勾股定理的重要性不言而喻，同学们在应用它解题时，常常会出现一些错误，我们要及时整理、归纳，认真做好错题笔记。龚老师整理了一些经典案例，希望同学们以此为戒，在错题本上进行完善和补充，并在复习和练习时避免犯类似的错误。
　　一、忽略勾股定理的前提
　　例1 如图1，四边形ABCD中，AB=3，AD=4，BC=13，CD=12，∠A=90°，求四边形ABCD的面积。
　　图1
　　【错解】连接BD。
　　在Rt△ABD中，由勾股定理得：BD=5。
　　∴S△BCD=[12]×5×12=30。
　　∴S四边形ABCD=30 6=36。
　　【剖析】没有说明△BCD是直角三角形，不能直接运用面积公式。本题要运用勾股定理的逆定理判定△BCD是直角三角形。这道题告诉我们，在解决问题时要有严密的思维和严谨的态度。
　　【正解】连接BD。
　　在Rt△ABD中，由勾股定理得：BD=5。
　　∵BD2 CD2=25 144=169=BC2，
　　∴△BCD是以BC为斜边的直角三角形。
　　∴S△BCD=[12]×5×12=30。
　　∴S四边形ABCD=30 6=36。
　　二、生搬硬套，思维定式
　　例2 在Rt△ABC中，a=6，b=8，若∠B=90°，求第三边c的长。
　　【错解】由勾股定理，得c2=a2 b2=36 64=100，∴c=10。
　　【剖析】我们在记忆勾股定理的公式时通常记作a2 b2=c2，很容易先入为主地默认为∠C=90°，因此犯了上述错误。同学们一定要认真审题，分清直角、斜边。
　　【正解】∵∠B=90°，∴b2=a2 c2。
　　∴c2=b2-a2=64-36=28，∴c=[27]。
　　三、已知条件指代不清要分类讨论
　　例3 已知Rt△ABC的两条边长为3和4，求第三条边长。
　　【错解】在Rt△ABC中，由勾股定理得：第三边c=5。
　　【剖析】本题的错误由两个原因导致。一是思维定式，由“勾三股四弦五”直接想到答案为5;二是题中的条件是两边为3和4，并未指明是哪两条边，有可能出现两种情况：两条边都是直角边，一条斜边一条直角边。因此，本题需要分两种情况进行分类讨论。
　　【正解】①若3和4都是直角边，由勾股定理得：c=[32 42]=5;
　　②若3是直角边，4是斜边，则c=[42-32]=[7]。
　　综上所述，第三条边长为5或[7]。
　　四、设错未知数误入死胡同
　　例4 如图2，已知△ABC中，AD⊥BC，AB=4，BC=8，AC=6，求AD的长。
　　图2
　　【错解】设AD=x。
　　在Rt△ABD和Rt△ACD中，分别由勾股定理得：
　　BD=[16-x2]，CD=[36-x2]。
　　∵BC=8，∴[16-x2] [36-x2]=8。
　　部分同学感到困惑：根式方程无法解决……
　　【剖析】利用勾股定理列方程解决问题时，由于勾股定理的特点，边长通常会带根号，因此要避免出现带根式的方程。本题可以通过设间接未知数BD=x或CD=x解决。
　　【正解】设BD=x，则CD=8-x。
　　在Rt△ABD和Rt△ACD中，分別由勾股定理得：AD2=16-x2，AD2=36-（8-x）2。
　　∴16-x2=36-（8-x）2。解之得：x=[114]。
　　在Rt△ABD中，由勾股定理得AD的长为[3154]。
　　同学们在运用勾股定理解决问题时容易犯的错误不仅仅是上述这些，大家一定要仔细审题，明确题目条件的特点，深入挖掘隐含条件，力求简便、巧妙地解答。同时，我们要关注和整理解题中常见的错误，包括自己的或同学的错误，对典型的错误进行分类归纳。我们要透过错误发现问题，并利用错误资源，认真反思、制订策略并积极地开展有针对性的训练，从错题中积累经验、完善思维、提高能力。
　　（作者单位：江苏省太仓市沙溪第一中学）