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探究式教学是高中数学课堂活动中的重要的教学方式之一，它是以探究为基本特征的一种教学活动形式．数学课堂的探究包含着学生间的讨论以及师生间的互动与交流，能充分调动学生自主学习的积极性和参与意识，有助于培养学生发现问题，提出问题，解决问题的能力．让学生初步体验数学发现的愉悦和创造的历程，发展他们的创新意识．
1问题的产生
三棱锥是最简单的多面体，三棱锥问题是立体几何中的重要问题．熟练掌握三棱锥的有关知识与结论是学好立体几何的重要环节，而在解决三棱锥问题时，常常遇到如何确定三棱锥的高的问题．其实，如果三棱锥顶点在底面的射影位置确定了，高也随之确定了．
2问题的提出
（1） 如果三棱锥的三条侧棱相等，那么顶点在底面上的射影位置如何？
（2） 如果三棱锥的三个侧面与底面所成的二面角都相等，那么顶点在底面上的射影位置如何？
（3） 如果三棱锥的三条侧棱两两垂直，那么顶点在底面上的射影位置如何？
3问题的求解
在教学中，不急于把解法过程抛给学生，而是引导学图1生通过积极思考、探究，寻求上述3个问题的解决，困难不大，大部分学生能自主解决．
解：如图1所示，三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC，在底面上的射影为O，连结PO，OA，OB，OC，则 PO⊥面ABC．因为 PA=PB=PC， 所以 AO=BO=CO，所以O点为△ABC的外心．
变式探究1：若将（1）中条件换成“三棱锥的三条侧棱与底面所成的角相等”，那么结论有什么变化？（学生思考，动手推理论证，会很快得出“外心”这一结论），如图2.
解：点P在底面上的射影为O，连结PO，则PO⊥面ABC，在底面过O作OD⊥AB， OE⊥BC， OF⊥AC，垂足分别为D、E、F，连结PD，PE，PF，则 PD⊥AB， PE⊥BC， PF⊥AC，所以 ∠PDO， ∠PEO， ∠PFO分别为二面角P-AB-C，P-BC-A，P-AC-B的平面角.又因为 ∠PDO=∠PEO=∠PFO， PO=PO=PO，所以 Rt△PDO≌Rt△PEO≌Rt△PFO，所以 OD=OE=OF. 所以O为△ABC的内心．
变式探究2：对于问题（2）任意一个三棱锥的顶点在底面上的射影一定在底面三角形的内部吗？
（学生的探索欲望增强了，经积极地思考后会想到三棱锥的顶点在底面上的射影可以在底面三角形的外部，也可以在三角形的一边上）
图2图3变式探究3：对于问题（2）中，若结论不变则需对它的条件怎样限定？条件还能做什么变化？（这时学生已很顺利地可以写出来了）
变式探究4：请大家对问题（3）的条件和结论作大胆联想．构造一些与本题目有关的命题．（学生的探索精神不断增强，老师作适当点拨，可能得出下列命题：
① 若一个三棱锥中有两组对棱垂直，那么第三组对棱也垂直
② 若一个三棱锥中有两组对棱垂直，那么顶点在底面上的射影为底面三角形的垂心）（求解过程略）
结论：（1） 如果三棱锥的三条侧棱相等或侧棱与底面所在的角相等，那么顶点在底面上的射影一定是底面三角形的外心．
（2） 如果三棱锥的三个侧面与底面所成的二面角相等或顶点到底面各边的距离相等且顶点在底面上的射影在底面三角形的内部，那么顶点在底面上的射影是底面三角形的内心．
（3） 如果三棱锥的三条侧棱两两垂直或有两组对棱垂直，那么顶点在底面上的射影是底面三角形的垂心．
4问题的拓展
为了提高学生类比、迁移和拓展的能力，还要求学生再作思考，对问题（1）、（2）两个不同条件同一结论的命题对一般棱锥是否成立呢？
（学生积极思考、探索，用同样的推理方法可归纳出一般结论）
5问题的应用
例如图4，已知三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直，P在底面ABC内的射影为H．
求证：△APB的面积是△ABC和△AHB的面积的比例中项．
分析：师：欲证△APB的面积是△ABC和△AHB的面积的比例中项即证什么就可以了？
生：即证S2△APB=S△ABC·S△AHB．
师：观察如图△APB，△ABC，△AHB有什么共同特点？
生：都有一条公共边AB
师：由三角面积公式可知只需证什么？
生：只需证△APB中AB边上的高是△ABC中AB边上的高和△AHB中AB边上的高的比例中项.
由：由已知条件可知顶点P在底面的射影H如何？
生：顶点P在底面的射影H是△ABC的垂心．
师：连接CH并延长交AB于D，连接PD，所证结论可转化为什么？
生：PD2=CD·HD
师：如图在△PCD中由PD2=CD·HD想到什么？
生：射影定理．
下面请同学们整理证明过程（请一位同学写在黑板上，供教师做讲评）
证明：因为PA，PB，PC两两垂直，
所以 H为△ABC的垂心．
连结CH并延长交AB于D，连结PD．
由三垂线定理知 PD⊥AB，
由条件知PC⊥面ABP， 所以 PC⊥PD．
在Rt△CPD中，由射影定理得
PD2=CD·HD．
所以 AB2·PD2=AB·CD·AB．
即 S2△APB=S△ABC·S△AHB．
图4图5师：刚才我们分析所用的方法称为执果索因法（也叫分析法），我们证题一般用的由因导果法（也叫综合法）．前者是从结果（论）出发，寻求结果（论）成立的原因（条件），一直追溯到已知，即从未知，看需知，逐步靠拢已知；后者是从条件出发一直到推出结果，即从已知，看可知，逐步推向未知．两者是完全不同的推理方法，请同学们注意：执果索因法是分析问题、寻求思路的一种有效方法．遇到问题，两者联用，在似乎“山穷水尽疑无路”之时，都能寻求到解（证）题的途径，达到“柳暗花明又一村”的境地．
6问题的巩固
（1） 如图5，平面α内有Rt△ABC，∠C=90°，P是平面α外一点，PA=PB=PC．P点到平面α的距离是40 cm, AC=18 cm．求：点P到BC的距离．
（2） 若一个棱锥的底面至少是一个四边形，并且顶点与底面各边的距离都相等，那么底面多边形（）
A） 是正多边形．（B） 必有内切圆．
（C） 必有外接圆．
（D） 既有内切圆又有外接圆．
（3） 已知三棱锥的三条侧棱长分别为a,b,c，且a2+b2+c2=ab+bc+ca，则顶点在底面上的射影是底面三角形的（）
（A） 垂心．（B） 重心．（C） 内心．（D） 外心．
（4） 从平面α外一点P向α引垂线和若干条斜线，若这些斜线与α所成的角都相等，则（）
（A） 斜足一定是一正多边形的顶点．
（B） 垂足是以斜足为顶点的多边形的内心．
（C） 垂足是以斜足为顶点的多边形的外心．
（D） 垂足是以斜足为顶点的多边形的垂心．
（5） 已知一个四棱锥底面的顺次三个角之比为2∶3∶4，又棱锥的侧棱与底面所成的角都相等，则底面的四个角中最小的角的度数是（）
（A） 30°．（B） 45°．（C） 50°．（D） 60°．
7对探究式教学的思考和总结
教学实践证明，探究式教学可调动学生的兴趣，促进学生自主学习能力的提高，课堂的学习气氛也活跃起来．通过探究式教学，培养了学生敢说、愿说、想说，培养了学生提出问题能力、动手实践能力、分析论证能力及创新思维能力，培养了学生科学探究、互相合作和实事求是的精神．
参考文献
卜照泽．对一道数学高考题的探究式教学．数学通讯，2005（9）
注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
1问题的产生
三棱锥是最简单的多面体，三棱锥问题是立体几何中的重要问题．熟练掌握三棱锥的有关知识与结论是学好立体几何的重要环节，而在解决三棱锥问题时，常常遇到如何确定三棱锥的高的问题．其实，如果三棱锥顶点在底面的射影位置确定了，高也随之确定了．
2问题的提出
（1） 如果三棱锥的三条侧棱相等，那么顶点在底面上的射影位置如何？
（2） 如果三棱锥的三个侧面与底面所成的二面角都相等，那么顶点在底面上的射影位置如何？
（3） 如果三棱锥的三条侧棱两两垂直，那么顶点在底面上的射影位置如何？
3问题的求解
在教学中，不急于把解法过程抛给学生，而是引导学图1生通过积极思考、探究，寻求上述3个问题的解决，困难不大，大部分学生能自主解决．
解：如图1所示，三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC，在底面上的射影为O，连结PO，OA，OB，OC，则 PO⊥面ABC．因为 PA=PB=PC， 所以 AO=BO=CO，所以O点为△ABC的外心．
变式探究1：若将（1）中条件换成“三棱锥的三条侧棱与底面所成的角相等”，那么结论有什么变化？（学生思考，动手推理论证，会很快得出“外心”这一结论），如图2.
解：点P在底面上的射影为O，连结PO，则PO⊥面ABC，在底面过O作OD⊥AB， OE⊥BC， OF⊥AC，垂足分别为D、E、F，连结PD，PE，PF，则 PD⊥AB， PE⊥BC， PF⊥AC，所以 ∠PDO， ∠PEO， ∠PFO分别为二面角P-AB-C，P-BC-A，P-AC-B的平面角.又因为 ∠PDO=∠PEO=∠PFO， PO=PO=PO，所以 Rt△PDO≌Rt△PEO≌Rt△PFO，所以 OD=OE=OF. 所以O为△ABC的内心．
变式探究2：对于问题（2）任意一个三棱锥的顶点在底面上的射影一定在底面三角形的内部吗？
（学生的探索欲望增强了，经积极地思考后会想到三棱锥的顶点在底面上的射影可以在底面三角形的外部，也可以在三角形的一边上）
图2图3变式探究3：对于问题（2）中，若结论不变则需对它的条件怎样限定？条件还能做什么变化？（这时学生已很顺利地可以写出来了）
变式探究4：请大家对问题（3）的条件和结论作大胆联想．构造一些与本题目有关的命题．（学生的探索精神不断增强，老师作适当点拨，可能得出下列命题：
① 若一个三棱锥中有两组对棱垂直，那么第三组对棱也垂直
② 若一个三棱锥中有两组对棱垂直，那么顶点在底面上的射影为底面三角形的垂心）（求解过程略）
结论：（1） 如果三棱锥的三条侧棱相等或侧棱与底面所在的角相等，那么顶点在底面上的射影一定是底面三角形的外心．
（2） 如果三棱锥的三个侧面与底面所成的二面角相等或顶点到底面各边的距离相等且顶点在底面上的射影在底面三角形的内部，那么顶点在底面上的射影是底面三角形的内心．
（3） 如果三棱锥的三条侧棱两两垂直或有两组对棱垂直，那么顶点在底面上的射影是底面三角形的垂心．
4问题的拓展
为了提高学生类比、迁移和拓展的能力，还要求学生再作思考，对问题（1）、（2）两个不同条件同一结论的命题对一般棱锥是否成立呢？
（学生积极思考、探索，用同样的推理方法可归纳出一般结论）
5问题的应用
例如图4，已知三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直，P在底面ABC内的射影为H．
求证：△APB的面积是△ABC和△AHB的面积的比例中项．
分析：师：欲证△APB的面积是△ABC和△AHB的面积的比例中项即证什么就可以了？
生：即证S2△APB=S△ABC·S△AHB．
师：观察如图△APB，△ABC，△AHB有什么共同特点？
生：都有一条公共边AB
师：由三角面积公式可知只需证什么？
生：只需证△APB中AB边上的高是△ABC中AB边上的高和△AHB中AB边上的高的比例中项.
由：由已知条件可知顶点P在底面的射影H如何？
生：顶点P在底面的射影H是△ABC的垂心．
师：连接CH并延长交AB于D，连接PD，所证结论可转化为什么？
生：PD2=CD·HD
师：如图在△PCD中由PD2=CD·HD想到什么？
生：射影定理．
下面请同学们整理证明过程（请一位同学写在黑板上，供教师做讲评）
证明：因为PA，PB，PC两两垂直，
所以 H为△ABC的垂心．
连结CH并延长交AB于D，连结PD．
由三垂线定理知 PD⊥AB，
由条件知PC⊥面ABP， 所以 PC⊥PD．
在Rt△CPD中，由射影定理得
PD2=CD·HD．
所以 AB2·PD2=AB·CD·AB．
即 S2△APB=S△ABC·S△AHB．
图4图5师：刚才我们分析所用的方法称为执果索因法（也叫分析法），我们证题一般用的由因导果法（也叫综合法）．前者是从结果（论）出发，寻求结果（论）成立的原因（条件），一直追溯到已知，即从未知，看需知，逐步靠拢已知；后者是从条件出发一直到推出结果，即从已知，看可知，逐步推向未知．两者是完全不同的推理方法，请同学们注意：执果索因法是分析问题、寻求思路的一种有效方法．遇到问题，两者联用，在似乎“山穷水尽疑无路”之时，都能寻求到解（证）题的途径，达到“柳暗花明又一村”的境地．
6问题的巩固
（1） 如图5，平面α内有Rt△ABC，∠C=90°，P是平面α外一点，PA=PB=PC．P点到平面α的距离是40 cm, AC=18 cm．求：点P到BC的距离．
（2） 若一个棱锥的底面至少是一个四边形，并且顶点与底面各边的距离都相等，那么底面多边形（）
A） 是正多边形．（B） 必有内切圆．
（C） 必有外接圆．
（D） 既有内切圆又有外接圆．
（3） 已知三棱锥的三条侧棱长分别为a,b,c，且a2+b2+c2=ab+bc+ca，则顶点在底面上的射影是底面三角形的（）
（A） 垂心．（B） 重心．（C） 内心．（D） 外心．
（4） 从平面α外一点P向α引垂线和若干条斜线，若这些斜线与α所成的角都相等，则（）
（A） 斜足一定是一正多边形的顶点．
（B） 垂足是以斜足为顶点的多边形的内心．
（C） 垂足是以斜足为顶点的多边形的外心．
（D） 垂足是以斜足为顶点的多边形的垂心．
（5） 已知一个四棱锥底面的顺次三个角之比为2∶3∶4，又棱锥的侧棱与底面所成的角都相等，则底面的四个角中最小的角的度数是（）
（A） 30°．（B） 45°．（C） 50°．（D） 60°．
7对探究式教学的思考和总结
教学实践证明，探究式教学可调动学生的兴趣，促进学生自主学习能力的提高，课堂的学习气氛也活跃起来．通过探究式教学，培养了学生敢说、愿说、想说，培养了学生提出问题能力、动手实践能力、分析论证能力及创新思维能力，培养了学生科学探究、互相合作和实事求是的精神．
参考文献
卜照泽．对一道数学高考题的探究式教学．数学通讯，2005（9）
注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文