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【摘 要】排列组合是高中数学的重点和难点，为后面的概率统计打基础。这类试题虽然在高考中所占比重不大，但试题都具有一定的灵活性和综合性，本文就排列组合问题的常见题型的求解方法进行探讨。
【关键词】高考 排列组合 解题技巧
排列组合、概率、统计既是高中数学的重要内容，又是衔接初等数学与高等数学的纽带，它具有内涵丰富、涉及面宽、技巧性强、运算量大、应用广泛等特点，因而成为历年高考命题的重点和热点，在选择题或填空题等客观题中必考。明确高考中排列组合与概率统计问题的命题特点，掌握其解题策略，对于在高考数学中取得优异成绩显得尤为重要。排列组合问题，虽然在高考中所占比重不大，但试题都具有一定的灵活性和综合性，由于有些问题比较抽象，且题型繁多，解法独特，再加上限制条件，容易产生错误。本文就排列组合问题的常见题型的求解方法进行探讨。
一、间接法
即部分符合条件排除法，采用正难则反，等价转换的策略。为求完成某件事的方法种数，如果我们分步考虑时，会出现某一步的方法种数不确定或计数有重复，就要考虑用分类法，分类法是解决复杂问题的有效手段，而当正面分类情况种数较多时，则就考虑用间接法计数。
例1：从6名男生，5名女生中任选4人参加竞赛，要求男女至少各1名，有多少种不同的选法？
A.240 B.310 C.720 D.1080 正确答案：B
解析：此题从正面考虑的话情况比较多，如果采用间接法，男女至少各一人的反面就是分别只选男生或者女生，这样就可以变化成C（11，4）-C（6，4）-C（5，4）=310。
二、特殊优先法
特殊元素，优先处理；特殊位置，优先考虑。对于有附加条件的排列组合问题，一般采用：先考虑满足特殊的元素和位置，再考虑其他元素和位置。
例2：从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有（ ）
A. 280种 B. 96种 C. 180种 D. 240种 正确答案：D
解析：由于甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，所以翻译工作就是“特殊”位置，因此翻译工作从剩下的四名志愿者中任选一人有C（4，1）=4种不同的选法，再从其余的5人中任选3人从事导游、导购、保洁三项不同的工作有A（5，3）=10种不同的选法，所以不同的选派方案共有 C（4，1）×A（5，3）=240种，所以选D。
三、捆绑法
所谓捆绑法，指在解决对于某几个元素要求相邻的问题时，先整体考虑，将相邻元素视作一个整体参与排序，然后再单独考虑这个整体内部各元素间的顺序。注意：其首要特点是相邻，其次捆绑法一般都应用在不同物体的排序问题中。
例3：5个男生和3个女生排成一排，3个女生必须排在一起，有多少种不同排法？
A.240 B.320 C.450 D.480 正确答案：B
解析：采用捆绑法，把3个女生视为一个元素，与5个男生进行排列，共有 A（6，6）=6×5×4×3×2种，然后3个女生内部再进行排列，有A（3，3）=6种，两次是分步完成的，应采用乘法，所以排法共有：A（6，6） ×A（3，3） =320（种）。
四、插空法
所谓插空法，指在解决对于某几个元素要求不相邻的问题时，先将其他元素排好，再将指定的不相邻的元素插入已排好元素的间隙或两端位置。注意：a.首要特点是不邻，其次是插空法，一般应用在排序问题中；b.将要求不相邻元素插入排好元素时，要注释是否能够插入两端位置；c.对于捆绑法和插空法的区别，可简单记为“相邻问题捆绑法，不邻问题插空法”。
例4：若有甲、乙、丙、丁、戊五个人排队，要求甲和乙两个人必须不站在一起，且甲和乙不能站在两端，则有多少种排队方法？
A.9 B. 15 C. 12 D.20 正确答案：C
解析：先排好丙、丁、戊三个人，然后将甲、乙插到丙、丁、戊所形成的两个空中，因为甲、乙不站两端，所以只有两个空可选，方法总数为A（3，3）×A（2，2）=12种。
五、插板法
所谓插板法，指在解决若干相同元素分组，要求每组至少一个元素时，采用将比所需分组数目少的板插入元素之间形成分组的解题策略。需要注意的是其首要特点是元素相同，其次是每组至少含有一个元素，一般用于组合问题中。
例5：将8个完全相同的球放到3个不同的盒子中，要求每个盒子至少放一个球，一共有多少种方法？
A. 28 B. 24 C.32 D.48 正确答案：A
解析：解决这道问题只需要将8个球分成三组，然后依次将每一组分别放到一个盒子中即可。因此问题只需要把8个球分成三组即可，于是可以将8个球排成一排，然后用两个板插到8个球所形成的空里，即可顺利的把8个球分成三组。其中第一个板前面的球放到第一个盒子中，第一个板和第二个板之间的球放到第二个盒子中，第二个板后面的球放到第三个盒子中去。因为每个盒子至少放一个球，因此两个板不能放在同一个空里且板不能放在两端，于是其放板的方法数是C（8，2）=28种。
总之，排列组合是高中学生感觉难学的内容之一，某些应用问题感到难以下手，而解决这些问题的关键在于我们教师选择适当的方法，探究求解这类问题的策略。以上方法是解决排列组合问题经常运用的方法。因此我们要引导学生总结一些解题的方法，使学生在解题时有法可循。只要在备考复习过程中掌握好技巧和方法，就能提高解题效率。
【关键词】高考 排列组合 解题技巧
排列组合、概率、统计既是高中数学的重要内容，又是衔接初等数学与高等数学的纽带，它具有内涵丰富、涉及面宽、技巧性强、运算量大、应用广泛等特点，因而成为历年高考命题的重点和热点，在选择题或填空题等客观题中必考。明确高考中排列组合与概率统计问题的命题特点，掌握其解题策略，对于在高考数学中取得优异成绩显得尤为重要。排列组合问题，虽然在高考中所占比重不大，但试题都具有一定的灵活性和综合性，由于有些问题比较抽象，且题型繁多，解法独特，再加上限制条件，容易产生错误。本文就排列组合问题的常见题型的求解方法进行探讨。
一、间接法
即部分符合条件排除法，采用正难则反，等价转换的策略。为求完成某件事的方法种数，如果我们分步考虑时，会出现某一步的方法种数不确定或计数有重复，就要考虑用分类法，分类法是解决复杂问题的有效手段，而当正面分类情况种数较多时，则就考虑用间接法计数。
例1：从6名男生，5名女生中任选4人参加竞赛，要求男女至少各1名，有多少种不同的选法？
A.240 B.310 C.720 D.1080 正确答案：B
解析：此题从正面考虑的话情况比较多，如果采用间接法，男女至少各一人的反面就是分别只选男生或者女生，这样就可以变化成C（11，4）-C（6，4）-C（5，4）=310。
二、特殊优先法
特殊元素，优先处理；特殊位置，优先考虑。对于有附加条件的排列组合问题，一般采用：先考虑满足特殊的元素和位置，再考虑其他元素和位置。
例2：从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有（ ）
A. 280种 B. 96种 C. 180种 D. 240种 正确答案：D
解析：由于甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，所以翻译工作就是“特殊”位置，因此翻译工作从剩下的四名志愿者中任选一人有C（4，1）=4种不同的选法，再从其余的5人中任选3人从事导游、导购、保洁三项不同的工作有A（5，3）=10种不同的选法，所以不同的选派方案共有 C（4，1）×A（5，3）=240种，所以选D。
三、捆绑法
所谓捆绑法，指在解决对于某几个元素要求相邻的问题时，先整体考虑，将相邻元素视作一个整体参与排序，然后再单独考虑这个整体内部各元素间的顺序。注意：其首要特点是相邻，其次捆绑法一般都应用在不同物体的排序问题中。
例3：5个男生和3个女生排成一排，3个女生必须排在一起，有多少种不同排法？
A.240 B.320 C.450 D.480 正确答案：B
解析：采用捆绑法，把3个女生视为一个元素，与5个男生进行排列，共有 A（6，6）=6×5×4×3×2种，然后3个女生内部再进行排列，有A（3，3）=6种，两次是分步完成的，应采用乘法，所以排法共有：A（6，6） ×A（3，3） =320（种）。
四、插空法
所谓插空法，指在解决对于某几个元素要求不相邻的问题时，先将其他元素排好，再将指定的不相邻的元素插入已排好元素的间隙或两端位置。注意：a.首要特点是不邻，其次是插空法，一般应用在排序问题中；b.将要求不相邻元素插入排好元素时，要注释是否能够插入两端位置；c.对于捆绑法和插空法的区别，可简单记为“相邻问题捆绑法，不邻问题插空法”。
例4：若有甲、乙、丙、丁、戊五个人排队，要求甲和乙两个人必须不站在一起，且甲和乙不能站在两端，则有多少种排队方法？
A.9 B. 15 C. 12 D.20 正确答案：C
解析：先排好丙、丁、戊三个人，然后将甲、乙插到丙、丁、戊所形成的两个空中，因为甲、乙不站两端，所以只有两个空可选，方法总数为A（3，3）×A（2，2）=12种。
五、插板法
所谓插板法，指在解决若干相同元素分组，要求每组至少一个元素时，采用将比所需分组数目少的板插入元素之间形成分组的解题策略。需要注意的是其首要特点是元素相同，其次是每组至少含有一个元素，一般用于组合问题中。
例5：将8个完全相同的球放到3个不同的盒子中，要求每个盒子至少放一个球，一共有多少种方法？
A. 28 B. 24 C.32 D.48 正确答案：A
解析：解决这道问题只需要将8个球分成三组，然后依次将每一组分别放到一个盒子中即可。因此问题只需要把8个球分成三组即可，于是可以将8个球排成一排，然后用两个板插到8个球所形成的空里，即可顺利的把8个球分成三组。其中第一个板前面的球放到第一个盒子中，第一个板和第二个板之间的球放到第二个盒子中，第二个板后面的球放到第三个盒子中去。因为每个盒子至少放一个球，因此两个板不能放在同一个空里且板不能放在两端，于是其放板的方法数是C（8，2）=28种。
总之，排列组合是高中学生感觉难学的内容之一，某些应用问题感到难以下手，而解决这些问题的关键在于我们教师选择适当的方法，探究求解这类问题的策略。以上方法是解决排列组合问题经常运用的方法。因此我们要引导学生总结一些解题的方法，使学生在解题时有法可循。只要在备考复习过程中掌握好技巧和方法，就能提高解题效率。