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摘要：就2018年全国卷及京、津、琼、苏四省市高考万有引力部分题从模型构建、思路点拨等角度作了分析.
关键词：万有引力；高考试题
作者简介：胡小波（1979-），男 ，安徽桐城人，硕士，中学一级教师，研究方向：中学物理学科教学.
万有引力定律是高中物理力学部分的重要定律，以万有引力定律与牛顿运动定律相结合为背景命制的试题在历年高考中屡屡出现，可见作为经典力学中最基本的定律之一的万有引力定律是高考的必考点，2018年全国卷和部分自主命题的省份也不例外.
1万有引力部分的考查形式、考查内容及试题分布
表1
全国卷1全国卷2全国卷3北京卷天津卷海南卷江苏卷
考查形式多项选择题单项选择题单项选择题单项选择题不定项选择题单项选择题单项选择题
题号分布20（全卷）、7（物理部分）15（全卷）、3（物理部分）15（全卷）、2（物理部分）17（全卷）、5（物理部分）621
考查内容双星系统维持天体稳定运动的最小密度计算卫星运动参数（周期）比较月地检验卫星相关物理量的计算火星和土星运动参数比较人造卫星运动参数比较
所占分值6666643
对2018年全国卷及京、津、琼、苏四省市高考万有引力试题的统计分析不难发现以下规律：一是考查的题型都是选择题，其中全国卷1为多选题，天津卷为不定项选择题，其余均为单项选择题；二是题目分布从第一题至第七题不等.其中江苏卷设置在全卷的第一题，难度较低，全国卷1设置在物理部分的第7题，即物理部分选择题的倒数第2题，有一定的难度；三是考查内容有卫星的运行参数比较（如全国卷3、江苏卷和海南卷）、月地检验（北京卷、天体自转不解体的最小密度计算（全国卷2）及双星系统（全国卷1）；四是考查的类型均以单独考查某个知识点为主；五是分值在3到6分之间.
2试题剖析
21卫星运动参数的比较、计算
【真题再现】
例1（2018江苏）我国高分系列卫星的高分辨对地观察能力不断提高.今年5月9日发射的“高分五号”轨道高度约为705km，之前已运行的“高分四号”轨道高度约为36 000km，它们都绕地球做圆周运动.与“高分四号冶相比，下列物理量中“高分五号”较小的是
A.周期B.角速度
C.线速度D.向心加速度
例2（2018海南）土星与太阳的距离是火星与太阳距离的6倍多.由此信息可知
A.土星的质量比火星的小
B.土星运行的速率比火星的小
C.土星运行的周期比火星的小
D.土星运行的角速度大小比火星的大
例3（2018全国卷3）为了探测引力波，“天琴计划”预计发射地球卫星P，其轨道半径约为地球半径的16倍；另一地球卫星Q的轨道半径约为地球半径的4倍.P与Q的周期之比约为
A.2∶1 B.4∶1C.8∶1D.16∶1
例4（2018天津）2018年2月2日，我国成功将电磁监测试验卫星“张衡一号”发射升空，标志我国成为世界上少数拥有在轨运行高精度地球物理场探测卫星的国家之一.通过观测可以得到卫星绕地球运动的周期，并已知地球的半径和地球表面处的重力加速度.若将卫星绕地球的运动看作是匀速圆周运动，且不考虑地球自转的影响，根据以上数据可以计算出卫星的
A.密度B.向心力的大小
C.离地高度D.线速度的大小
【模型构建】将人造地球卫星绕地球运动（或行星绕太阳运动）看成是匀速圆周运动.
【思路点拨】人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动时，由地球对卫星的万有引力提供向心力，设地球质量为M，卫星的线速度、角速度、周期、向心加速度和轨道半径分别为v、ω、T、a、r
则由GMmr2=mv2r=mω2r=m（2πT）2r=ma得，v=GMr∝1r，ω=GMr3∝1r3，T=4π2r3GM∝r3，a=GMr2∝1r2；由此可知，轨道越低（r越小），線速度越大，角速度越大，向心加速度越大，周期越小，这可作为圆轨道卫星运行快慢判定的二级结论，在选择题或填空题中可直接利用，大大节约解题时间，提高解题效率.
【试题解析】
例1和例2：由圆轨道的卫星轨道半径越小，线速度、角速度、向心加速度越大，周期越小易得例1选A，例2选B；
由例3，卫星的周期TPTQ=r3pr3Q=（16R）3（4R）3=81得
TPTQ=r3pr3Q=（16R）3（4R）3=81，式中R为地球半径，故例3选C.
由例4，万有引力提供向心力GMmr2=m（2πT）2r，结合黄金替换GM=gR2易求出卫星的轨道半径r=3gR2T24π2，卫星的高度h=r-R随之求出；因卫星的轨道半径与卫星运行速度一一对应，可由GMmr2=mv2r确定出卫星运动的速度大小，故例4选CD.因卫星本身质量、体积均无法得知，故卫星所受向心力和密度均无法求出，排除AB.
22月地检验
【真题再现】
例5（2018北京）若想检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵循同样的规律，在已知月地距离约为地球半径60倍的情况下，需要验证
A.地球吸引月球的力约为地球吸引苹果的力的1/602
B.月球公转的加速度约为苹果落向地面加速度的1/602
C.自由落体在月球表面的加速度约为地球表面的1/6
D.苹果在月球表面受到的引力约为在地球表面的1/60
【模型构建】月球绕地球的运动看作匀速圆周运动，地面上的物体受地球的万有引力等于重力（忽略物体随地球自转需要的向心力）. 【思路点拔】 月球绕地球的运动需要向心力，其来源为地球对月球的吸引力，其向心加速度由引力产生，同样，在地面附近使苹果下落的力仍来源于地球的吸引，其下落的重力加速度由地球的吸引力产生，若要证实这两个力是同种性质的力（都与距离的平方成反比），只要验证月球运动的向心加速度与苹果下落的重力加速度的大小关系即可.
【试题解析】
设有一质量为m的苹果在月球的轨道上绕地球做勻速度圆周运动，由地球对其作用力提供向心力得：F1=mg向，再设同样的苹果在地球表面附近自由下落，地球对其作用力即为其受到的重力（忽略随地球自转需要的向心力）有：F2=mg，若能得出F1F2=a向g=（Rr）2，式中R、r分别是地球半径和月球的轨道半径，即若能通过观测计算出月球轨道上苹果的向心加速度与地球表面处的重力加速度之比等于它们各自到地心距离的平方反比，则验证了使月球（月球轨道上的苹果）绕地球运动的力和使地面附近苹果下落的力是同一种性质的力（都具有与距离的平方成反比这一性质），因r=60R，故只要满足月球公转的加速度约为苹果下落的加速度的（160）2，本题选B.
23天体稳定自转的密度约束
【真题再现】
例6（全国卷2）2018年2月，我国500m口径射电望远镜（天眼）发现毫秒脉冲星“J0318 0253”，其自转周期T=5.19ms，假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为667×10-11N·m2/kg2.以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为
A.5×109kg/m3B.5×1012kg/m3
C.5×1015kg/m3D.5×1018kg/m3
【模型构建】假定脉冲星为质量分布均匀的球体，自转时绕自身轴做匀速圆周运动
【思路点拨】星球自转时，如若自身转动的角速度不断加快，则赤道处的物体最先因引力不足以提供其随星球转动所需向心力，便离星球而去，即被星球“甩”出去（对星球而言，会最先从赤道处开始瓦解），因而对于每个以确定角速度自转的星球，星球对赤道处的物体的引力必须大于或等于其随星球转动需要的向心力，临界情况取等于，故对星球的质量体积均有一定的要求，即对星球的密度有一定的大小约束.
【试题解析】
设脉冲星的质量、半径分别为M、R，脉冲星赤道处有一质量为m的物体，其受到脉冲星对其万有引力的大小为GMmR2，其效果有两个，一是提供随脉冲星转动需要的向心力，大小为F向=m（2πT）2R，方向指向球心，二是物体在赤道处的重力，大小为mg，方向指向球心，显然有GMmR2=m（2πT）2R mg，星球稳定运行时必有GMmR2≥m（2πT）2R，因星球可看作均匀的球体，密度ρ=MV=M43πR3，由此两式可得ρ≥3πGT2，代入相关参数得ρ≥5×1015kg/m3，取最小值5×1015kg/m3，本题选 C.
24双星系统
【真题再现】
例7（全国卷1）2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波.根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100s时，它们相距约400 km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈，将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星
A.质量之积B.质量之和
C.速率之和D.各自的自转角速度
【模型构建】 两颗行星均绕它们连线上的一点做匀速圆周运动，具有相同的运行周期和角速度
【思路点拨】两颗行星做匀速圆周运动所需的向心力是由它们之间的万有引力提供的，故两行星做匀速圆周运动的向心力大小相等. 两颗行星做匀速圆周运动的半径r1和r2与两行星间距L的大小关系：r1 r2=L.
【试题解析】
设两星质量分别为m1、m2，都绕连线上的O点做周期为T的匀速圆周运动，星球1和星球2离O点的距离分别为r1和r2 ，由万有引力提供向心力，对m1有：
Gm1m2L2=m1（2πT）2r1①
对m2有
Gm1m2L2=m2（2πT）2r2②
两者圆周运动的半径r1和r2的关系为
r1 r2=L.③
由①②③解得
r1=m2m1 m2L
r2=m1m1 m2L
m1 m2=4π2L3GT2
速率之和
v1 v2=ωr1 ωr2=2πLT
故BC选项正确.
3小结与反思
通过对2018年全国卷及京、津、琼、苏四省市万有引力部分的高考试题的分析，不难发现有这样一些特点.
31模型构建
七道题无一例外地都考查到了天体的圆周运动问题（如卫星绕行星运动、行星绕太阳运动、天体的自转、双星系统问题），都将卫星或行星的运动简化为完美的理想化的运动模型——匀速圆周运动，都依托在万有引力定律和牛顿运动定律两大基本定律的基础上解决问题，由此可见，以卫星绕行星转动或行星绕恒星转动这一基本圆周运动模型为背景来命制试题是2018年高考万有引力类问题的特色.七道高考题所涉及到的天体均直接或间接地简化成了质量分布均匀的球体，其实质也是模型的构建，这样便于处理天体的密度问题和地面附近物体的万有引力的距离问题.
32卫星问题处理思路
为方便分析，先做一约定，约定卫星绕地球做匀速圆周运动中的地球或行星绕太阳做匀速圆周运动中的太阳称之为中心天体，那么卫星绕地球匀速圆周运动模型中的卫星和行星绕太阳运动中的行星称之为环绕天体.环绕天体绕中心天体做匀速圆周运动，处理的基本方法是万有引力等于向心力（双星系统也不例外），只不过对一般的绕行系统，G=Mmr2=mv2r=vω2r=m（2πT）2r=ma，式中G为引力常量，M为中心天体的质量，v、ω、T、a、r分别表示环绕天体的线速度、角速度、周期、向心加速度和轨道半径，而对双星系统，则GMmL2=m（2πT）2r，式中M、m、L、T分别表示双星系统中双星的质量、距离和周期，r则表示其中一颗质量为m的星体的轨道半径.
33星体表面及附近处的物体问题处理思路
其实，七道高考题中除绕行运动外，北京卷中的月地检验、全国卷2中星体稳定自转问题、天津卷中卫星相关参数计算中用到的黄金替换均涉及到另一类研究对象，即天体表面附近或赤道处的物体.
对地球表面处质量为m的物体而言，物体受地球的万有引力GMmR2是远大于其随地球自转所需向心力mω2R的，因而一般认为，在地面附近的物体受到的万有引力就等于其所受重力即GMmR2=mg，变形得GM=gR2便为黄金替换，通常将其适用范围扩大为任一天体.
对星体稳定自转的密度约束问题，则首先考虑赤道处的物体（注意赤道处的物体相比其他处同质量的物体所需向心力最大）是否会“飘”起来或星球从赤道处先行瓦解，研究的思路则完全不同于前者的黄金替换类问题，如若星体自身转动的角速度不断加快（赤道处的物体所所需要向心力随之变大），则赤道处的物体最先因引力不足以提供其随星球转动所需的向心力，便离星球而去，即被星球“甩”出去（对星球而言，会最先从赤道处开始瓦解），故而有稳定运行的条件为GMmR2≥m（2πT）2R.
34未来考查可能
尚未考查到诸如椭圆轨道问题、卫星变轨问题、卫星追赶问题、万有引力中的能量问题和宇宙速度问题，尽管没有考查到，便不是说这部分不重要，不会考，一线教师在组织复习时不能抱有侥幸心理，不讲或略讲尚未考查到的知识点，来年也许会考查到.
关键词：万有引力；高考试题
作者简介：胡小波（1979-），男 ，安徽桐城人，硕士，中学一级教师，研究方向：中学物理学科教学.
万有引力定律是高中物理力学部分的重要定律，以万有引力定律与牛顿运动定律相结合为背景命制的试题在历年高考中屡屡出现，可见作为经典力学中最基本的定律之一的万有引力定律是高考的必考点，2018年全国卷和部分自主命题的省份也不例外.
1万有引力部分的考查形式、考查内容及试题分布
表1
全国卷1全国卷2全国卷3北京卷天津卷海南卷江苏卷
考查形式多项选择题单项选择题单项选择题单项选择题不定项选择题单项选择题单项选择题
题号分布20（全卷）、7（物理部分）15（全卷）、3（物理部分）15（全卷）、2（物理部分）17（全卷）、5（物理部分）621
考查内容双星系统维持天体稳定运动的最小密度计算卫星运动参数（周期）比较月地检验卫星相关物理量的计算火星和土星运动参数比较人造卫星运动参数比较
所占分值6666643
对2018年全国卷及京、津、琼、苏四省市高考万有引力试题的统计分析不难发现以下规律：一是考查的题型都是选择题，其中全国卷1为多选题，天津卷为不定项选择题，其余均为单项选择题；二是题目分布从第一题至第七题不等.其中江苏卷设置在全卷的第一题，难度较低，全国卷1设置在物理部分的第7题，即物理部分选择题的倒数第2题，有一定的难度；三是考查内容有卫星的运行参数比较（如全国卷3、江苏卷和海南卷）、月地检验（北京卷、天体自转不解体的最小密度计算（全国卷2）及双星系统（全国卷1）；四是考查的类型均以单独考查某个知识点为主；五是分值在3到6分之间.
2试题剖析
21卫星运动参数的比较、计算
【真题再现】
例1（2018江苏）我国高分系列卫星的高分辨对地观察能力不断提高.今年5月9日发射的“高分五号”轨道高度约为705km，之前已运行的“高分四号”轨道高度约为36 000km，它们都绕地球做圆周运动.与“高分四号冶相比，下列物理量中“高分五号”较小的是
A.周期B.角速度
C.线速度D.向心加速度
例2（2018海南）土星与太阳的距离是火星与太阳距离的6倍多.由此信息可知
A.土星的质量比火星的小
B.土星运行的速率比火星的小
C.土星运行的周期比火星的小
D.土星运行的角速度大小比火星的大
例3（2018全国卷3）为了探测引力波，“天琴计划”预计发射地球卫星P，其轨道半径约为地球半径的16倍；另一地球卫星Q的轨道半径约为地球半径的4倍.P与Q的周期之比约为
A.2∶1 B.4∶1C.8∶1D.16∶1
例4（2018天津）2018年2月2日，我国成功将电磁监测试验卫星“张衡一号”发射升空，标志我国成为世界上少数拥有在轨运行高精度地球物理场探测卫星的国家之一.通过观测可以得到卫星绕地球运动的周期，并已知地球的半径和地球表面处的重力加速度.若将卫星绕地球的运动看作是匀速圆周运动，且不考虑地球自转的影响，根据以上数据可以计算出卫星的
A.密度B.向心力的大小
C.离地高度D.线速度的大小
【模型构建】将人造地球卫星绕地球运动（或行星绕太阳运动）看成是匀速圆周运动.
【思路点拨】人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动时，由地球对卫星的万有引力提供向心力，设地球质量为M，卫星的线速度、角速度、周期、向心加速度和轨道半径分别为v、ω、T、a、r
则由GMmr2=mv2r=mω2r=m（2πT）2r=ma得，v=GMr∝1r，ω=GMr3∝1r3，T=4π2r3GM∝r3，a=GMr2∝1r2；由此可知，轨道越低（r越小），線速度越大，角速度越大，向心加速度越大，周期越小，这可作为圆轨道卫星运行快慢判定的二级结论，在选择题或填空题中可直接利用，大大节约解题时间，提高解题效率.
【试题解析】
例1和例2：由圆轨道的卫星轨道半径越小，线速度、角速度、向心加速度越大，周期越小易得例1选A，例2选B；
由例3，卫星的周期TPTQ=r3pr3Q=（16R）3（4R）3=81得
TPTQ=r3pr3Q=（16R）3（4R）3=81，式中R为地球半径，故例3选C.
由例4，万有引力提供向心力GMmr2=m（2πT）2r，结合黄金替换GM=gR2易求出卫星的轨道半径r=3gR2T24π2，卫星的高度h=r-R随之求出；因卫星的轨道半径与卫星运行速度一一对应，可由GMmr2=mv2r确定出卫星运动的速度大小，故例4选CD.因卫星本身质量、体积均无法得知，故卫星所受向心力和密度均无法求出，排除AB.
22月地检验
【真题再现】
例5（2018北京）若想检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵循同样的规律，在已知月地距离约为地球半径60倍的情况下，需要验证
A.地球吸引月球的力约为地球吸引苹果的力的1/602
B.月球公转的加速度约为苹果落向地面加速度的1/602
C.自由落体在月球表面的加速度约为地球表面的1/6
D.苹果在月球表面受到的引力约为在地球表面的1/60
【模型构建】月球绕地球的运动看作匀速圆周运动，地面上的物体受地球的万有引力等于重力（忽略物体随地球自转需要的向心力）. 【思路点拔】 月球绕地球的运动需要向心力，其来源为地球对月球的吸引力，其向心加速度由引力产生，同样，在地面附近使苹果下落的力仍来源于地球的吸引，其下落的重力加速度由地球的吸引力产生，若要证实这两个力是同种性质的力（都与距离的平方成反比），只要验证月球运动的向心加速度与苹果下落的重力加速度的大小关系即可.
【试题解析】
设有一质量为m的苹果在月球的轨道上绕地球做勻速度圆周运动，由地球对其作用力提供向心力得：F1=mg向，再设同样的苹果在地球表面附近自由下落，地球对其作用力即为其受到的重力（忽略随地球自转需要的向心力）有：F2=mg，若能得出F1F2=a向g=（Rr）2，式中R、r分别是地球半径和月球的轨道半径，即若能通过观测计算出月球轨道上苹果的向心加速度与地球表面处的重力加速度之比等于它们各自到地心距离的平方反比，则验证了使月球（月球轨道上的苹果）绕地球运动的力和使地面附近苹果下落的力是同一种性质的力（都具有与距离的平方成反比这一性质），因r=60R，故只要满足月球公转的加速度约为苹果下落的加速度的（160）2，本题选B.
23天体稳定自转的密度约束
【真题再现】
例6（全国卷2）2018年2月，我国500m口径射电望远镜（天眼）发现毫秒脉冲星“J0318 0253”，其自转周期T=5.19ms，假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为667×10-11N·m2/kg2.以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为
A.5×109kg/m3B.5×1012kg/m3
C.5×1015kg/m3D.5×1018kg/m3
【模型构建】假定脉冲星为质量分布均匀的球体，自转时绕自身轴做匀速圆周运动
【思路点拨】星球自转时，如若自身转动的角速度不断加快，则赤道处的物体最先因引力不足以提供其随星球转动所需向心力，便离星球而去，即被星球“甩”出去（对星球而言，会最先从赤道处开始瓦解），因而对于每个以确定角速度自转的星球，星球对赤道处的物体的引力必须大于或等于其随星球转动需要的向心力，临界情况取等于，故对星球的质量体积均有一定的要求，即对星球的密度有一定的大小约束.
【试题解析】
设脉冲星的质量、半径分别为M、R，脉冲星赤道处有一质量为m的物体，其受到脉冲星对其万有引力的大小为GMmR2，其效果有两个，一是提供随脉冲星转动需要的向心力，大小为F向=m（2πT）2R，方向指向球心，二是物体在赤道处的重力，大小为mg，方向指向球心，显然有GMmR2=m（2πT）2R mg，星球稳定运行时必有GMmR2≥m（2πT）2R，因星球可看作均匀的球体，密度ρ=MV=M43πR3，由此两式可得ρ≥3πGT2，代入相关参数得ρ≥5×1015kg/m3，取最小值5×1015kg/m3，本题选 C.
24双星系统
【真题再现】
例7（全国卷1）2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波.根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100s时，它们相距约400 km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈，将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星
A.质量之积B.质量之和
C.速率之和D.各自的自转角速度
【模型构建】 两颗行星均绕它们连线上的一点做匀速圆周运动，具有相同的运行周期和角速度
【思路点拨】两颗行星做匀速圆周运动所需的向心力是由它们之间的万有引力提供的，故两行星做匀速圆周运动的向心力大小相等. 两颗行星做匀速圆周运动的半径r1和r2与两行星间距L的大小关系：r1 r2=L.
【试题解析】
设两星质量分别为m1、m2，都绕连线上的O点做周期为T的匀速圆周运动，星球1和星球2离O点的距离分别为r1和r2 ，由万有引力提供向心力，对m1有：
Gm1m2L2=m1（2πT）2r1①
对m2有
Gm1m2L2=m2（2πT）2r2②
两者圆周运动的半径r1和r2的关系为
r1 r2=L.③
由①②③解得
r1=m2m1 m2L
r2=m1m1 m2L
m1 m2=4π2L3GT2
速率之和
v1 v2=ωr1 ωr2=2πLT
故BC选项正确.
3小结与反思
通过对2018年全国卷及京、津、琼、苏四省市万有引力部分的高考试题的分析，不难发现有这样一些特点.
31模型构建
七道题无一例外地都考查到了天体的圆周运动问题（如卫星绕行星运动、行星绕太阳运动、天体的自转、双星系统问题），都将卫星或行星的运动简化为完美的理想化的运动模型——匀速圆周运动，都依托在万有引力定律和牛顿运动定律两大基本定律的基础上解决问题，由此可见，以卫星绕行星转动或行星绕恒星转动这一基本圆周运动模型为背景来命制试题是2018年高考万有引力类问题的特色.七道高考题所涉及到的天体均直接或间接地简化成了质量分布均匀的球体，其实质也是模型的构建，这样便于处理天体的密度问题和地面附近物体的万有引力的距离问题.
32卫星问题处理思路
为方便分析，先做一约定，约定卫星绕地球做匀速圆周运动中的地球或行星绕太阳做匀速圆周运动中的太阳称之为中心天体，那么卫星绕地球匀速圆周运动模型中的卫星和行星绕太阳运动中的行星称之为环绕天体.环绕天体绕中心天体做匀速圆周运动，处理的基本方法是万有引力等于向心力（双星系统也不例外），只不过对一般的绕行系统，G=Mmr2=mv2r=vω2r=m（2πT）2r=ma，式中G为引力常量，M为中心天体的质量，v、ω、T、a、r分别表示环绕天体的线速度、角速度、周期、向心加速度和轨道半径，而对双星系统，则GMmL2=m（2πT）2r，式中M、m、L、T分别表示双星系统中双星的质量、距离和周期，r则表示其中一颗质量为m的星体的轨道半径.
33星体表面及附近处的物体问题处理思路
其实，七道高考题中除绕行运动外，北京卷中的月地检验、全国卷2中星体稳定自转问题、天津卷中卫星相关参数计算中用到的黄金替换均涉及到另一类研究对象，即天体表面附近或赤道处的物体.
对地球表面处质量为m的物体而言，物体受地球的万有引力GMmR2是远大于其随地球自转所需向心力mω2R的，因而一般认为，在地面附近的物体受到的万有引力就等于其所受重力即GMmR2=mg，变形得GM=gR2便为黄金替换，通常将其适用范围扩大为任一天体.
对星体稳定自转的密度约束问题，则首先考虑赤道处的物体（注意赤道处的物体相比其他处同质量的物体所需向心力最大）是否会“飘”起来或星球从赤道处先行瓦解，研究的思路则完全不同于前者的黄金替换类问题，如若星体自身转动的角速度不断加快（赤道处的物体所所需要向心力随之变大），则赤道处的物体最先因引力不足以提供其随星球转动所需的向心力，便离星球而去，即被星球“甩”出去（对星球而言，会最先从赤道处开始瓦解），故而有稳定运行的条件为GMmR2≥m（2πT）2R.
34未来考查可能
尚未考查到诸如椭圆轨道问题、卫星变轨问题、卫星追赶问题、万有引力中的能量问题和宇宙速度问题，尽管没有考查到，便不是说这部分不重要，不会考，一线教师在组织复习时不能抱有侥幸心理，不讲或略讲尚未考查到的知识点，来年也许会考查到.