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【摘要】小学阶段主要学习三种数——自然数、小数、分数.研究发现，这三种不同的数的概念在知识结构层面上有着相似的逻辑机理.通过寻找结构上相同的因子，借助以度量的视角把握数的构造，借助数轴的直观把握数的特征，以“计数单位”为线索进行单元整体建构这三个途径，帮助学生形成研究数的概念的思想方法和思维方式，而且能自觉迁移到新情境中，从而提升学生的数学素养.
【关键词】整体性;结构;自然数;小数;分数
深度学习着眼于学生对所学内容的整体性理解，促进学生的知识建构和方法迁移，发展学生的高阶思维.也就是说，我们需要准确把握数学本身的逻辑结构，将散点状、碎片化的知识进行结构化重组，提炼知识之间相同的逻辑关联，让学生对知识有整体性的理解和结构化的把握.为此，我们尝试对小学阶段主要学习的三种数——自然数、小数、分数进行研究，发现这三种不同的数的概念在知识结构层面上有着相似的逻辑机理.通过寻找结构上相同的因子，借助以度量的视角把握数的构造，借助数轴的直观把握数的特征，以“计数单位”为线索进行单元整体建构这三个途径，帮助学生形成研究数的概念的思想方法和思维方式，而且能自觉迁移到新情境中，从而提升学生的数学素养.
一、以度量的视角把握数的构造
数的发展与量的发展密不可分，可以说，数的功能主要体现在描述量的大小，而数的产生源于计数单位（标准）不断累加，所谓“数源于数”.以度量的视角看自然数、小数、分数，发现相同的构造——将计数单位不断累加得到全部的“数”.
在计量离散量的时候，从一开始的一个一个数，产生自然数（“一”是自然数最基本的计数单位），到后来按“群”计数（产生新的计数单位），建立自然数体系.不同计数单位与其个数地累加构成了全部的自然数.在计量连续量的时候，出现了比单位1更小的量，无法用自然数表示，就可以用小数或者分数表示.小数是十进分数的另一种表示形式，它与分数都沿袭自然数的传统，关键的两个要素是“计数单位”与“单位个数”.以0.1为计数单位，不断累加中产生全部的一位小数.为了精确度量，需要把0.1这个计数单位继续均分10份，产生新的计数单位0.01，把它不斷累加形成全部的两位小数.以此类推，为了更精确地度量，需要把上一个计数单位继续均分10份，产生新的计数单位，再不断累加……这样，整个小数体系就搭建起来.
同样，分数是先找出“分数单位”，再数出单位的个数的.正如华应龙老师所说“分数是先分后数的数”.例如，把单位“1”平均分成3份，产生分数单位三分之一，随着三分之一地累加产生所有分母为三的分数;如果把单位“1”平均分成4份，产生分数单位四分之一，随着四分之一地累加产生所有分母为四的分数……这样整个分数体系就建构起来.
在教学“分数的意义”时引入长条图，让学生清晰直观地体验分数单位不断累加的过程.
师：在测量线段的长度时，可以用一根木棍的长度为标准（以长条表示），把它看作“1”.此时，你能看出线段长多少吗？为什么呢？
生：2个1就是2.
师：几个1就是几，可以用自然数来表示.现在需要测量另一条线段，这条线段有多长？
生：不足“1”，不能用1去量了.
师：把“1”平均分，其中的一份就可以作为新的度量标准.1/2，1/3，1/4这三个标准中，你会选谁去量这条线段可以得到比较精确的结果？
生：我认为可以用1/4去量，估计这条线段含有3个四分之一.
师：当使用的标准无法精确测量时，需要把原来的标准继续平均分，产生新的测量标准.把“1”平均分成若干份，其中的一份就是分数单位，是组成分数的基本元素.（如图1）
师：把三分之一不断累加会得到几呢？把四分之一不断累加会得到几呢？比较观察，你有什么发现？
生：三分之几由三分之一累加而成，四分之几由四分之一累加而成.
师：分数由分数单位累加而成.另外，我们还可以对分数进行分类.（如图2）
自然数、小数、分数的构造基本相同，但计数单位的产生方式有所不同，自然数的计数单位是从“1”开始，满十后产生更大的单位，而小数与分数是把“1”进行平均分，产生更小的单位.将小数与分数的产生都置于精确度量的背景下，容易让学生产生“要将原单位不断细分得到新单位”的需要与体验，随着单位“1”被均分的份数增加，每一份表示的就越小，度量的精确度就越高.把自然数、小数、分数看成是“计数单位的累加”，让学生对相对陌生的小数与分数的认识从较为熟悉的自然数中延续开来，尤其能帮助学生承认分数是一个“数”，能表示一个结果，这有利于学生对数的构造有整体性的认识和结构化的把握，更有利于学生对知识的深度理解与融会贯通.
二、借助数轴的直观把握数的特征
数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线.数轴对于帮助学生直观地认识数来说，主要体现三大功能：（1）数轴上的每一个点都对应一个数;（2）以单位长度表示计数单位，有几个这样的计数单位，这个数就是几;（3）数轴越往右数越大，越往左数越小.通过数所在位置的对比可以比较数的大小.小学阶段，从刚开始的“数尺”到“数线”，再到“数轴”，随着学生认知能力的提升而不断升级，无论哪种形式都能直观地把数的基数和序数性质表现出来.因此，数轴（包括数轴的雏形）是直观认识自然数的得力工具.
学生在学习自然数时认识和使用数轴的经验可以迁移到小数和分数的学习过程中，可以帮助学生深入把握数的特征.例如，寻找已知小数的近似数范围，是四年级小数单元的知识难点.从确定的数到确定一个数的范围，是学生认知上的一次飞跃，可以借助数轴帮助学生理解四舍五入的道理，从而突破难点.
师：一个两位数的近似数是1.4，这个两位数可能是几？
生1：是1.41.
师：还有别的可能吗？ 生2：有可能是1.44.
师：这个两位数一定是一点四几吗？
生3：有可能是1.39.
师：那么近似数是1.4的两位数，最大会是几，最小会是几，你能找出来吗？
生讨论后汇报（过程略）.
师：我们可以借助数轴（如图3）来分析：
数轴在帮助学生把握分数特征时也发挥了重大的作用.数轴上同一个点可以用不同的分数表示.张奠宙教授认为，“分数相等性质”中蕴含的一个非常深刻的数学思想——“等价类”.分数等价类中的每个成员各有各的用处，都有其特定的价值.借助数轴，呈现一个分数的等价类，让学生对抽象的分数等价类建立起直观的表象，对最简分数进行本质提炼，为后面运算中的通分和约分做铺垫.
三、以“计数单位”为线索进行单元整体建构
以“计数单位”为线索，把数自身内部的知识点进行链接，将单元各元素进行整体关联，使知识体系能以更加紧密的结构呈现给学生，继而使之内化成为学生更为清晰和立体的认知系统.下面以小数的意义和性质（人教版四年级下册）单元重构为例，以小数的计数单位串联起本单元的主要内容（如图4）：
小數的意义和性质这个单元知识点多而散，如果以小数的“计数单位”为线索一以贯之，能将小数的意义、性质、比大小、改写、求近似数、小数点移动与小数大小变化的探讨都纳入一个知识网络当中.这种结构化的串联，使单元内各知识元素的逻辑关联更加紧密，这有利于学生的整体性理解，促进其高阶思维的产生.小数单元的知识体系与分数单元的知识体系从结构上有很多相似之处.分数的知识体系中，其形成、大小比较、性质、加减法的运算等方面都与小数十分类似，学生在迁移学习的过程中，更为重要的是感受到结构化的力量，让结构化思维影响并引领着学生未来发展的学习方式和方法.
结构的本质是对元素及元素间的关系进行整体关联，以度量为视角将三种不同的数的概念结构化，以“计数单位”为线索对单元知识点结构化，以半直观的数轴模型对数的特征结构化，实际上就是对三种不同的数的概念进行整体关联.这不仅有利于学生对知识从理解通往记忆，更重要的是让学生建立起结构化的概念体系.教师通过整体性的长程设计、模块式的意义建构、递进式的教学推进，帮助学生建立清晰的知识结构以及获得知识的思想方法.
【参考文献】
[1]刘加霞.通过“分”与“数（shǔ）”，分数是个“数（shù）”？：兼评华应龙老师执教的“分数的意义”[J].人民教育，2011（06）39-42.
[2]张奠宙，巩子坤，任敏龙，等.小学数学教材中的大道理：核心概念的理解与呈现[M].上海：上海教育出版社，2018.
[3]许卫兵.结构化让学习深度发生——结构化学习：回归“本原”的课堂实践[J].小学数学教师，2018（07）：64-70.
[4]吴正宪，张秋爽.整体把握教材 突出数概念本质：“小数意义和性质”单元教学思考[J].小学教学（数学版），2020（05）：25-27.
【关键词】整体性;结构;自然数;小数;分数
深度学习着眼于学生对所学内容的整体性理解，促进学生的知识建构和方法迁移，发展学生的高阶思维.也就是说，我们需要准确把握数学本身的逻辑结构，将散点状、碎片化的知识进行结构化重组，提炼知识之间相同的逻辑关联，让学生对知识有整体性的理解和结构化的把握.为此，我们尝试对小学阶段主要学习的三种数——自然数、小数、分数进行研究，发现这三种不同的数的概念在知识结构层面上有着相似的逻辑机理.通过寻找结构上相同的因子，借助以度量的视角把握数的构造，借助数轴的直观把握数的特征，以“计数单位”为线索进行单元整体建构这三个途径，帮助学生形成研究数的概念的思想方法和思维方式，而且能自觉迁移到新情境中，从而提升学生的数学素养.
一、以度量的视角把握数的构造
数的发展与量的发展密不可分，可以说，数的功能主要体现在描述量的大小，而数的产生源于计数单位（标准）不断累加，所谓“数源于数”.以度量的视角看自然数、小数、分数，发现相同的构造——将计数单位不断累加得到全部的“数”.
在计量离散量的时候，从一开始的一个一个数，产生自然数（“一”是自然数最基本的计数单位），到后来按“群”计数（产生新的计数单位），建立自然数体系.不同计数单位与其个数地累加构成了全部的自然数.在计量连续量的时候，出现了比单位1更小的量，无法用自然数表示，就可以用小数或者分数表示.小数是十进分数的另一种表示形式，它与分数都沿袭自然数的传统，关键的两个要素是“计数单位”与“单位个数”.以0.1为计数单位，不断累加中产生全部的一位小数.为了精确度量，需要把0.1这个计数单位继续均分10份，产生新的计数单位0.01，把它不斷累加形成全部的两位小数.以此类推，为了更精确地度量，需要把上一个计数单位继续均分10份，产生新的计数单位，再不断累加……这样，整个小数体系就搭建起来.
同样，分数是先找出“分数单位”，再数出单位的个数的.正如华应龙老师所说“分数是先分后数的数”.例如，把单位“1”平均分成3份，产生分数单位三分之一，随着三分之一地累加产生所有分母为三的分数;如果把单位“1”平均分成4份，产生分数单位四分之一，随着四分之一地累加产生所有分母为四的分数……这样整个分数体系就建构起来.
在教学“分数的意义”时引入长条图，让学生清晰直观地体验分数单位不断累加的过程.
师：在测量线段的长度时，可以用一根木棍的长度为标准（以长条表示），把它看作“1”.此时，你能看出线段长多少吗？为什么呢？
生：2个1就是2.
师：几个1就是几，可以用自然数来表示.现在需要测量另一条线段，这条线段有多长？
生：不足“1”，不能用1去量了.
师：把“1”平均分，其中的一份就可以作为新的度量标准.1/2，1/3，1/4这三个标准中，你会选谁去量这条线段可以得到比较精确的结果？
生：我认为可以用1/4去量，估计这条线段含有3个四分之一.
师：当使用的标准无法精确测量时，需要把原来的标准继续平均分，产生新的测量标准.把“1”平均分成若干份，其中的一份就是分数单位，是组成分数的基本元素.（如图1）
师：把三分之一不断累加会得到几呢？把四分之一不断累加会得到几呢？比较观察，你有什么发现？
生：三分之几由三分之一累加而成，四分之几由四分之一累加而成.
师：分数由分数单位累加而成.另外，我们还可以对分数进行分类.（如图2）
自然数、小数、分数的构造基本相同，但计数单位的产生方式有所不同，自然数的计数单位是从“1”开始，满十后产生更大的单位，而小数与分数是把“1”进行平均分，产生更小的单位.将小数与分数的产生都置于精确度量的背景下，容易让学生产生“要将原单位不断细分得到新单位”的需要与体验，随着单位“1”被均分的份数增加，每一份表示的就越小，度量的精确度就越高.把自然数、小数、分数看成是“计数单位的累加”，让学生对相对陌生的小数与分数的认识从较为熟悉的自然数中延续开来，尤其能帮助学生承认分数是一个“数”，能表示一个结果，这有利于学生对数的构造有整体性的认识和结构化的把握，更有利于学生对知识的深度理解与融会贯通.
二、借助数轴的直观把握数的特征
数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线.数轴对于帮助学生直观地认识数来说，主要体现三大功能：（1）数轴上的每一个点都对应一个数;（2）以单位长度表示计数单位，有几个这样的计数单位，这个数就是几;（3）数轴越往右数越大，越往左数越小.通过数所在位置的对比可以比较数的大小.小学阶段，从刚开始的“数尺”到“数线”，再到“数轴”，随着学生认知能力的提升而不断升级，无论哪种形式都能直观地把数的基数和序数性质表现出来.因此，数轴（包括数轴的雏形）是直观认识自然数的得力工具.
学生在学习自然数时认识和使用数轴的经验可以迁移到小数和分数的学习过程中，可以帮助学生深入把握数的特征.例如，寻找已知小数的近似数范围，是四年级小数单元的知识难点.从确定的数到确定一个数的范围，是学生认知上的一次飞跃，可以借助数轴帮助学生理解四舍五入的道理，从而突破难点.
师：一个两位数的近似数是1.4，这个两位数可能是几？
生1：是1.41.
师：还有别的可能吗？ 生2：有可能是1.44.
师：这个两位数一定是一点四几吗？
生3：有可能是1.39.
师：那么近似数是1.4的两位数，最大会是几，最小会是几，你能找出来吗？
生讨论后汇报（过程略）.
师：我们可以借助数轴（如图3）来分析：
数轴在帮助学生把握分数特征时也发挥了重大的作用.数轴上同一个点可以用不同的分数表示.张奠宙教授认为，“分数相等性质”中蕴含的一个非常深刻的数学思想——“等价类”.分数等价类中的每个成员各有各的用处，都有其特定的价值.借助数轴，呈现一个分数的等价类，让学生对抽象的分数等价类建立起直观的表象，对最简分数进行本质提炼，为后面运算中的通分和约分做铺垫.
三、以“计数单位”为线索进行单元整体建构
以“计数单位”为线索，把数自身内部的知识点进行链接，将单元各元素进行整体关联，使知识体系能以更加紧密的结构呈现给学生，继而使之内化成为学生更为清晰和立体的认知系统.下面以小数的意义和性质（人教版四年级下册）单元重构为例，以小数的计数单位串联起本单元的主要内容（如图4）：
小數的意义和性质这个单元知识点多而散，如果以小数的“计数单位”为线索一以贯之，能将小数的意义、性质、比大小、改写、求近似数、小数点移动与小数大小变化的探讨都纳入一个知识网络当中.这种结构化的串联，使单元内各知识元素的逻辑关联更加紧密，这有利于学生的整体性理解，促进其高阶思维的产生.小数单元的知识体系与分数单元的知识体系从结构上有很多相似之处.分数的知识体系中，其形成、大小比较、性质、加减法的运算等方面都与小数十分类似，学生在迁移学习的过程中，更为重要的是感受到结构化的力量，让结构化思维影响并引领着学生未来发展的学习方式和方法.
结构的本质是对元素及元素间的关系进行整体关联，以度量为视角将三种不同的数的概念结构化，以“计数单位”为线索对单元知识点结构化，以半直观的数轴模型对数的特征结构化，实际上就是对三种不同的数的概念进行整体关联.这不仅有利于学生对知识从理解通往记忆，更重要的是让学生建立起结构化的概念体系.教师通过整体性的长程设计、模块式的意义建构、递进式的教学推进，帮助学生建立清晰的知识结构以及获得知识的思想方法.
【参考文献】
[1]刘加霞.通过“分”与“数（shǔ）”，分数是个“数（shù）”？：兼评华应龙老师执教的“分数的意义”[J].人民教育，2011（06）39-42.
[2]张奠宙，巩子坤，任敏龙，等.小学数学教材中的大道理：核心概念的理解与呈现[M].上海：上海教育出版社，2018.
[3]许卫兵.结构化让学习深度发生——结构化学习：回归“本原”的课堂实践[J].小学数学教师，2018（07）：64-70.
[4]吴正宪，张秋爽.整体把握教材 突出数概念本质：“小数意义和性质”单元教学思考[J].小学教学（数学版），2020（05）：25-27.