一个动点，MN垂直于直线b，交直线a于点M.这样，上面的问题就可以转化为下面的问题：当点N在直线b的什么位置时，AM+MN+NB最小？由于河岸宽度是固定的，因此当AM+NB最小时，AM+MN+NB最小.这样，问题就进一步转化为：当点N在直线b的什么位置时，AM+NB最小？
教材上解决这个问题的方法：如图2，通过平移AM，将求AM，MN，NB三条线段和最短转化为求两条线段AM，NB的和最短.如图3，其实就是将点A移动到点A′，将河的两岸的两点转化为一条直线b两侧的两个点，再利用两点之间线段最短，连接A′，B两点，从而找到造桥点N的位置.
通过对教材的研究，笔者帮助学生将造桥选址从实际背景中抽象出结构，提炼其数学本质，在数学思想的引领下，找到解决问题的数学方法，根据基本原理得到作图的方法，从而解决最短路径问题.但是，如何更好地运用平移的方法找到造桥的位置，教材给我们留下了广阔的研究空间.
二、精心设计教学方案，启发学生思维，培养学生的数学直观想象素养
经过教学反思，笔者发现教材上的方法很好，但是学生却很难想到，在转化上较为复杂，不易形成思维通路.因此，结合学生思维最近发展区，笔者设计问题串，启发学生思考，努力找到解决问题更好的方法.
问题一：如果河宽忽略不计，假设河为一条直线，点A与点B之间如何作图才能找到造桥的选址点？
学生1回答：连接点A与点B，线段AB与代表河的直线的交点就是造桥的选址点.
问题二：请将图1画在一张白纸上，如何动手操作可以消除河的宽度？
学生2回答：如图4，将这张纸沿直线a与直线b的中轴线对折.如图5，使两条平行河岸重合，点A与点B位于直线a（b）两侧.
问题三：此时，你能否作图找到选址点？还原这张纸，你能找到线段MN吗？
学生3回答：如图6，连接点A与点B，线段AB与直线a（b）的交点就是造桥的选址点.如图7，标注交点还原图形后，连接直线a，b上标注的点M与点N，线段MN即为所求.
问题四：你找到最短路径了吗？请说出你找到的最短路径，并说明理由.
学生4回答：找到了，如图7，AM+MN+NB就是最短路径.因为此时AM+NB=AB，两点之间线段最短，MN是固定河宽，路径AMNB就是最短路径.
问题五：不能折纸时又如何作图呢？
学生5回答：不能折纸消除河宽时，如图8，可以通过将点A沿垂直于河岸方向向下平移河宽个单位到点A′，连接A′B，交直线b于点N，过点N作线段MN⊥a于点M，连接AM，MN，NB，所求即为最短路径.
学生6回答：如图9，还可以通过将点B沿垂直于河岸方向向上平移河宽个单位到点B′，连接B′A，交直线a于点M，过点M作线段MN⊥b于点N，连接AM，MN，NB，所求即为最短路径.
学生7回答：如图10，用两种方法作图得到的线段MN是一致的，我发现平移点A或是点B都可以找到造桥的选址点.
学生8回答：如图11，过点B作BH⊥直线b于点H，将线段BH沿垂直于河岸的方向向上平移，得到线段B′H′⊥直线a于点H′.如图12，连接AB′，交直线a于点M，再过点M作线段MN⊥直线b于点N.由此作图得到造桥选址问题中的最短路径AMNB.
教材上的方法，學生不容易想到，教师也不易设计教学，学生达不到这样的认知水平，教学比较困难.教师可以创新教学方案，由问题串引导学生发现解决造桥选址问题的不同方法，探索这些方法的原理，通过作图解决问题.教师再通过这些问题启发学生思考.学生的思维能够巧妙转化，结合直观想象，他们容易说出路径最短的原理，通过思考再得出最佳作图方法.
从教材解决造桥选址的方法，到折纸忽略河岸，平移点A或点B，再到直接平移垂线段BH到河对岸的线段B′H′，教师指导学生自主学习，学生承担思考解法从繁到简的任务，从而找到了最后一种易于操作的方法.可见，教学就是由教师引起、维持和促进学生学习的所有行为.
初中课题学习共七个内容，这七个内容密切联系实际，综合应用知识，以探索为主线，学习活动形式多种多样.在上述以造桥选址问题为例，创设教学方案，启发学生思维的教学实例中，教师由问题串引导学生找到忽略河宽的方法，教会学生思考问题的方法，挖掘数学的基本原理，找到作图的最佳方法.在师生之间、生生之间持续互动的过程中，学生在思维上层层递进，不仅积累了数学思维活动的经验，而且学会思考，进而敢于思考，最后善于思考，最终提升了数学学科核心素养.
◇责任编辑 邱 艳◇