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摘要：对于思维教学的高度重视是中国数学教育最有价值的方面，也就是说，应当通过具体数学知识和技能的教学努力促进学生的思维发展。善于通过“问题引领”很好地实现所谓的“双主体”，则又可以被看成是中国数学教师最重要的特色。作为自觉的教育工作者，应努力创造更好的、更加适应未来社会需要的数学教育。
关键词：数学教育创造未来深度教学
本文根据笔者近期在中国教育学会小学数学教学专业委员会组织的一次学术论坛上的讲演整理而成，撰文则是希望能够引起更多人，特别是广大一线教师的关注与思考，从而也就能够通过共同努力创造更好、更加适应未来社会需要的数学教育。
采用“创造未来”这样一个标题，也反映了笔者对于会议主题“面向未来的小学数学教育”的看法：首先，我们应当由简单的“畅想（奢谈）”转向更自觉的行动，也即由简单地“说”转向认真地“做”;其次，创造未来最重要的动力不是技术或任何的外在力量，而是广大教师。
由美国女教师麦考利夫（她经过选拔参与1986年美国航天飞机“挑战者号”的飞行，并为此贡献了自己的宝贵生命）的以下名言，相信我们即可更好地理解“创造未来”对于自己工作而言的这样一个含义：“作为一名教师，通过我的学生，我每天都在创造未来。”
一、严重的挑战
笔者十分赞赏《南方周报》2019年9月19日在报道纪录片《他乡的童年》时所采用的标题：《什么时候教育变成一个事儿了？》（作者：张锐）的确，如果我们作为一名教育工作者都未能深切感受到教育现在正面临严重的挑战，就应当说过于“麻木”了！
当然，相对于简单的“什么时候”这样一个问题，我们应更深入地思考：究竟什么是数学教育乃至教育的整体形势？
必须肯定的是，这方面有不少积极的变化，特别是，与中国社会的整体进步相一致，在教育领域中我们也可看到自信心的明显提升，从而就与新一轮课程改革初期特别强调中国数学教育的不足，以及我们必须以西方为范例进行改革这样一个立场构成了鲜明对照;但是，作为问题的另一方面，我们也应该清楚地看到，中国的数学教育乃至一般教育，现在正面临着前所未有的严重挑战！
具体地说，由于社会上普遍存在强烈的焦虑感，因此，就当代中国而言，传统上家庭对于学校、教师的大力支持（这是数学教育国际比较研究的一个重要结论）现已转变成了巨大的压力。这从以下两个现象可见一斑：
一是“补课”的盛行，更已由先前的高中逐步蔓延到了初中、小学乃至学前阶段。《中国儿童发展报告》提供的数据显示，六成儿童参与课外培训，上学日5天参与课外培训的累计时间为3.4小时，周末两日参与课外培训的累计时间为3.2小时。
二是学校与教师面临巨大的压力，特别是，不允许教师和学校在任何一种考试中有任何一点点的“失利”，否则就将面临家长的“讨伐”，而其直接结果就是不少优秀教师、优秀学校现已完全丧失了与“应试教育”抗衡的能力与决心。
这对教育究竟意味着什么？！
笔者的看法是：当前的社会已经失去了对于学校和教师的传统信任！这也正是一位教师在观看了《他乡的童年》以后对于芬兰教育体制的最大感触，即社会对于教师的信任：“他们没有那么多教育任務和束缚，老师可以按照自己的知识和理解设计课程……我们则承受着来自社会、学校和家长的压力，只好按照一个模式进行。”
这是湖北省赤壁市正扬小学的一次数学教学改革实验：三年级前不上数学课。实验已进行五年，实验班考试成绩颇佳：数学平均90.1分，比普通班高11.5分;语文平均90分，比普通班高15.3分。但是，2019年，该校收到一纸通知：从2019年起要开齐课程、开足课时。改革被迫中止。引自：高伊琛.小学三年级前，不上数学课：一场未竟的课程改革[N].南方周末，2019-10-10。——这似乎也为上面的结论提供了更多的证据。
再者，如果“‘用考试倒逼学生读书’正是语文课程改革的新动向”并非误传，特别是，在“继承中华传统文化”这一口号下，要求学生背诵的诗词量大大增加，那么，这显然也就可以被看成“应试教育”在语文领域的一次重大胜利！与此相对照，程世和先生的认识显然更加可取：“强调任何一种文化的重要都不可过度，都必须考虑它的‘边界问题’。”
但是，我们究竟如何评价中国教育的整体水平？对于这一问题的深入思考，显然可以被看成由单纯的“文化自信”转向“文化自觉”的必然要求，包括我们如何才能更好地承担起自己应负的“文化责任”。对于高中学习，几位曾先后在中美两国任教的数学教师有这样的体会：“人到16岁开始成人，知道自己要有人生目标，优秀生开始思考未来，这是一个人成长、成型的关键时期。中国学生却在这两年天天复习高考。”“美国的优秀学生不断向上攀升，中国学生天天做高考题……中国高中的‘空转’，在最容易吸收知识、开始思考人生的年龄段，束缚于考试。更令人心焦的是，许多顶尖的中学，对‘空转’现象不觉得是问题。自我感觉良好。”张奠宙.中国数学教育的软肋——高中空转——冯祖鸣老师等访谈录[J].数学教学，2007（11）：封二。对此，我们可以做出自己的判断，包括清楚地认识究竟什么是中国基础教育的主要问题。更严重的是，相关现象现已由高中扩展到了初中、小学、幼儿园……我们的年青一代正在失去快乐的童年，我们甚至都没有给他们提供最少一点的放飞理想的时间和空间。难道教育的梦想就是让更多的学生进入211或985重点大学？！又有谁真的关心并认真地研究过，我们的学生在进入大学以后，乃至更长时间内的表现和状态？！
二、守住底线
笔者在此所关注的又主要是这样一个问题：上述的外部冲击对于教师而言，究竟又产生了怎样的影响？显然，其性质明显地不同于先前由于纯粹的物质诱惑或社会价值观的扭曲对于少数教师所造成的消极影响，而是集中地体现于对教师基本观念的巨大冲击。我们究竟应当如何认识教师工作的意义？难道就是为了对付各种各样的考试，并能帮助自己的学生在考试中取得好的成绩吗？在此，我们应特别关注年青教师的成长，而不能让他们从一开始就陷入“应试教育”的泥潭，却又始终未能对此具有清醒的认识，从而也就无可避免地会越陷越深，完全无法自拔。 这实非笔者杞人忧天。因为，现在确有很多教师深深地陷入“应试教育”之中，甚至还感觉良好。
前一段时间，由于主管部门开展了“素质教育大检查”，江苏各地学校学生的负担大为减轻，不仅作业量锐减，考试得到了严格控制，连书包的分量也大大减轻了——因为，学校严令禁止学生带任何课外学习材料到学校。然而，尽管检查时雷厉风行、一丝不苟，检查一结束，马上就恢复原状了，而且，所有这些行动又都是教师自愿进行的，有些教师还对个别表达了简单的口头抗议——“教育局的人快回来吧！”——的学生提出了严重警告：“你想干什么？！我们还不是为了你们好！”
由此，我们也可更清楚地认识到“不忘初心，牢记使命”的重要性，即我们每一个人都应始终牢记教师工作的真正意义与基本使命：教师对于学生的整个生涯都有十分重要和深远的影响;
在对学校生活进行回忆时，学生更多回忆起的是他们的老师，而不是所学过的课程;
选择成为教师，就是选择了一个在情感方面有很高要求的职业;
教师应像家长一样爱自己的学生，但却是为了不同的理由，并采取了不同的方式;
教师既应成为学生的典范，同时又应努力改变学生的行为;
很少有人会高度评价教师为教学工作所付出的大量时间和精力;
人类文明大多数最重要的进步都应归功于教师的工作;
教师的工作是一种基于关于明天的信仰而从事的活动。摘引自：美国数学教师全国委员会发行的内部简报NCTM News Bulletin，1998。进而，我们还应当认真思考这样一个问题：面对各种挑战或压力，作为一名普通教师，我们如何才能守住自己的职业底线，特别是，能在考试的巨大压力下始终保持自己的教育情怀？
事实上，这也应该成为学校与教师的一个重要社會责任：“优质的教育从来不肯迎合儿童当下的兴趣;优质的教育从来都是从适宜的高度引导学生——带领学生围绕伟大的事物起舞、成长;优质的教育要求教师的心中首先装着伟大的事物，然后才是学生。否则，爱学生就是一句空话;否则，我们拿什么去爱他们，帮助他们。”“自由从来不是自上而下赐予的，它是凭借信念和意志争取到的，自由的程度从来都取决于我们坚守正道、向善向美的信念和信心！”引自：薛瑞萍.给我一个班，我就心满意足了[M].上海：华东师范大学出版社，2006。
下面特别提及两个范例，尽管它们所直接涉及的都不是数学教学。
先看学生对于一位语文教师的回忆董月玲.师说[N].中国青年报，20080716。：这是北京四中语文老师李家声的课堂，不是公开课：
他讲《离骚》，“好像被屈原附体一样，散发出一种人性的光芒，（让我们）心里有说不出的感动”。他朗读《离骚》，时而激扬，时而悲愤，学生不得不“被屈原那种灵魂的美、精神的美，所深深吸引”。虽然《离骚》只上了两节课，一个从前不喜欢语文的理科学生，课后不知花了多少时间来读《离骚》，375句差不多都能背下来了。
……
“他讲《满江红》，不是讲，而是吟唱，每次唱，都会哭。”一个考上北大的女生回忆道，“开始时，我望着他，他微蹙着眉头，凝视着前方，几根发丝微微颤动。但很快，我低下头，不敢再抬起来，因为我知道，自己的双颊已经红得发烫，眼中的泪水，已经涨到收不回的程度。”唱到“待从头收拾旧山河，朝天阙”时，先生已满眼是泪，学生也满眼是泪。歌罢，教室里，立刻响起雷鸣般的掌声。“我们把手拍红了，却都不愿意停下来。就这样，掌声一浪接一浪地响了不知多长时间。”
一茬茬的学生，成了他忘年的知音。“先生给予了我空灵、明净和透亮的灵魂，教我们怎样做一个知识分子，做一个铁骨铮铮、处世独立、横而不流的知识分子。”再看一位特别受到学生欢迎的历史老师李晓风引自：余慧娟.大象之舞——中国课改：一个教育记者的思想笔记[M].北京：教育科学出版社，2014。：一位学生回忆道：“在高三的单调生活中，历史课成为我们全班同学的享受，李老师十分注重逻辑，带领我们建立起知识的整体结构，这无论对考试或是我们今后的常识记忆都是大有裨益的。”
“在这个流行‘刷题’‘刷夜’的年代，高三的历史依然是50分钟的传统（三周两次），没有作业题，不用参考书，课堂，便是一切，课后要温习的，也是课上的历史细节和思考。在做够了数学题，背吐了政治书之后，一切与历史有关的复习和思考都成了一种享受。这种学习，无关乎高考，甚至无关乎前途，或许只是对某个人物的命运、某段王朝兴衰的慨叹，对某个哲学家思想的思悟，又或对某个现实事件折射出的历史进程的思考——那不是明确的课堂内容，却是每个人在课上课下不由自主会想的问题。常常有那么一瞬，为自己是在进行‘人文思考’而不是‘文科学习’而感到幸福。这种幸福感，源自风哥的历史课。”以下则是这位教师对于自己工作的分析：学生喜欢我的课，我觉得思考是个很重要的原因。这是我的历史课的一个目标。我想让他知道更多的历史事件，我想让他学会思考，我想让他建立一种价值观与正义感。这是成为一个知识分子必要的条件。独立思考，不屈服权威。咱们老强调创新精神和思维，其实创新精神不是说学点什么技巧就行，如果在人格上、在思想深处没那东西就不行。那么，什么又是数学教师必须坚守的职业底线？笔者以为，这就是最起码的要求：我们在任何情况下都不应搞机械教学，都不应搞“题海战术”！
当然，我们还应有一定的理想与追求。在笔者看来，在这方面我们可通过中国数学教育教学优秀传统的分析获得直接的启示，而它也集中体现了笔者的这样一个信念：只要我们能够很好地继承我们的优秀传统，那么，即使面对再大的风雨，即使出现各种各样的复杂情况，自己的教学都不会差到哪里，中国数学教育的整体情况也绝不会出现太大的反复！
那么，究竟什么是中国数学教育最有价值的方面？什么又是中国数学教师最重要的特色？
笔者的看法是，对于思维教学的高度重视即是中国数学教育最有价值的方面，也就是说，我们应当通过具体数学知识和技能的教学努力促进学生的思维发展郑毓信.“数学与思维”之深思[J].数学教育学报，2015（1）：1-5。。而善于通过“问题引领”很好地实现所谓的“双主体”，则又可以被看成是中国数学教师最重要的特色，即我们如何能够同时落实教师在教学活动中的主导地位与学生的主体地位郑毓信.中国数学教育的“问题特色”[J].数学教育学报，2018（1）：1-7。。 三、创造未来
作为自觉的教育工作者，我们当然不应满足于被动的应付，而应努力创造更好的、更加适应未来社会需要的数学教育。那么，我们究竟又应如何去确定努力的方向？
史宁中教授曾指出：“通过数学学习，学生应当成长为什么样的人，这就是数学教育的终极目标：会用数学的眼光观察世界，会用数学的思维思考世界，会用数学的语言表达世界。”史宁中.人是如何认识和表达空间的[J].小学教学（数学版），2019（3）：13-16。但是，我们是否真的应当要求每个学生都能做到这“三会”，乃至将此看成数学教育的终极目标，更期望能由此解决现实中的种种问题？
在此，我们仍可采取“用案例说话”这一方式帮助读者做出自己的回答。
这是《小学数学教师》2019年第2期刊发的《从红楼梦看教育》一文，其主要观点是：《红楼梦》中有两个重要的主角：林黛玉和薛宝钗，她们的性格分别代表着数学中两种不同的问题解决策略——“从条件想起”和“从问题想起”。具体地说，“林妹妹也许并不懂得数学中那些解决问题的策略，但其实她的性格特征倾向就是习惯‘从条件想起’……宝姐姐或许也不懂得数学中那些解决问题的策略，但其实她的性格特征倾向就是善于‘从问题想起’。”“从条件想起”的人行为动机是出于内心真实的感受，而“从问题想起”的人行为动机是出于某种想要达到的目的……“从条件想起”和“从问题想起”出发点不一样，它们所经历的过程以及对新问题的生成影响也都是不一样的。“从条件想起”就像林黛玉堆起的落花冢，无用，但能触及更多人的心灵;“从问题想起”就像薛宝钗服用的冷香丸，实用，但只为解决她一个人的病症。现在的问题是，上述分析是否可以被看成数学的具体应用，特别是较好地做到了“用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界，用数学的语言表达世界”？进而，如此观察、思考和表达世界究竟又有什么优点，还是把一个本来不是很复杂的事情搞复杂了？！
笔者认为，上述做法实在有点“数学霸凌”的味道，是将一个丰富多彩的真实世界硬性塞入了冰冷的数学樊笼之中，是用一个缺少人味的量的世界代替了“我们的质和感知的世界，我们在里面生活着、爱着、死着的世界”（柯伊莱语）。
的确，数学思维只是文学思维、艺术思维、哲学思维、科学思维等多种思维形式中的一种，这些思维形式也都有其一定的合理性和局限性;而且，也不是所有的学生将来都要用到数学思维，数学思维也并非适用于所有的工作和场合。由此可见，仅从单一学科的视角进行分析思考就必然会导致片面性的认识，后者既包括片面强调“帮助学生学会数学地思维”，也包括“人人都应做到‘三会’”这样一个主张。
与此相对照，以下的论述应该说更为合理，又由于这一论述来自“（數学）问题解决”现代研究的直接倡导者、著名数学家波利亚，自然就应引起我们更大的重视：“一个教师，他若要同样地去教他所有的学生——未来用数学和不用数学的人，那么他在教解题时应当教三分之一的数学和三分之二的常识。对学生灌注有益的思维习惯和常识也许不是一件太容易的事，一个数学教师假如他在这方面取得了成绩，那么他就真正为他的学生们（无论他们以后是做什么工作的）做了好事。能为那些70%的在以后生活中不用科技数学的学生做好事当然是一件最有意义的事情。”〔美〕乔治·波利亚.数学的发现（第二卷）[M].刘景麟，曹之江，邹青莲，译.呼和浩特：内蒙古人民出版社，1981：182。
那么，笔者在这方面的具体主张究竟是什么呢？这就是“深度教学”。我们在此应特别强调正确理解“（数学）深度教学”的重要性，因为，“教育领域中的深度学习含义已经发生了很大变化，特别是‘深度’的含义被通俗化”（蒋澎）;我们也应特别重视“深度学习”的实践性解读，因为，如果相关论述完全沉溺于理论的“高、大、上”，诸如“深度学习‘深’在哪里？首先‘深’在人的心灵里，‘深’在人的精神境界上，还‘深’在系统结构中，‘深’在教学规律中”……这显然只能使广大一线教师望而生畏、望而却步。
具体地说，我们首先应清楚地认识到这样一点：“深度教学”不仅是数学教育的内在要求，更反映了现代社会的发展特别是科学技术的飞速进步对于数学教育的更高诉求。例如，在《谢谢你迟到——以慢制胜，破题未来格局》一书中，作者认为，“随着流动的速度加快，它会渐渐掏空过去给我们带来安全和财富的存量知识”“你在学校里学到的那些知识，可能你还没有出学校的大门，就已经变得过时了”，我们必须“重新思考我们的学生究竟需要哪些新的技能或态度，才能找到工作、保住工作”。引自：〔美〕托马斯·弗里德曼.谢谢你迟到——以慢制胜，破题未来格局[M].符荆捷，朱映臻，崔艺，译.长沙：湖南科学技术出版社，2017。尽管作者并没有直接提到“深度学习”，但在笔者看来，我们仍可由此获得关于数学教育如何才能帮助学生更好适应未来社会需要的直接启示。以下就是相关作者对于教育所提出的一些具体建议：（1）我们必须牢固树立终身学习的思想，并切实提高自身在这方面的能力：“你必须知道更多，你必须更加频繁地更新知识，你必须运用知识做更多创造性的工作，而不仅仅是完成常规工作。”
（2）我们应特别重视长时间的思考与反思：“世界变化得越快……对我们生活方方面面改变得越多，每个人就越需要放慢速度……当你按下一台机器的暂停键时，它就停止运转了。但是，当一个人给自己暂停一下的时候，他就重新开始了。你开始反思，你开始重新思考你的假设前提，你开始以一种新的角度重新设想什么是可能做到的，而且，最重要的是，你内心开始与你内心深处最坚定的信仰重新建立联系……”
（3）我们还应清楚地认识合作的重要性：“到了21世纪，我们大部分人将与他人一同协作，相互提供服务……我们必须意识到，工作的固有尊严来自人与人的关系，而非人与物的关系。我们必须意识到，好的工作就是与他人沟通交流，理解他们的期许与需求……”在此，00笔者要特别提及著名学者周国平先生刊发在《新华日报》2019年3月22日的《人身上有三样东西是最宝贵的》一文中所提到的这样一些思想：在人的智力品质中，第一重要的品质是好奇心……每个人在智力成长的一定阶段上都会显现出来，实际上是一个人的理性觉醒的征兆。 ……
智力品质的另一个要素是独立思考的能力。所谓独立思考的能力，就是对于任何理论、说法，你都要追问它的根据，在弄清它有无根据之前，你要存疑。
……我还想强调一点，就是智力生活的非功利性。……如果一个民族尊重精神本身的价值，纯粹出于兴趣从事精神事业的人越多，那个民族就会成为肥沃的土壤，最容易出大师。
……怎样才能使灵魂丰富呢？欣赏艺术，欣赏大自然，情感的经历和体验，这些都很重要。除此以外……要养成过内心生活的习惯。人应该留一点时间给自己，和自己的灵魂在一起。静下来，想一想人生的问题，想一想自己的生活状态……我承认交往是一种能力，但独处是一种更重要的能力，缺乏这种能力是更大的缺陷。应当再次强调的是，尽管以上论述并非专门针对数学教育而言，我们仍可由此获得关于如何创造更好的、更加适应未来社会需要的数学教育的重要启示。
以下就对“深度教学”做出进一步的分析：（1）什么是“数学深度教学”的具体含义？（2）我们又应如何去做好“深度教学”？
为了更清楚地说明问题，我们先思考这样一个问题：为了做好教学工作，数学教师主要应当关注哪些方面？
显然，如果身处课程改革的起始阶段，人们就必然地会特别强调这样几种时新的教学方法：（1）情境设置;（2）动手实践;（3）主动探究;（4）合作学习。但是，从现今的态势来看，我们又应对此做出怎样的总结和反思？一个人没有反思就不可能有进步，一个民族没有反思也不可能有前途！
在笔者看来，以下就是这方面的一些应有认识：（1）尽管我们应当充分肯定“情境设置”的意义，但又必须清楚地认识到这样一点——数学教学必须“去情境”;（2）尽管我们应当明确肯定“动手实践”的重要性，但又应当清楚地认识到数学教学不应停留于动手，而应通过动手促进学生积极地动脑;（3）相对于简单地提倡“学生主动探究”而言，我们应当更加强调“教师指导下的‘再创造’”，这直接关系到数学学习活动的本质;（4）相对于“合作学习”的简单提倡而言，我们也应更深入地去思考什么是“合作学习”的真正含义，包括清楚地认识创建整体性“数学学习共同体”与“数学课堂文化”的重要性。
进而，相对于单纯的总结与反思而言，我们显然又应更加重视问题本身的“再认识”，即为了开展好数学教学，究竟哪些方面可以被看成具有特别的重要性？
例如，尽管笔者并未对此做具体的研究，但相信人们一定会提到这样一些环节：情境，联系，变式，活动，应用，理解，探究，思维，问题引领，问题解决，经验，多元表征理论，整合……但是，笔者希望读者深入思考的问题恰恰是，上述各个环节是否真的都很重要？什么又可被看成具有最大的重要性？
再者，依据上述的分析，相信读者已经可以很好地理解笔者关于“（数学）深度教学”具体含义的这样一个解读：“（数学）深度教学”的主要含义是：数学教学必须超越具体知识和技能深入到思维的层面，由具体的数学方法和策略过渡到一般性的思维策略与思维品质的提升，我们并应帮助学生由在教师（或书本）指导下进行学习逐步转变为学会学习，包括善于通过同学间的合作与互动进行学习，从而真正成为学习的主人。参见郑毓信的《“数学深度教学”的理论与实践》（《数学教育学报》2019年第5期，24-32）、《“数学深度教学”十讲》（《小学数学教师》2019年第7-8期起连载）两文。图1即是关于“深度教學”具体含义及其与其他一些概念之间关系的简要表述（说明：笔者对其中“活动经验”的提法存疑）。
依据上述分析，我们还可进一步指明究竟哪些环节对于数学教学具有特别的重要性，包括我们应当如何去做好“数学深度教学”（见图2—图4）。
最后，作为有益的比较，笔者特别强调这样两点：（1）如果说人们在先前往往比较注重教学的“实”“活”“新”（周玉仁语），那么，在当前我们就应更加强调一个“深”字，即应当通过“深度教学”努力提升学生的核心素养。（2）如果说“用诗意的语言感染学生”正是语文教学应当努力实现的一个境界，那么，数学教师的主要责任就是“以深刻的思想启迪学生”。
四、聚焦专业成长
以下再针对数学教师的专业成长提出一些看法和建议，这也更直接地反映了笔者的这样一个认识：教师是创造更好的教育，特别是通过年青一代创造更好未来的主要力量。
在此，首先提及中国数学教师在专业成长上的两个主要特点：（1）实践中学习;（2）群体中成长。进而，这又可被看成加强这一方面工作的两个要点：（1）更好地处理理论与教学实践之间的关系，切实做好“理论的实践性解读”与“教学实践的理论性反思”;（2）努力成为“作为研究者的教师”，即应当将“研究的精神”渗透于自己的全部教学工作。郑毓信.小学数学教师专业成长的“中国道路”[J].数学教育学报，2018（6）：1-7。这两个要点还可被看成直接关系到教师专业成长的不同阶段或基本途径：“教育智慧如何修炼？教师必须先要成为一名优秀的学习者……还必须是一名即时的反思者……在此基础上，教师还应是一名研究者。”（卢永霞）这其中，包括做好教学研究的两个关键：（1）问题意识;（2）小中见大。
下面针对现实情况，再提出另一具体的建议。
与课改初期相比，一线教师的情况现已有了很大的变化，特别是由当年的盲从转而表现出了更多的独立思考，更有不少优秀教师提出了自己相对独立的教学主张或理论思想，如“儿童数学教育”“大问题教学”“化错教学”“种子课”“学为中心”“结构化教学”“无痕教学”等。笔者的建议是，这些主张或理论也可被看成为广大教师很好实现自己的专业成长提供了重要契机：我们可以把这些主张作为分析、思考的直接对象，具体地去思考它们对于我们改进教学有哪些新的启示，这些主张与理论又有怎样的局限性或不足之处，等等。
（一）关于小学数学教学的若干经验
第一，这是著名特级教师吴正宪关于数学教学的一个具体想法：“错着错着就对了，聊着聊着就会了。” 笔者以为，“错着错着就对了”这一思想给予了我们重要启示，即对于实践、特别是操作性活动的应有重视，更进一步说，这事实上也可被看成“学数学，做数学”这一普遍性思想的具体体现。但就相关的教学实践而言，我们又应特别重视这样一点：如何能使学生在这方面具有更大的自觉性，即对于错误的清醒认识与自觉纠正（反思）。
例如，我们在教学中应当引导学生认真地去思考这样一些问题（包括逐步在这一方面养成自觉反思的良好习惯）：我是不是真的错了？为什么会出现这样的错误？我又如何才能避免再次出现同样的错误？等等。
再者，“聊着聊着就会了”则清楚地表明了“交流（包括表述）与互动”对于数学学习的特殊重要性。但就这方面的教学实践而言，我们又应特别重视这样一个关键性环节，即对于多元化的提倡与不同思想或主张（包括主体原有的想法与做法）的对照比较;另外，我们还应帮助学生逐步养成这样一种品质，即思维的开放性，特别是对于不同观点的尊重和理解，更能通过向别人学习实现自身的不断优化。
最后，就“错着错着就对了”或“聊着聊着就会了”而言，我们还应更加重视促进学生积极地进行思维，从而就能真正做到“想着想着就懂了”，或者更进一步说，“想着想着就通了”！
第二，以上述分析为背景，建议读者也可对以下一些主张做出自己的分析，即什么是它们的主要启示与不足之处：“玩着玩着就会了”“看（画）着看（画）着就会了”“演着演着就会了”……这也就是指，我们是否应当提倡通过玩数学游戏、看（画）数学绘本（漫画）乃至“演戏”来学习数学？
笔者认为，对于这些主张，我们不应持简单否定的态度，而应积极鼓励这方面的具体实践;但我们又应清楚地看到，如果缺乏必要的引导和后继发展，我们所希望的数学学习很可能不会发生。也就是说，就这方面的具体工作而言，我们应更加重视如何很好地处理“活动”与数学学习，特别是学生思维发展之间的关系。例如，《小学数学教师》2019年第3、4期刊发的两篇文章——刘善娜的《“画”数学，我想要做什么》、裘陆勤的《巧手折数学有趣又有用——小学“数学折纸”课程的开发与实践》，呈现的就是这方面的两个很好的实例。
第三，更一般地说，我们在此还可提出这样一个问题：这是否可以看成小学数学教师的一个自然倾向，即对于“活动”情有独钟？例如，与抽象的认识相比，小学教师往往更加喜欢看得见、摸得着的东西，特别是各种具体的活动;也希望相关的教学措施能有较强的可操作性，从而就容易学，学了也能馬上用得上……当然，这也是笔者提及这一现象的主要意图，即希望读者能更深入地去思考：上文所说的“活动化倾向”是否真的合理？它又有怎样的局限性？
例如，笔者以为，这事实上也可被看成上述倾向在当下的具体表现，即对于“思维的可视化”的特别强调;但这又正是这方面工作的真正关键：我们在数学中究竟是用眼睛在看，还是用头脑在“看”？数学中我们所应真正重视的是素朴的直观，还是专业意义上的直觉？
总之，我们应将日常教学与教学研究、理论学习很好地结合起来，从而确定自己的努力方向，更能持之以恒地开展工作，而不是满足于对于各种时髦口号的简单追随，却又始终未能取得真正的进步。
（二）关于教师专业成长的进一步建议
第一，视野的必要拓宽。
这与教师如何能由“合格（成熟）”走向“优秀（卓越）”密切相关，更体现了关于优秀教师的这样一个标准：优秀教师的特色不应局限于教学方法或模式，而应体现他对于教学内容的深刻理解，反映他对于学习和教学活动本质的深入思考，以及对于理想课堂与教师自身价值的深切理解与执着追求。笔者在此想再次提及关于如何促进数学教育深入发展的这样一个建议：“立足专业成长，关注基本问题。”相关文章连载于《小学数学》2010年第3、4期。
以下就是数学教师所特别关注的几个基本问题：
（1）我们应当如何认识自身工作的意义，即何为数学教育的基本目标？什么又可被看成社会进步对于数学教育的更高要求？我们还应如何去理解新一轮课程改革在这方面的各个具体主张，包括“三维目标”“核心素养”，以及“四基”与“三会”等？
（2）什么是数学学习与数学教学的本质？特别是，这相对于一般的学习和教学活动有怎样的特殊性？我们又是否应当积极地去提倡“基础教育的去专业化”或是所谓的“整合课程”？
（3）我们是否应当积极提倡“数学深度教学”？什么又是它的主要含义？特别是，“深度教学”究竟“深”在哪里？相关主张对于我们改进教学又有哪些新的启示？
（4）教学方法与教学模式是否有“好坏”的区分，在这方面又是否有彻底改革的必要？更一般地说，什么是我们做好数学教学的关键？什么又是数学教师最重要的专业能力？后者与教师的个人特质是否有一定的关系？
（5）什么是你心目中的“理想课堂”？或者说，我们应当努力创造什么样的“数学课堂文化”和“数学学习共同体”？
第二，自身人格的塑造。
这正是对于这样一个论述的直接反应：“在对学校生活进行回忆时，学生更多回忆起的是他们的老师，而不是所学过的课程”;也反映了笔者的这样一个认识：教师对于学生的教育也是一个自我教育、不断重塑自我的过程，而且，教师又只有不断提升自身在这一方面的自觉性，才能对学生产生更全面、更深远的影响，包括“数学文化”的直接熏陶。
在笔者看来，这也正是以下论述余慧娟.大象之舞——中国课改：一个教育记者的思想笔记[M].北京：教育科学出版社，2014：195。对于我们的主要启示：林肯说，四十岁以后，人要对自己的长相负责。
第一次读到这句话，我有些震惊，继而怀疑。
后来，我信了。有的人天生丽质，却因内心空虚，而渐渐猥琐;有的人，相貌平平，却因饱读诗书，坚守良知，精神健壮而高贵。有的人，前半生腼腆青涩，后半生脊梁挺立，大气凛然;有的人，前半生才华横溢，后半生私欲膨胀，再无光华。
人是有气场的……那教师往讲台一站，该是什么样的气场呢？是书生之气、儒雅之气、宽厚之气，还是浅薄之气、专制之气、粗俗之气、浮躁之气？
精神气质是我们身上最重要的“教育资本”。教育原本就是文化濡染。
为自己的精神气质负责，这是我们一生都要去面对的命题。再者，以下的论述则更直接地关系到了教师成长的基本途径：“一个教师的真正成长，一定是其思想精神的自觉、自主、自在与自得的成长。这种成长又总是从职业起步，逐步走向教育视域里的学生，走向哲学意义上的人生。”袁炳生.一个值得解读的专业成长范例——我所了解的青年教师季国栋[J].小学教学（数学版），2015（2）：46-48。
也正因此，笔者再次强调数学教师的这样“三个境界”：“如果你的教学仅仅停留于知识和技能的传授，就只能说是一个‘教师匠’;如果你的教学能够很好体现数学的思维，就可以说是一个‘智者’，因为，你能给人一定的智慧;如果你的教学能给学生无形的文化熏陶，那么，即使你是一个小学教师，即使你身处偏僻的山区或边远地区，你也是一个真正的大师，你的人生也将因此散发出真正的光辉！”
愿我们大家都能在上述方向做出切实的努力！
参考文献：
[1] 郑毓信.新数学教育哲学[M].上海：华东师范大学出版社，2015.
[2] 郑毓信.小学数学教育的理论与实践：小学数学教学180例[M].上海：华东师范大学出版社，2015.
关键词：数学教育创造未来深度教学
本文根据笔者近期在中国教育学会小学数学教学专业委员会组织的一次学术论坛上的讲演整理而成，撰文则是希望能够引起更多人，特别是广大一线教师的关注与思考，从而也就能够通过共同努力创造更好、更加适应未来社会需要的数学教育。
采用“创造未来”这样一个标题，也反映了笔者对于会议主题“面向未来的小学数学教育”的看法：首先，我们应当由简单的“畅想（奢谈）”转向更自觉的行动，也即由简单地“说”转向认真地“做”;其次，创造未来最重要的动力不是技术或任何的外在力量，而是广大教师。
由美国女教师麦考利夫（她经过选拔参与1986年美国航天飞机“挑战者号”的飞行，并为此贡献了自己的宝贵生命）的以下名言，相信我们即可更好地理解“创造未来”对于自己工作而言的这样一个含义：“作为一名教师，通过我的学生，我每天都在创造未来。”
一、严重的挑战
笔者十分赞赏《南方周报》2019年9月19日在报道纪录片《他乡的童年》时所采用的标题：《什么时候教育变成一个事儿了？》（作者：张锐）的确，如果我们作为一名教育工作者都未能深切感受到教育现在正面临严重的挑战，就应当说过于“麻木”了！
当然，相对于简单的“什么时候”这样一个问题，我们应更深入地思考：究竟什么是数学教育乃至教育的整体形势？
必须肯定的是，这方面有不少积极的变化，特别是，与中国社会的整体进步相一致，在教育领域中我们也可看到自信心的明显提升，从而就与新一轮课程改革初期特别强调中国数学教育的不足，以及我们必须以西方为范例进行改革这样一个立场构成了鲜明对照;但是，作为问题的另一方面，我们也应该清楚地看到，中国的数学教育乃至一般教育，现在正面临着前所未有的严重挑战！
具体地说，由于社会上普遍存在强烈的焦虑感，因此，就当代中国而言，传统上家庭对于学校、教师的大力支持（这是数学教育国际比较研究的一个重要结论）现已转变成了巨大的压力。这从以下两个现象可见一斑：
一是“补课”的盛行，更已由先前的高中逐步蔓延到了初中、小学乃至学前阶段。《中国儿童发展报告》提供的数据显示，六成儿童参与课外培训，上学日5天参与课外培训的累计时间为3.4小时，周末两日参与课外培训的累计时间为3.2小时。
二是学校与教师面临巨大的压力，特别是，不允许教师和学校在任何一种考试中有任何一点点的“失利”，否则就将面临家长的“讨伐”，而其直接结果就是不少优秀教师、优秀学校现已完全丧失了与“应试教育”抗衡的能力与决心。
这对教育究竟意味着什么？！
笔者的看法是：当前的社会已经失去了对于学校和教师的传统信任！这也正是一位教师在观看了《他乡的童年》以后对于芬兰教育体制的最大感触，即社会对于教师的信任：“他们没有那么多教育任務和束缚，老师可以按照自己的知识和理解设计课程……我们则承受着来自社会、学校和家长的压力，只好按照一个模式进行。”
这是湖北省赤壁市正扬小学的一次数学教学改革实验：三年级前不上数学课。实验已进行五年，实验班考试成绩颇佳：数学平均90.1分，比普通班高11.5分;语文平均90分，比普通班高15.3分。但是，2019年，该校收到一纸通知：从2019年起要开齐课程、开足课时。改革被迫中止。引自：高伊琛.小学三年级前，不上数学课：一场未竟的课程改革[N].南方周末，2019-10-10。——这似乎也为上面的结论提供了更多的证据。
再者，如果“‘用考试倒逼学生读书’正是语文课程改革的新动向”并非误传，特别是，在“继承中华传统文化”这一口号下，要求学生背诵的诗词量大大增加，那么，这显然也就可以被看成“应试教育”在语文领域的一次重大胜利！与此相对照，程世和先生的认识显然更加可取：“强调任何一种文化的重要都不可过度，都必须考虑它的‘边界问题’。”
但是，我们究竟如何评价中国教育的整体水平？对于这一问题的深入思考，显然可以被看成由单纯的“文化自信”转向“文化自觉”的必然要求，包括我们如何才能更好地承担起自己应负的“文化责任”。对于高中学习，几位曾先后在中美两国任教的数学教师有这样的体会：“人到16岁开始成人，知道自己要有人生目标，优秀生开始思考未来，这是一个人成长、成型的关键时期。中国学生却在这两年天天复习高考。”“美国的优秀学生不断向上攀升，中国学生天天做高考题……中国高中的‘空转’，在最容易吸收知识、开始思考人生的年龄段，束缚于考试。更令人心焦的是，许多顶尖的中学，对‘空转’现象不觉得是问题。自我感觉良好。”张奠宙.中国数学教育的软肋——高中空转——冯祖鸣老师等访谈录[J].数学教学，2007（11）：封二。对此，我们可以做出自己的判断，包括清楚地认识究竟什么是中国基础教育的主要问题。更严重的是，相关现象现已由高中扩展到了初中、小学、幼儿园……我们的年青一代正在失去快乐的童年，我们甚至都没有给他们提供最少一点的放飞理想的时间和空间。难道教育的梦想就是让更多的学生进入211或985重点大学？！又有谁真的关心并认真地研究过，我们的学生在进入大学以后，乃至更长时间内的表现和状态？！
二、守住底线
笔者在此所关注的又主要是这样一个问题：上述的外部冲击对于教师而言，究竟又产生了怎样的影响？显然，其性质明显地不同于先前由于纯粹的物质诱惑或社会价值观的扭曲对于少数教师所造成的消极影响，而是集中地体现于对教师基本观念的巨大冲击。我们究竟应当如何认识教师工作的意义？难道就是为了对付各种各样的考试，并能帮助自己的学生在考试中取得好的成绩吗？在此，我们应特别关注年青教师的成长，而不能让他们从一开始就陷入“应试教育”的泥潭，却又始终未能对此具有清醒的认识，从而也就无可避免地会越陷越深，完全无法自拔。 这实非笔者杞人忧天。因为，现在确有很多教师深深地陷入“应试教育”之中，甚至还感觉良好。
前一段时间，由于主管部门开展了“素质教育大检查”，江苏各地学校学生的负担大为减轻，不仅作业量锐减，考试得到了严格控制，连书包的分量也大大减轻了——因为，学校严令禁止学生带任何课外学习材料到学校。然而，尽管检查时雷厉风行、一丝不苟，检查一结束，马上就恢复原状了，而且，所有这些行动又都是教师自愿进行的，有些教师还对个别表达了简单的口头抗议——“教育局的人快回来吧！”——的学生提出了严重警告：“你想干什么？！我们还不是为了你们好！”
由此，我们也可更清楚地认识到“不忘初心，牢记使命”的重要性，即我们每一个人都应始终牢记教师工作的真正意义与基本使命：教师对于学生的整个生涯都有十分重要和深远的影响;
在对学校生活进行回忆时，学生更多回忆起的是他们的老师，而不是所学过的课程;
选择成为教师，就是选择了一个在情感方面有很高要求的职业;
教师应像家长一样爱自己的学生，但却是为了不同的理由，并采取了不同的方式;
教师既应成为学生的典范，同时又应努力改变学生的行为;
很少有人会高度评价教师为教学工作所付出的大量时间和精力;
人类文明大多数最重要的进步都应归功于教师的工作;
教师的工作是一种基于关于明天的信仰而从事的活动。摘引自：美国数学教师全国委员会发行的内部简报NCTM News Bulletin，1998。进而，我们还应当认真思考这样一个问题：面对各种挑战或压力，作为一名普通教师，我们如何才能守住自己的职业底线，特别是，能在考试的巨大压力下始终保持自己的教育情怀？
事实上，这也应该成为学校与教师的一个重要社會责任：“优质的教育从来不肯迎合儿童当下的兴趣;优质的教育从来都是从适宜的高度引导学生——带领学生围绕伟大的事物起舞、成长;优质的教育要求教师的心中首先装着伟大的事物，然后才是学生。否则，爱学生就是一句空话;否则，我们拿什么去爱他们，帮助他们。”“自由从来不是自上而下赐予的，它是凭借信念和意志争取到的，自由的程度从来都取决于我们坚守正道、向善向美的信念和信心！”引自：薛瑞萍.给我一个班，我就心满意足了[M].上海：华东师范大学出版社，2006。
下面特别提及两个范例，尽管它们所直接涉及的都不是数学教学。
先看学生对于一位语文教师的回忆董月玲.师说[N].中国青年报，20080716。：这是北京四中语文老师李家声的课堂，不是公开课：
他讲《离骚》，“好像被屈原附体一样，散发出一种人性的光芒，（让我们）心里有说不出的感动”。他朗读《离骚》，时而激扬，时而悲愤，学生不得不“被屈原那种灵魂的美、精神的美，所深深吸引”。虽然《离骚》只上了两节课，一个从前不喜欢语文的理科学生，课后不知花了多少时间来读《离骚》，375句差不多都能背下来了。
……
“他讲《满江红》，不是讲，而是吟唱，每次唱，都会哭。”一个考上北大的女生回忆道，“开始时，我望着他，他微蹙着眉头，凝视着前方，几根发丝微微颤动。但很快，我低下头，不敢再抬起来，因为我知道，自己的双颊已经红得发烫，眼中的泪水，已经涨到收不回的程度。”唱到“待从头收拾旧山河，朝天阙”时，先生已满眼是泪，学生也满眼是泪。歌罢，教室里，立刻响起雷鸣般的掌声。“我们把手拍红了，却都不愿意停下来。就这样，掌声一浪接一浪地响了不知多长时间。”
一茬茬的学生，成了他忘年的知音。“先生给予了我空灵、明净和透亮的灵魂，教我们怎样做一个知识分子，做一个铁骨铮铮、处世独立、横而不流的知识分子。”再看一位特别受到学生欢迎的历史老师李晓风引自：余慧娟.大象之舞——中国课改：一个教育记者的思想笔记[M].北京：教育科学出版社，2014。：一位学生回忆道：“在高三的单调生活中，历史课成为我们全班同学的享受，李老师十分注重逻辑，带领我们建立起知识的整体结构，这无论对考试或是我们今后的常识记忆都是大有裨益的。”
“在这个流行‘刷题’‘刷夜’的年代，高三的历史依然是50分钟的传统（三周两次），没有作业题，不用参考书，课堂，便是一切，课后要温习的，也是课上的历史细节和思考。在做够了数学题，背吐了政治书之后，一切与历史有关的复习和思考都成了一种享受。这种学习，无关乎高考，甚至无关乎前途，或许只是对某个人物的命运、某段王朝兴衰的慨叹，对某个哲学家思想的思悟，又或对某个现实事件折射出的历史进程的思考——那不是明确的课堂内容，却是每个人在课上课下不由自主会想的问题。常常有那么一瞬，为自己是在进行‘人文思考’而不是‘文科学习’而感到幸福。这种幸福感，源自风哥的历史课。”以下则是这位教师对于自己工作的分析：学生喜欢我的课，我觉得思考是个很重要的原因。这是我的历史课的一个目标。我想让他知道更多的历史事件，我想让他学会思考，我想让他建立一种价值观与正义感。这是成为一个知识分子必要的条件。独立思考，不屈服权威。咱们老强调创新精神和思维，其实创新精神不是说学点什么技巧就行，如果在人格上、在思想深处没那东西就不行。那么，什么又是数学教师必须坚守的职业底线？笔者以为，这就是最起码的要求：我们在任何情况下都不应搞机械教学，都不应搞“题海战术”！
当然，我们还应有一定的理想与追求。在笔者看来，在这方面我们可通过中国数学教育教学优秀传统的分析获得直接的启示，而它也集中体现了笔者的这样一个信念：只要我们能够很好地继承我们的优秀传统，那么，即使面对再大的风雨，即使出现各种各样的复杂情况，自己的教学都不会差到哪里，中国数学教育的整体情况也绝不会出现太大的反复！
那么，究竟什么是中国数学教育最有价值的方面？什么又是中国数学教师最重要的特色？
笔者的看法是，对于思维教学的高度重视即是中国数学教育最有价值的方面，也就是说，我们应当通过具体数学知识和技能的教学努力促进学生的思维发展郑毓信.“数学与思维”之深思[J].数学教育学报，2015（1）：1-5。。而善于通过“问题引领”很好地实现所谓的“双主体”，则又可以被看成是中国数学教师最重要的特色，即我们如何能够同时落实教师在教学活动中的主导地位与学生的主体地位郑毓信.中国数学教育的“问题特色”[J].数学教育学报，2018（1）：1-7。。 三、创造未来
作为自觉的教育工作者，我们当然不应满足于被动的应付，而应努力创造更好的、更加适应未来社会需要的数学教育。那么，我们究竟又应如何去确定努力的方向？
史宁中教授曾指出：“通过数学学习，学生应当成长为什么样的人，这就是数学教育的终极目标：会用数学的眼光观察世界，会用数学的思维思考世界，会用数学的语言表达世界。”史宁中.人是如何认识和表达空间的[J].小学教学（数学版），2019（3）：13-16。但是，我们是否真的应当要求每个学生都能做到这“三会”，乃至将此看成数学教育的终极目标，更期望能由此解决现实中的种种问题？
在此，我们仍可采取“用案例说话”这一方式帮助读者做出自己的回答。
这是《小学数学教师》2019年第2期刊发的《从红楼梦看教育》一文，其主要观点是：《红楼梦》中有两个重要的主角：林黛玉和薛宝钗，她们的性格分别代表着数学中两种不同的问题解决策略——“从条件想起”和“从问题想起”。具体地说，“林妹妹也许并不懂得数学中那些解决问题的策略，但其实她的性格特征倾向就是习惯‘从条件想起’……宝姐姐或许也不懂得数学中那些解决问题的策略，但其实她的性格特征倾向就是善于‘从问题想起’。”“从条件想起”的人行为动机是出于内心真实的感受，而“从问题想起”的人行为动机是出于某种想要达到的目的……“从条件想起”和“从问题想起”出发点不一样，它们所经历的过程以及对新问题的生成影响也都是不一样的。“从条件想起”就像林黛玉堆起的落花冢，无用，但能触及更多人的心灵;“从问题想起”就像薛宝钗服用的冷香丸，实用，但只为解决她一个人的病症。现在的问题是，上述分析是否可以被看成数学的具体应用，特别是较好地做到了“用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界，用数学的语言表达世界”？进而，如此观察、思考和表达世界究竟又有什么优点，还是把一个本来不是很复杂的事情搞复杂了？！
笔者认为，上述做法实在有点“数学霸凌”的味道，是将一个丰富多彩的真实世界硬性塞入了冰冷的数学樊笼之中，是用一个缺少人味的量的世界代替了“我们的质和感知的世界，我们在里面生活着、爱着、死着的世界”（柯伊莱语）。
的确，数学思维只是文学思维、艺术思维、哲学思维、科学思维等多种思维形式中的一种，这些思维形式也都有其一定的合理性和局限性;而且，也不是所有的学生将来都要用到数学思维，数学思维也并非适用于所有的工作和场合。由此可见，仅从单一学科的视角进行分析思考就必然会导致片面性的认识，后者既包括片面强调“帮助学生学会数学地思维”，也包括“人人都应做到‘三会’”这样一个主张。
与此相对照，以下的论述应该说更为合理，又由于这一论述来自“（數学）问题解决”现代研究的直接倡导者、著名数学家波利亚，自然就应引起我们更大的重视：“一个教师，他若要同样地去教他所有的学生——未来用数学和不用数学的人，那么他在教解题时应当教三分之一的数学和三分之二的常识。对学生灌注有益的思维习惯和常识也许不是一件太容易的事，一个数学教师假如他在这方面取得了成绩，那么他就真正为他的学生们（无论他们以后是做什么工作的）做了好事。能为那些70%的在以后生活中不用科技数学的学生做好事当然是一件最有意义的事情。”〔美〕乔治·波利亚.数学的发现（第二卷）[M].刘景麟，曹之江，邹青莲，译.呼和浩特：内蒙古人民出版社，1981：182。
那么，笔者在这方面的具体主张究竟是什么呢？这就是“深度教学”。我们在此应特别强调正确理解“（数学）深度教学”的重要性，因为，“教育领域中的深度学习含义已经发生了很大变化，特别是‘深度’的含义被通俗化”（蒋澎）;我们也应特别重视“深度学习”的实践性解读，因为，如果相关论述完全沉溺于理论的“高、大、上”，诸如“深度学习‘深’在哪里？首先‘深’在人的心灵里，‘深’在人的精神境界上，还‘深’在系统结构中，‘深’在教学规律中”……这显然只能使广大一线教师望而生畏、望而却步。
具体地说，我们首先应清楚地认识到这样一点：“深度教学”不仅是数学教育的内在要求，更反映了现代社会的发展特别是科学技术的飞速进步对于数学教育的更高诉求。例如，在《谢谢你迟到——以慢制胜，破题未来格局》一书中，作者认为，“随着流动的速度加快，它会渐渐掏空过去给我们带来安全和财富的存量知识”“你在学校里学到的那些知识，可能你还没有出学校的大门，就已经变得过时了”，我们必须“重新思考我们的学生究竟需要哪些新的技能或态度，才能找到工作、保住工作”。引自：〔美〕托马斯·弗里德曼.谢谢你迟到——以慢制胜，破题未来格局[M].符荆捷，朱映臻，崔艺，译.长沙：湖南科学技术出版社，2017。尽管作者并没有直接提到“深度学习”，但在笔者看来，我们仍可由此获得关于数学教育如何才能帮助学生更好适应未来社会需要的直接启示。以下就是相关作者对于教育所提出的一些具体建议：（1）我们必须牢固树立终身学习的思想，并切实提高自身在这方面的能力：“你必须知道更多，你必须更加频繁地更新知识，你必须运用知识做更多创造性的工作，而不仅仅是完成常规工作。”
（2）我们应特别重视长时间的思考与反思：“世界变化得越快……对我们生活方方面面改变得越多，每个人就越需要放慢速度……当你按下一台机器的暂停键时，它就停止运转了。但是，当一个人给自己暂停一下的时候，他就重新开始了。你开始反思，你开始重新思考你的假设前提，你开始以一种新的角度重新设想什么是可能做到的，而且，最重要的是，你内心开始与你内心深处最坚定的信仰重新建立联系……”
（3）我们还应清楚地认识合作的重要性：“到了21世纪，我们大部分人将与他人一同协作，相互提供服务……我们必须意识到，工作的固有尊严来自人与人的关系，而非人与物的关系。我们必须意识到，好的工作就是与他人沟通交流，理解他们的期许与需求……”在此，00笔者要特别提及著名学者周国平先生刊发在《新华日报》2019年3月22日的《人身上有三样东西是最宝贵的》一文中所提到的这样一些思想：在人的智力品质中，第一重要的品质是好奇心……每个人在智力成长的一定阶段上都会显现出来，实际上是一个人的理性觉醒的征兆。 ……
智力品质的另一个要素是独立思考的能力。所谓独立思考的能力，就是对于任何理论、说法，你都要追问它的根据，在弄清它有无根据之前，你要存疑。
……我还想强调一点，就是智力生活的非功利性。……如果一个民族尊重精神本身的价值，纯粹出于兴趣从事精神事业的人越多，那个民族就会成为肥沃的土壤，最容易出大师。
……怎样才能使灵魂丰富呢？欣赏艺术，欣赏大自然，情感的经历和体验，这些都很重要。除此以外……要养成过内心生活的习惯。人应该留一点时间给自己，和自己的灵魂在一起。静下来，想一想人生的问题，想一想自己的生活状态……我承认交往是一种能力，但独处是一种更重要的能力，缺乏这种能力是更大的缺陷。应当再次强调的是，尽管以上论述并非专门针对数学教育而言，我们仍可由此获得关于如何创造更好的、更加适应未来社会需要的数学教育的重要启示。
以下就对“深度教学”做出进一步的分析：（1）什么是“数学深度教学”的具体含义？（2）我们又应如何去做好“深度教学”？
为了更清楚地说明问题，我们先思考这样一个问题：为了做好教学工作，数学教师主要应当关注哪些方面？
显然，如果身处课程改革的起始阶段，人们就必然地会特别强调这样几种时新的教学方法：（1）情境设置;（2）动手实践;（3）主动探究;（4）合作学习。但是，从现今的态势来看，我们又应对此做出怎样的总结和反思？一个人没有反思就不可能有进步，一个民族没有反思也不可能有前途！
在笔者看来，以下就是这方面的一些应有认识：（1）尽管我们应当充分肯定“情境设置”的意义，但又必须清楚地认识到这样一点——数学教学必须“去情境”;（2）尽管我们应当明确肯定“动手实践”的重要性，但又应当清楚地认识到数学教学不应停留于动手，而应通过动手促进学生积极地动脑;（3）相对于简单地提倡“学生主动探究”而言，我们应当更加强调“教师指导下的‘再创造’”，这直接关系到数学学习活动的本质;（4）相对于“合作学习”的简单提倡而言，我们也应更深入地去思考什么是“合作学习”的真正含义，包括清楚地认识创建整体性“数学学习共同体”与“数学课堂文化”的重要性。
进而，相对于单纯的总结与反思而言，我们显然又应更加重视问题本身的“再认识”，即为了开展好数学教学，究竟哪些方面可以被看成具有特别的重要性？
例如，尽管笔者并未对此做具体的研究，但相信人们一定会提到这样一些环节：情境，联系，变式，活动，应用，理解，探究，思维，问题引领，问题解决，经验，多元表征理论，整合……但是，笔者希望读者深入思考的问题恰恰是，上述各个环节是否真的都很重要？什么又可被看成具有最大的重要性？
再者，依据上述的分析，相信读者已经可以很好地理解笔者关于“（数学）深度教学”具体含义的这样一个解读：“（数学）深度教学”的主要含义是：数学教学必须超越具体知识和技能深入到思维的层面，由具体的数学方法和策略过渡到一般性的思维策略与思维品质的提升，我们并应帮助学生由在教师（或书本）指导下进行学习逐步转变为学会学习，包括善于通过同学间的合作与互动进行学习，从而真正成为学习的主人。参见郑毓信的《“数学深度教学”的理论与实践》（《数学教育学报》2019年第5期，24-32）、《“数学深度教学”十讲》（《小学数学教师》2019年第7-8期起连载）两文。图1即是关于“深度教學”具体含义及其与其他一些概念之间关系的简要表述（说明：笔者对其中“活动经验”的提法存疑）。
依据上述分析，我们还可进一步指明究竟哪些环节对于数学教学具有特别的重要性，包括我们应当如何去做好“数学深度教学”（见图2—图4）。
最后，作为有益的比较，笔者特别强调这样两点：（1）如果说人们在先前往往比较注重教学的“实”“活”“新”（周玉仁语），那么，在当前我们就应更加强调一个“深”字，即应当通过“深度教学”努力提升学生的核心素养。（2）如果说“用诗意的语言感染学生”正是语文教学应当努力实现的一个境界，那么，数学教师的主要责任就是“以深刻的思想启迪学生”。
四、聚焦专业成长
以下再针对数学教师的专业成长提出一些看法和建议，这也更直接地反映了笔者的这样一个认识：教师是创造更好的教育，特别是通过年青一代创造更好未来的主要力量。
在此，首先提及中国数学教师在专业成长上的两个主要特点：（1）实践中学习;（2）群体中成长。进而，这又可被看成加强这一方面工作的两个要点：（1）更好地处理理论与教学实践之间的关系，切实做好“理论的实践性解读”与“教学实践的理论性反思”;（2）努力成为“作为研究者的教师”，即应当将“研究的精神”渗透于自己的全部教学工作。郑毓信.小学数学教师专业成长的“中国道路”[J].数学教育学报，2018（6）：1-7。这两个要点还可被看成直接关系到教师专业成长的不同阶段或基本途径：“教育智慧如何修炼？教师必须先要成为一名优秀的学习者……还必须是一名即时的反思者……在此基础上，教师还应是一名研究者。”（卢永霞）这其中，包括做好教学研究的两个关键：（1）问题意识;（2）小中见大。
下面针对现实情况，再提出另一具体的建议。
与课改初期相比，一线教师的情况现已有了很大的变化，特别是由当年的盲从转而表现出了更多的独立思考，更有不少优秀教师提出了自己相对独立的教学主张或理论思想，如“儿童数学教育”“大问题教学”“化错教学”“种子课”“学为中心”“结构化教学”“无痕教学”等。笔者的建议是，这些主张或理论也可被看成为广大教师很好实现自己的专业成长提供了重要契机：我们可以把这些主张作为分析、思考的直接对象，具体地去思考它们对于我们改进教学有哪些新的启示，这些主张与理论又有怎样的局限性或不足之处，等等。
（一）关于小学数学教学的若干经验
第一，这是著名特级教师吴正宪关于数学教学的一个具体想法：“错着错着就对了，聊着聊着就会了。” 笔者以为，“错着错着就对了”这一思想给予了我们重要启示，即对于实践、特别是操作性活动的应有重视，更进一步说，这事实上也可被看成“学数学，做数学”这一普遍性思想的具体体现。但就相关的教学实践而言，我们又应特别重视这样一点：如何能使学生在这方面具有更大的自觉性，即对于错误的清醒认识与自觉纠正（反思）。
例如，我们在教学中应当引导学生认真地去思考这样一些问题（包括逐步在这一方面养成自觉反思的良好习惯）：我是不是真的错了？为什么会出现这样的错误？我又如何才能避免再次出现同样的错误？等等。
再者，“聊着聊着就会了”则清楚地表明了“交流（包括表述）与互动”对于数学学习的特殊重要性。但就这方面的教学实践而言，我们又应特别重视这样一个关键性环节，即对于多元化的提倡与不同思想或主张（包括主体原有的想法与做法）的对照比较;另外，我们还应帮助学生逐步养成这样一种品质，即思维的开放性，特别是对于不同观点的尊重和理解，更能通过向别人学习实现自身的不断优化。
最后，就“错着错着就对了”或“聊着聊着就会了”而言，我们还应更加重视促进学生积极地进行思维，从而就能真正做到“想着想着就懂了”，或者更进一步说，“想着想着就通了”！
第二，以上述分析为背景，建议读者也可对以下一些主张做出自己的分析，即什么是它们的主要启示与不足之处：“玩着玩着就会了”“看（画）着看（画）着就会了”“演着演着就会了”……这也就是指，我们是否应当提倡通过玩数学游戏、看（画）数学绘本（漫画）乃至“演戏”来学习数学？
笔者认为，对于这些主张，我们不应持简单否定的态度，而应积极鼓励这方面的具体实践;但我们又应清楚地看到，如果缺乏必要的引导和后继发展，我们所希望的数学学习很可能不会发生。也就是说，就这方面的具体工作而言，我们应更加重视如何很好地处理“活动”与数学学习，特别是学生思维发展之间的关系。例如，《小学数学教师》2019年第3、4期刊发的两篇文章——刘善娜的《“画”数学，我想要做什么》、裘陆勤的《巧手折数学有趣又有用——小学“数学折纸”课程的开发与实践》，呈现的就是这方面的两个很好的实例。
第三，更一般地说，我们在此还可提出这样一个问题：这是否可以看成小学数学教师的一个自然倾向，即对于“活动”情有独钟？例如，与抽象的认识相比，小学教师往往更加喜欢看得见、摸得着的东西，特别是各种具体的活动;也希望相关的教学措施能有较强的可操作性，从而就容易学，学了也能馬上用得上……当然，这也是笔者提及这一现象的主要意图，即希望读者能更深入地去思考：上文所说的“活动化倾向”是否真的合理？它又有怎样的局限性？
例如，笔者以为，这事实上也可被看成上述倾向在当下的具体表现，即对于“思维的可视化”的特别强调;但这又正是这方面工作的真正关键：我们在数学中究竟是用眼睛在看，还是用头脑在“看”？数学中我们所应真正重视的是素朴的直观，还是专业意义上的直觉？
总之，我们应将日常教学与教学研究、理论学习很好地结合起来，从而确定自己的努力方向，更能持之以恒地开展工作，而不是满足于对于各种时髦口号的简单追随，却又始终未能取得真正的进步。
（二）关于教师专业成长的进一步建议
第一，视野的必要拓宽。
这与教师如何能由“合格（成熟）”走向“优秀（卓越）”密切相关，更体现了关于优秀教师的这样一个标准：优秀教师的特色不应局限于教学方法或模式，而应体现他对于教学内容的深刻理解，反映他对于学习和教学活动本质的深入思考，以及对于理想课堂与教师自身价值的深切理解与执着追求。笔者在此想再次提及关于如何促进数学教育深入发展的这样一个建议：“立足专业成长，关注基本问题。”相关文章连载于《小学数学》2010年第3、4期。
以下就是数学教师所特别关注的几个基本问题：
（1）我们应当如何认识自身工作的意义，即何为数学教育的基本目标？什么又可被看成社会进步对于数学教育的更高要求？我们还应如何去理解新一轮课程改革在这方面的各个具体主张，包括“三维目标”“核心素养”，以及“四基”与“三会”等？
（2）什么是数学学习与数学教学的本质？特别是，这相对于一般的学习和教学活动有怎样的特殊性？我们又是否应当积极地去提倡“基础教育的去专业化”或是所谓的“整合课程”？
（3）我们是否应当积极提倡“数学深度教学”？什么又是它的主要含义？特别是，“深度教学”究竟“深”在哪里？相关主张对于我们改进教学又有哪些新的启示？
（4）教学方法与教学模式是否有“好坏”的区分，在这方面又是否有彻底改革的必要？更一般地说，什么是我们做好数学教学的关键？什么又是数学教师最重要的专业能力？后者与教师的个人特质是否有一定的关系？
（5）什么是你心目中的“理想课堂”？或者说，我们应当努力创造什么样的“数学课堂文化”和“数学学习共同体”？
第二，自身人格的塑造。
这正是对于这样一个论述的直接反应：“在对学校生活进行回忆时，学生更多回忆起的是他们的老师，而不是所学过的课程”;也反映了笔者的这样一个认识：教师对于学生的教育也是一个自我教育、不断重塑自我的过程，而且，教师又只有不断提升自身在这一方面的自觉性，才能对学生产生更全面、更深远的影响，包括“数学文化”的直接熏陶。
在笔者看来，这也正是以下论述余慧娟.大象之舞——中国课改：一个教育记者的思想笔记[M].北京：教育科学出版社，2014：195。对于我们的主要启示：林肯说，四十岁以后，人要对自己的长相负责。
第一次读到这句话，我有些震惊，继而怀疑。
后来，我信了。有的人天生丽质，却因内心空虚，而渐渐猥琐;有的人，相貌平平，却因饱读诗书，坚守良知，精神健壮而高贵。有的人，前半生腼腆青涩，后半生脊梁挺立，大气凛然;有的人，前半生才华横溢，后半生私欲膨胀，再无光华。
人是有气场的……那教师往讲台一站，该是什么样的气场呢？是书生之气、儒雅之气、宽厚之气，还是浅薄之气、专制之气、粗俗之气、浮躁之气？
精神气质是我们身上最重要的“教育资本”。教育原本就是文化濡染。
为自己的精神气质负责，这是我们一生都要去面对的命题。再者，以下的论述则更直接地关系到了教师成长的基本途径：“一个教师的真正成长，一定是其思想精神的自觉、自主、自在与自得的成长。这种成长又总是从职业起步，逐步走向教育视域里的学生，走向哲学意义上的人生。”袁炳生.一个值得解读的专业成长范例——我所了解的青年教师季国栋[J].小学教学（数学版），2015（2）：46-48。
也正因此，笔者再次强调数学教师的这样“三个境界”：“如果你的教学仅仅停留于知识和技能的传授，就只能说是一个‘教师匠’;如果你的教学能够很好体现数学的思维，就可以说是一个‘智者’，因为，你能给人一定的智慧;如果你的教学能给学生无形的文化熏陶，那么，即使你是一个小学教师，即使你身处偏僻的山区或边远地区，你也是一个真正的大师，你的人生也将因此散发出真正的光辉！”
愿我们大家都能在上述方向做出切实的努力！
参考文献：
[1] 郑毓信.新数学教育哲学[M].上海：华东师范大学出版社，2015.
[2] 郑毓信.小学数学教育的理论与实践：小学数学教学180例[M].上海：华东师范大学出版社，2015.