论文部分内容阅读
摘要：抽象思维实质上就是帮助我们认识一些事物的本质，从而产生新的研究课题以及新的成果;抽象更便于推广，它可以使我们将不同的领域的对象放在一起进行研究，并且将一个领域的研究成果推广到另一个领域。在高等数学的教学中，运用抽象思维有助于大学生对于一些基本概念的理解和掌握，更容易使同学们接受所学的新的基本概念，进而巩固旧的知识理论，并且无形中也培养了学生的抽象思维能力。本文主要阐述如何从一个实际问题抽象成合适的“数学模型”，即建立数学模型，然后解数学模型得到此数学模型的解。在高等数学中，我们利用抽象思维建立了函数的导数，积分的概念，通过对它们的探讨得到了一系列重要结论和应用。然后将我们得到的基本概念和基本理论可类似地推广到多元函数的偏导数，以及重积分和线面积分中去。
关键词： 抽象思维;高等数学;导数;积分
中图分类号：：TU 文献标识码：A 文章编号：（2021）-02-380
俄罗斯的普莱格尔河的两条支流在哥尼斯堡汇合，横贯全城，流入大海，在河心又两座小岛，河的两岸与两岛之间共建有7座桥。城里的人们经常在河边散步，不知从什么时候起，一个有趣的问题在居民中传播，即谁能一次走遍所以7座桥，且每座桥只走一遍，最后仍回到出发点？人们都乐于尝试，但都没有成功。
七桥问题引起了著名数学家欧拉的关注，他注意到，两岸和两岛都是桥梁的连接点，它们的大小，形状与问题无关，所以，不妨把它们设为点，而7座桥使7条必须经过的路线，它们的长短，曲直也与问题无关，因此，可以用7条线来表示它们，这样，七桥问题就转化为“一笔画”问题。即指笔不离开纸，每条线只画一次就可一笔画出的图形。
那么什么样的图形可以一笔画出呢？
如果从某点出发，一笔画出了某个图形，到某一个点终止，那么，除去起点和终点外，画笔每经过一点一次，必有画进该点的一条线和画出该点的一条线，也即有两条线与该点相连接，如果画笔经过某点n次，那么，就有2n条线与该点相连接。我们把这样的点，称为偶点。相应的，如果画笔经过某点n次，然而确有2n+1或2n-1条线与该点相连接。我们把这样的点，称为奇点。因此，可以一笔画出的图形中的各点或者都是偶点，或者除去起点和终点外，其余的点都是偶点。
对于七桥问题，由于4个点均为奇点，所以，要一次不重复走遍哥尼斯堡的七座桥是不可能的。这样也就证明了，多少年来，人们费力寻找的那种不重复的路线是不存在的。
欧拉在解决七桥问题中将岸和岛用点表示，将桥用线表示非常重要，当然，也是非常巧妙的，这是数学家处理实际问题的独特之处，即把一个实际问题抽象成合适的“数学模型”，然后，求解此数学模型得到数学模型的解。
欧拉进一步将所研究的七桥问题的方法加以推广，用点表示具体的事物，用线表示两个具体的事物之间的联系，把某些具体的事物和这些具体事物之间的联系描绘出来，就成了图，从而，我们就可以用图来研究事物之间的联系，从而，创立了一门具有广泛应用的数学分支---图论。进而，欧拉在研究图形在缩放等连续变形下不变的性质，有形成了一门重要的数学分支---拓扑学。
由此我们可以看出，抽象可以产生提高，抽象便于推广，它可以帮助人们将一个领域的研究成果，突破推广到另一个领域。
在高等数学的教学过程中，适当地渗透一些数学概念、定理發现的背景、过程及思维方法， 不仅可以使学生易于理解和掌握抽象的数学概念、定义、定理和结论，以及解决问题的方法，而且有助于学生形成良好的思维习惯和创新意识， 同时激发学生学习高等数学的兴趣。
在高等数学中， 为了求物体运动的瞬时速度，假设一物体以原点为起点作变速直线运动，已知其运动方程为 s=s（t），求物体在t0 时刻的瞬时速度。我们知道，物体运动的速度是时间t的连续函数，从而，在时间间隔[t0，t0+Δt]内，可以求出物体的平均速度为v=s（t0+Δt）-s（t0）Δt，当Δt→0时，物体在t0 时刻的瞬时速度为v（t0）=limΔt→0s（t0+Δt）-s（t0）Δt
另外，对于曲线y=f（x）在点M（x0，f（x0））处的切线斜率，利用求物体运动的瞬时速度的基本思想，易得k（x0）=limΔx→0f（x0+Δt）-f（x0）Δx。这也就是说，物体运动的瞬时速度和曲线切线的斜率最后都转化为同一形式的极限。即有相同的数学模型。我们说，在自然科学以及工程技术领域内，还有许多量，比如角速度，线密度，电流强度等等，都可以归结为这种同一形式的极限。我们抛开这些量的具体意义，抓住它们在数量关系上的共性，利用抽象思维就得到了函数导数的定义：f（x0）=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f（x0+Δt）-f（x0）Δx
在实际中，常常需要讨论各种具有不同意义的变量的变化“快慢“问题，在数学中就是所谓的函数变化率问题，函数的导数就是函数变化率的精确描述。它抛开了自变量和因变量所代表的物理或几何等方面的实际意义，单纯从数量方面来刻画变化率的本质。
同样，我们利用“大化小”;“常代变”;“近似和”;“取极限”四步的基本思想分别得到平面图形曲边梯形的面积：S=limλ→0（n→∞）∑ni=1f（ξi）Δxi，和变速直线运动在时间间隔[T1，T2]内所经过得路程：S=limλ→0（n→∞）∑ni=1v（τi）Δti，然后，抛开这些量的具体意义，紧紧抓住它们在数量关系上的共性，利用抽象思维就得到了定积分的定义： ∫baf（x）dx=limλ→0（n→∞）∑ni=1f（ξi）Δxi
类似的，我们仍然利用“大化小”;“常代变”;“近似和”;“取极限”四步的基本思想分别得到空间图形曲顶柱体得体积：V=limλ→0（n→∞）∑ni=1f（ξi，ηi）Δsi，和不均匀平面薄片的质量：M=limλ→0（n→∞）∑ni=1ρ（ξi，ηi）Δsi仍然是抛开这些量的具体意义，紧紧抓住它们在数量关系上的共性，利用抽象思维就得到了二重积分的定义：Df（x，y）dxdy=limλ→0（n→∞）∑ni=1f（ξi，ηi）Δsi。
完全类似的，我们利用抽象思维可以推广得到三重积分，以及曲线积分和曲面积分的定义。由于篇幅所限，我们就不再累赘了。有兴趣的读者可参看相应的书籍。
总之，将事物的具体特征简化，抓住其主要特征，形成特殊的数学抽象思维模式，在学习高等数学的过程中，都可以有意识地加以培养与渗透。使同学们的抽象思维能力不断提高。
参考文献
[1] 曹培英.数学学习中的抽象思维及其教学策略[J].新教师.2017，12.25
[2] 朱斌.注重概念应用，培养抽象思维 [J].教育纵横.2018，12.15
关键词： 抽象思维;高等数学;导数;积分
中图分类号：：TU 文献标识码：A 文章编号：（2021）-02-380
俄罗斯的普莱格尔河的两条支流在哥尼斯堡汇合，横贯全城，流入大海，在河心又两座小岛，河的两岸与两岛之间共建有7座桥。城里的人们经常在河边散步，不知从什么时候起，一个有趣的问题在居民中传播，即谁能一次走遍所以7座桥，且每座桥只走一遍，最后仍回到出发点？人们都乐于尝试，但都没有成功。
七桥问题引起了著名数学家欧拉的关注，他注意到，两岸和两岛都是桥梁的连接点，它们的大小，形状与问题无关，所以，不妨把它们设为点，而7座桥使7条必须经过的路线，它们的长短，曲直也与问题无关，因此，可以用7条线来表示它们，这样，七桥问题就转化为“一笔画”问题。即指笔不离开纸，每条线只画一次就可一笔画出的图形。
那么什么样的图形可以一笔画出呢？
如果从某点出发，一笔画出了某个图形，到某一个点终止，那么，除去起点和终点外，画笔每经过一点一次，必有画进该点的一条线和画出该点的一条线，也即有两条线与该点相连接，如果画笔经过某点n次，那么，就有2n条线与该点相连接。我们把这样的点，称为偶点。相应的，如果画笔经过某点n次，然而确有2n+1或2n-1条线与该点相连接。我们把这样的点，称为奇点。因此，可以一笔画出的图形中的各点或者都是偶点，或者除去起点和终点外，其余的点都是偶点。
对于七桥问题，由于4个点均为奇点，所以，要一次不重复走遍哥尼斯堡的七座桥是不可能的。这样也就证明了，多少年来，人们费力寻找的那种不重复的路线是不存在的。
欧拉在解决七桥问题中将岸和岛用点表示，将桥用线表示非常重要，当然，也是非常巧妙的，这是数学家处理实际问题的独特之处，即把一个实际问题抽象成合适的“数学模型”，然后，求解此数学模型得到数学模型的解。
欧拉进一步将所研究的七桥问题的方法加以推广，用点表示具体的事物，用线表示两个具体的事物之间的联系，把某些具体的事物和这些具体事物之间的联系描绘出来，就成了图，从而，我们就可以用图来研究事物之间的联系，从而，创立了一门具有广泛应用的数学分支---图论。进而，欧拉在研究图形在缩放等连续变形下不变的性质，有形成了一门重要的数学分支---拓扑学。
由此我们可以看出，抽象可以产生提高，抽象便于推广，它可以帮助人们将一个领域的研究成果，突破推广到另一个领域。
在高等数学的教学过程中，适当地渗透一些数学概念、定理發现的背景、过程及思维方法， 不仅可以使学生易于理解和掌握抽象的数学概念、定义、定理和结论，以及解决问题的方法，而且有助于学生形成良好的思维习惯和创新意识， 同时激发学生学习高等数学的兴趣。
在高等数学中， 为了求物体运动的瞬时速度，假设一物体以原点为起点作变速直线运动，已知其运动方程为 s=s（t），求物体在t0 时刻的瞬时速度。我们知道，物体运动的速度是时间t的连续函数，从而，在时间间隔[t0，t0+Δt]内，可以求出物体的平均速度为v=s（t0+Δt）-s（t0）Δt，当Δt→0时，物体在t0 时刻的瞬时速度为v（t0）=limΔt→0s（t0+Δt）-s（t0）Δt
另外，对于曲线y=f（x）在点M（x0，f（x0））处的切线斜率，利用求物体运动的瞬时速度的基本思想，易得k（x0）=limΔx→0f（x0+Δt）-f（x0）Δx。这也就是说，物体运动的瞬时速度和曲线切线的斜率最后都转化为同一形式的极限。即有相同的数学模型。我们说，在自然科学以及工程技术领域内，还有许多量，比如角速度，线密度，电流强度等等，都可以归结为这种同一形式的极限。我们抛开这些量的具体意义，抓住它们在数量关系上的共性，利用抽象思维就得到了函数导数的定义：f（x0）=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f（x0+Δt）-f（x0）Δx
在实际中，常常需要讨论各种具有不同意义的变量的变化“快慢“问题，在数学中就是所谓的函数变化率问题，函数的导数就是函数变化率的精确描述。它抛开了自变量和因变量所代表的物理或几何等方面的实际意义，单纯从数量方面来刻画变化率的本质。
同样，我们利用“大化小”;“常代变”;“近似和”;“取极限”四步的基本思想分别得到平面图形曲边梯形的面积：S=limλ→0（n→∞）∑ni=1f（ξi）Δxi，和变速直线运动在时间间隔[T1，T2]内所经过得路程：S=limλ→0（n→∞）∑ni=1v（τi）Δti，然后，抛开这些量的具体意义，紧紧抓住它们在数量关系上的共性，利用抽象思维就得到了定积分的定义： ∫baf（x）dx=limλ→0（n→∞）∑ni=1f（ξi）Δxi
类似的，我们仍然利用“大化小”;“常代变”;“近似和”;“取极限”四步的基本思想分别得到空间图形曲顶柱体得体积：V=limλ→0（n→∞）∑ni=1f（ξi，ηi）Δsi，和不均匀平面薄片的质量：M=limλ→0（n→∞）∑ni=1ρ（ξi，ηi）Δsi仍然是抛开这些量的具体意义，紧紧抓住它们在数量关系上的共性，利用抽象思维就得到了二重积分的定义：Df（x，y）dxdy=limλ→0（n→∞）∑ni=1f（ξi，ηi）Δsi。
完全类似的，我们利用抽象思维可以推广得到三重积分，以及曲线积分和曲面积分的定义。由于篇幅所限，我们就不再累赘了。有兴趣的读者可参看相应的书籍。
总之，将事物的具体特征简化，抓住其主要特征，形成特殊的数学抽象思维模式，在学习高等数学的过程中，都可以有意识地加以培养与渗透。使同学们的抽象思维能力不断提高。
参考文献
[1] 曹培英.数学学习中的抽象思维及其教学策略[J].新教师.2017，12.25
[2] 朱斌.注重概念应用，培养抽象思维 [J].教育纵横.2018，12.15