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摘 要：数学课程改革是数学教育改革的核心，针对高师数学分析课程改革及教学中存在的问题，本文以实践为基础，以教材为依托，以学生为主体，从教材内容和教学方法两方面进行了改革与探索。
关键词：高师 数学分析 教学改革
中图分类号：Ｇ642 文献标识码：Ａ 文章编号：1673－1875（2007）02－073－02
作者简介：牛向阳，（1976— ），男，安徽濉溪人，硕士，讲师，主要从事数学理论研究。基金项目：安徽省重点建设课程项目（编号200153）
数学课程改革是数学教育改革的核心，信息时代的来临和社会的快速发展有力地冲击着当前的数学教育体系。为了深化课程改革，提高教学质量，培养出适应21世纪需要的高素质创新人才，如何对高师数学分析的教学进行有效的改革，是值得教育工作者共同商榷与探讨的问题。下面总结我们多年从事数学分析教学的研究与实践，从教材内容和教学方法两方面对数学分析的教学改革作了几点探讨与思考。
一、数学分析教材建设的系统化
自1990年以来，我们使用的教材是华东师范大学数学系编写的《数学分析》，该教材是一部优秀的教材，它的一个显著优点是系统性强。体现在教材的编排前后联系紧密，过渡自然，知识内容呈现一定的连续性和层次性，使学生一定程度上学到比较完整的知识体系。然而在数学课程改革的过程中，高师数学分析课程存在着课时压缩与内容深化间的矛盾。同时由于微积分的部分内容（一元原函数的极限，连续，导数）被纳入高中阶段的数学课程中，如果这部分内容处理不当会使学生听起来乏味，甚至发展到厌学的地步。针对上述问题，在具体的教学实践中，我们进行如下的改革。
1．1淡化相对严密的内容体系，寻求教材内容的优化组合
徐利治先生指出“课程与教材改革立求突出趣味性、直观性、启发性、技巧性、逻辑性和简易性，而简易性为最大的期盼”［3］。匡继昌先生提出数学教育“要从难教难学向易教易学转变”［4］。这要求教师能够对教学内容进行优化组合，使教学内容呈现科学的序列层次。在教学实践中我们进行了大胆的调整：精选内容，删繁就简，力求做到精益求精。如在数学分析第一章的教学中，由于这部分内容在中学数学中都曾出现，为了与中学数学内容做到很好的衔接，我们用一个课时复习了函数的概念和性质，用一个课时精选了函数的有界性进行讲解。除了阐述中学数学中的定义外，结合中学数学已经学习过的导数，分析了最值与极值的区别与联系，讲解了利用导数如何求实际问题中得最值、如何求闭区间上的最值。通过上述调整，既缩短了课时完成了大纲的要求，又让学生在解决实际问题中尝到甜头，调动了学生的积极性。在通过设置诸如“如何求解带约束条件的极值”这样的问题，激发学生的学习兴趣，为第六章的学习作下铺垫。再如在中值定理的教学中，按照直观性教学的原则，我们选择从中值定理的背景及几何意义入手，通过构造适当的辅助函数，剖析了它的证明与应用，再将定理的条件加强为两个端点的函数值相同得到中值定理，而将定理中的函数拓广成两个函数时又得到中值定理。通过教学不仅让学生了解了中值定理的来龙去脉、几个中值定理之间的联系，掌握应用中值定理处理问题的方法；更重要的是在教学中教会学生去猜想，去发现与创建“新知识”，给学生留出充分的思考空间，进行创造性的假设与分析，达到学与思的结合。既提高了思维的深度，又开阔了视野；既巩固了知识，又学以致用；既培养了思维的灵活性，又激发了创新兴趣。
1．2拓广教材知识容量，注重与其它学科的渗透与整合
吕世虎先生提出“高师数学教育专业课的设置应遵循数学课程的整合与贯通，调整基础课程，加强基础性、前言性和综合性”［5］。在具体的教学改革中，我们增添了数学文化、数学命题的教学探究、数学分析建模等。同时注意各学科的交叉关系，将高等代数、概率论、泛函分析中的部分内容适时与数学分析的内容进行整合，将各科所学知识融会贯通，拓宽视野，提高学生的综合应用能力。如在定积分的教学中，由于［a,b］上的Riemann可积函数全体R［a,b］构成R中的线性空间，而R［a,b］中若定义函数f(x)与函数g(x)的内积为
则此线性空间又成为内积空间。如果定义映射
则T为R［a,b］到R中的线性泛函。结合高等代数、泛函分析中线性算子定义及内积空间的性质，将“分析”问题转变为“代数”问题及“泛函”问题进行探讨，不仅系统地掌握了Riemann可积函数的性质，而且很容易地证明了数学分析中几个较难的不等式—Schwarz,youg,Minkowski不等式。再如在Lagrange中值定理的证明中，对于辅助函数的构造，学生感到困惑，知其然而不知其所以然。在教学中，我们将等式
中的□变为x，利用微分方程的知识求
的通解，很容易得到所要构造的辅助函数。这样我们使本来模糊的问题得以澄清，拓广了教材容量，使学生原有的知识结构得以不断的发展和扩大，激发了他们的求知欲，通过各科知识的相互渗透，培养了学生综合运用各科的知识解决问题的能力。
二、数学分析教学方法的多元化
高师数学教育要突出师范性，要培养出掌握数学科学的基本理论、基本知识、和数学实验手段，能够运用数学知识和计算机技术解决若干实际问题，具备中等学校进行数学教学的德、智、体全面发展的面向现代化、面向世界、面向未来的适应ＷＴＯ要求的合格人民教师、教学研究人员和其他教育工作者［6］。因此以学生的发展为本，根据不同阶段、不同层次学生的需求，各种教学方法要互相渗透，向着多元化发展。
2．1采用灵活多样的启发式教学
启发式教学是被实践证明的非常有效的方法，它的具体方式灵活多样。我们在教学中，注意使用启发式语言，营造启发式的轻松的学习环境，对有些难于理解的概念和理论，先用浅显的语言、生动的比喻、直观的形象或学生所熟悉的内容来引入，“化难为易”，让学生先得到一定的感性认识，随着教师的一步步引导，不断深入，逐步改进、完善、精确，最后学生能够水到渠成地得到结论，并总结出方法，上升到理性认识，达到“化易为难”，彻底理解的目的。如在“证明
”的教学中，先用多媒体展示了我们sinx/x当x□0时的变化趋势，让学生对此极限有种直观感性的认识；再通过对例题的分析，让学生上升到理性的把握；最后联系实际，将教学分为三个模块：1、等式
产生的背景、古今不同的证明方法。2、与
相关的练习，包括选择、判断、填空、计算与证明题。3、
应用的难点分析。这种做法实现了分层次教学的原则，保证了差生能理解，中等生能掌握，优秀生能发挥，调动学生学习的自主性、探索性和创造性，以适应于考研、从教、综合应用三类人才培养的需要，为学生的发展提供更为广阔的平台。
2．2采用层层深入的问题式教学方法
思维是由问题激发的，一个好的问题能使思维得以产生、维持和持久。一系列环环相扣的问题串，更能激发学生强烈的创新思维和创新精神。尤其是把问题式教学方法应用到“难点”教学中更能打破常规，出现意想不到的效果。例如，“数列极限存在的条件”是本章教难的内容。但是，我们在教学中我们做了如下设计。首先采用启发式的语言作为开场白“数学分析重要的工具是什么——极限，而极限中最简单的为哪一类——数列的极限”紧接着提出新问题“是否所有的数列都存在极限？”“具有什么样特点的数列存在极限？”“如果某数列存在极限，它又具有怎样的性质？”通过设疑，不仅激发了学生的思考，而且使学生明确了本节的重点：数列极限存在的条件与性质。然后设计由浅入深的问题串：“常数列的极限是否存在？它具有怎样的变化趋势？”“单调递增的数列具有怎样的变化趋势，它是否存在上确界？”“如果单调递增的数列存在上确界，它是否趋向与上确界？”“上确界与极限值之间具有怎样的关系？”一系列的问题，不仅打破了学生思维的局限性，而且分散了难点。同时在解决问题的过程中，学生不仅能创造性的提出不同于教材的条件和方法，提高了创新能力，而且还体会到了创新的乐趣。
在教学中，我们注重过程的探索，通过探索过程，让学生自己去找可能有的结果。这样不仅学到了知识，而且提高了思维的灵活性：另外在整理结果的过程中，又进一步优化了学生的思维品质，培养了创新能力。
总之在教学上，只要我们时时以培养学生的创新能力为前提，在教学内容和教学方法上进行不断改革与创新，就一定能达到“处处是创造之地，时时是创造之时，人人是创造之人”的目的。
参考文献：
［1］华东师大数学系．数学分析［Ｍ］．北京：高等教育出版社，2001．
［2］教育部基础教育课程教材发展中心．新课程的理念与创新［Ｍ］．北京：北京师范大学出版社，2001．
［3］徐利治.关于高等数学教育与教学改革的看法和建议［Ｊ］．数学教育学报，2000，9（2）．
［4］匡继昌.现代数学在高师数学教学中的地位［Ｊ］．数学教育学报，2002，11（1）．
［5］吕世虎．高师数学教育如何应对基础教育新数学课程的挑战［Ｊ］．数学教育学报，2004，13（1）．
［6］中华人民共和国教育部高等教育司．普通高等学校本科专业目录和专业介绍［Ｍ］．北京：高等教育出版社，1998．
［7］张奠宇．数学教育研究导引［Ｍ］．南京：江苏教育出版社，1998．
［8］牛向阳，倪前月．基于新标准的中学数学课程改革探究［Ｊ］．中华当代教育，2004，6（4）
关键词：高师 数学分析 教学改革
中图分类号：Ｇ642 文献标识码：Ａ 文章编号：1673－1875（2007）02－073－02
作者简介：牛向阳，（1976— ），男，安徽濉溪人，硕士，讲师，主要从事数学理论研究。基金项目：安徽省重点建设课程项目（编号200153）
数学课程改革是数学教育改革的核心，信息时代的来临和社会的快速发展有力地冲击着当前的数学教育体系。为了深化课程改革，提高教学质量，培养出适应21世纪需要的高素质创新人才，如何对高师数学分析的教学进行有效的改革，是值得教育工作者共同商榷与探讨的问题。下面总结我们多年从事数学分析教学的研究与实践，从教材内容和教学方法两方面对数学分析的教学改革作了几点探讨与思考。
一、数学分析教材建设的系统化
自1990年以来，我们使用的教材是华东师范大学数学系编写的《数学分析》，该教材是一部优秀的教材，它的一个显著优点是系统性强。体现在教材的编排前后联系紧密，过渡自然，知识内容呈现一定的连续性和层次性，使学生一定程度上学到比较完整的知识体系。然而在数学课程改革的过程中，高师数学分析课程存在着课时压缩与内容深化间的矛盾。同时由于微积分的部分内容（一元原函数的极限，连续，导数）被纳入高中阶段的数学课程中，如果这部分内容处理不当会使学生听起来乏味，甚至发展到厌学的地步。针对上述问题，在具体的教学实践中，我们进行如下的改革。
1．1淡化相对严密的内容体系，寻求教材内容的优化组合
徐利治先生指出“课程与教材改革立求突出趣味性、直观性、启发性、技巧性、逻辑性和简易性，而简易性为最大的期盼”［3］。匡继昌先生提出数学教育“要从难教难学向易教易学转变”［4］。这要求教师能够对教学内容进行优化组合，使教学内容呈现科学的序列层次。在教学实践中我们进行了大胆的调整：精选内容，删繁就简，力求做到精益求精。如在数学分析第一章的教学中，由于这部分内容在中学数学中都曾出现，为了与中学数学内容做到很好的衔接，我们用一个课时复习了函数的概念和性质，用一个课时精选了函数的有界性进行讲解。除了阐述中学数学中的定义外，结合中学数学已经学习过的导数，分析了最值与极值的区别与联系，讲解了利用导数如何求实际问题中得最值、如何求闭区间上的最值。通过上述调整，既缩短了课时完成了大纲的要求，又让学生在解决实际问题中尝到甜头，调动了学生的积极性。在通过设置诸如“如何求解带约束条件的极值”这样的问题，激发学生的学习兴趣，为第六章的学习作下铺垫。再如在中值定理的教学中，按照直观性教学的原则，我们选择从中值定理的背景及几何意义入手，通过构造适当的辅助函数，剖析了它的证明与应用，再将定理的条件加强为两个端点的函数值相同得到中值定理，而将定理中的函数拓广成两个函数时又得到中值定理。通过教学不仅让学生了解了中值定理的来龙去脉、几个中值定理之间的联系，掌握应用中值定理处理问题的方法；更重要的是在教学中教会学生去猜想，去发现与创建“新知识”，给学生留出充分的思考空间，进行创造性的假设与分析，达到学与思的结合。既提高了思维的深度，又开阔了视野；既巩固了知识，又学以致用；既培养了思维的灵活性，又激发了创新兴趣。
1．2拓广教材知识容量，注重与其它学科的渗透与整合
吕世虎先生提出“高师数学教育专业课的设置应遵循数学课程的整合与贯通，调整基础课程，加强基础性、前言性和综合性”［5］。在具体的教学改革中，我们增添了数学文化、数学命题的教学探究、数学分析建模等。同时注意各学科的交叉关系，将高等代数、概率论、泛函分析中的部分内容适时与数学分析的内容进行整合，将各科所学知识融会贯通，拓宽视野，提高学生的综合应用能力。如在定积分的教学中，由于［a,b］上的Riemann可积函数全体R［a,b］构成R中的线性空间，而R［a,b］中若定义函数f(x)与函数g(x)的内积为
则此线性空间又成为内积空间。如果定义映射
则T为R［a,b］到R中的线性泛函。结合高等代数、泛函分析中线性算子定义及内积空间的性质，将“分析”问题转变为“代数”问题及“泛函”问题进行探讨，不仅系统地掌握了Riemann可积函数的性质，而且很容易地证明了数学分析中几个较难的不等式—Schwarz,youg,Minkowski不等式。再如在Lagrange中值定理的证明中，对于辅助函数的构造，学生感到困惑，知其然而不知其所以然。在教学中，我们将等式
中的□变为x，利用微分方程的知识求
的通解，很容易得到所要构造的辅助函数。这样我们使本来模糊的问题得以澄清，拓广了教材容量，使学生原有的知识结构得以不断的发展和扩大，激发了他们的求知欲，通过各科知识的相互渗透，培养了学生综合运用各科的知识解决问题的能力。
二、数学分析教学方法的多元化
高师数学教育要突出师范性，要培养出掌握数学科学的基本理论、基本知识、和数学实验手段，能够运用数学知识和计算机技术解决若干实际问题，具备中等学校进行数学教学的德、智、体全面发展的面向现代化、面向世界、面向未来的适应ＷＴＯ要求的合格人民教师、教学研究人员和其他教育工作者［6］。因此以学生的发展为本，根据不同阶段、不同层次学生的需求，各种教学方法要互相渗透，向着多元化发展。
2．1采用灵活多样的启发式教学
启发式教学是被实践证明的非常有效的方法，它的具体方式灵活多样。我们在教学中，注意使用启发式语言，营造启发式的轻松的学习环境，对有些难于理解的概念和理论，先用浅显的语言、生动的比喻、直观的形象或学生所熟悉的内容来引入，“化难为易”，让学生先得到一定的感性认识，随着教师的一步步引导，不断深入，逐步改进、完善、精确，最后学生能够水到渠成地得到结论，并总结出方法，上升到理性认识，达到“化易为难”，彻底理解的目的。如在“证明
”的教学中，先用多媒体展示了我们sinx/x当x□0时的变化趋势，让学生对此极限有种直观感性的认识；再通过对例题的分析，让学生上升到理性的把握；最后联系实际，将教学分为三个模块：1、等式
产生的背景、古今不同的证明方法。2、与
相关的练习，包括选择、判断、填空、计算与证明题。3、
应用的难点分析。这种做法实现了分层次教学的原则，保证了差生能理解，中等生能掌握，优秀生能发挥，调动学生学习的自主性、探索性和创造性，以适应于考研、从教、综合应用三类人才培养的需要，为学生的发展提供更为广阔的平台。
2．2采用层层深入的问题式教学方法
思维是由问题激发的，一个好的问题能使思维得以产生、维持和持久。一系列环环相扣的问题串，更能激发学生强烈的创新思维和创新精神。尤其是把问题式教学方法应用到“难点”教学中更能打破常规，出现意想不到的效果。例如，“数列极限存在的条件”是本章教难的内容。但是，我们在教学中我们做了如下设计。首先采用启发式的语言作为开场白“数学分析重要的工具是什么——极限，而极限中最简单的为哪一类——数列的极限”紧接着提出新问题“是否所有的数列都存在极限？”“具有什么样特点的数列存在极限？”“如果某数列存在极限，它又具有怎样的性质？”通过设疑，不仅激发了学生的思考，而且使学生明确了本节的重点：数列极限存在的条件与性质。然后设计由浅入深的问题串：“常数列的极限是否存在？它具有怎样的变化趋势？”“单调递增的数列具有怎样的变化趋势，它是否存在上确界？”“如果单调递增的数列存在上确界，它是否趋向与上确界？”“上确界与极限值之间具有怎样的关系？”一系列的问题，不仅打破了学生思维的局限性，而且分散了难点。同时在解决问题的过程中，学生不仅能创造性的提出不同于教材的条件和方法，提高了创新能力，而且还体会到了创新的乐趣。
在教学中，我们注重过程的探索，通过探索过程，让学生自己去找可能有的结果。这样不仅学到了知识，而且提高了思维的灵活性：另外在整理结果的过程中，又进一步优化了学生的思维品质，培养了创新能力。
总之在教学上，只要我们时时以培养学生的创新能力为前提，在教学内容和教学方法上进行不断改革与创新，就一定能达到“处处是创造之地，时时是创造之时，人人是创造之人”的目的。
参考文献：
［1］华东师大数学系．数学分析［Ｍ］．北京：高等教育出版社，2001．
［2］教育部基础教育课程教材发展中心．新课程的理念与创新［Ｍ］．北京：北京师范大学出版社，2001．
［3］徐利治.关于高等数学教育与教学改革的看法和建议［Ｊ］．数学教育学报，2000，9（2）．
［4］匡继昌.现代数学在高师数学教学中的地位［Ｊ］．数学教育学报，2002，11（1）．
［5］吕世虎．高师数学教育如何应对基础教育新数学课程的挑战［Ｊ］．数学教育学报，2004，13（1）．
［6］中华人民共和国教育部高等教育司．普通高等学校本科专业目录和专业介绍［Ｍ］．北京：高等教育出版社，1998．
［7］张奠宇．数学教育研究导引［Ｍ］．南京：江苏教育出版社，1998．
［8］牛向阳，倪前月．基于新标准的中学数学课程改革探究［Ｊ］．中华当代教育，2004，6（4）