以传统文化浸润数学课堂

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  【摘 要】圆是小学数学“空间与图形”的最后一个平面图形,也是唯一的曲线图形。我国古代关于圆的阐述很多,文章以“圆出于方,方出于矩”“不以规矩,不能成方圆”“圆,一中同长也”三句古语为切入口,挖掘显性知识及隐性素材,引导学生通过数学的实例与思考和文化建立联系,并在文化中反思数学,在文化熏陶中学习数学,为传统文化浸润数学课堂教学提供了一个很好的思考路径。
  【关键词】传统文化;圆的认识;数学教学
  一、教材教法分析
  圆是小学数学“空间与图形”的最后一个平面图形,也是唯一的曲线图形。《义务教育教科书教师教学用书(数学六年级上册)》指出:“从研究直线图形到研究曲线图形,对学生而言是一种跨越。因为研究曲线图形的思想、方法与直线图形相比,是有变化和提升的。因此,通过对圆的研究,学生不仅需要掌握圆的一些基础知识,还需要通过学习,感受‘化曲为直’‘等积变形’‘极限’等数学思想方法,进一步发展数学思维能力和问题解决能力。”[1]
  有关圆的研究,自古以来就有记载。比如我国最古老的数学著作《周髀算经》曾记载,“圆出于方,方出于矩”;孟子在《离娄章句上》中也说,“不以规矩,不能成方圆”;墨子还为圆下了一个“定义”——圆,一中同长也。这三句古语深深地触动了笔者,并引发了些许思考。
  (1)这三句古语,是否浓缩了圆的特点?教师能否以此展开本课的教学探讨?
  (2)这三句古语与本课知识有什么内在联系?如何将这三句古语与本课知识进行有效组合、整合、融合、化合?
  (3)这三句古语之间的内在联系是什么,是否具有包含关系、递进关系?
  (4)这三句古语如何承載文化育人功能?教师如何教学才能让学生对圆的认识更深刻?
  (5)传统文化印记着中华民族的文化品质和文化精神,但大多数枯涩难懂,总让学生望而生畏。如何让学生对传统文化从“望之俨然”到“即之也温”最后到“听其言也厉”的转变?
  带着以上思考,秉承着将传统文化浸润到圆的教学中的原则,笔者制订了本课的教学目标。
  (1)在动手操作与阅读课本中认识圆,学会用圆规画圆,探究并掌握圆的特点。
  (2)挖掘传统文化的精华,探究圆的特征。
  (3)在深入思考中感受极限思想的非凡魅力,在充满乐趣的数学探究活动中感受数学的趣味性。
  本课教学的重难点是理解和掌握圆的特征;传统文化与圆的特征的有效融合。
  二、教学过程
  (一)圆出于方,方出于矩
  师:这里有一张正方形的纸片,如果只能用剪刀剪,你们能剪出一个标准的圆吗?
  生:不能,因为圆是曲线图形,不好剪。
  教师出示课件(如图1)。
  师:圆是一个曲线图形,是不好剪。不过老师有办法!我们知道圆是一个轴对称图形,那么在一般情况下,轴对称图形怎样剪更好?
  生:对折剪。
  师(把正方形的纸片对折三次后):直着剪一刀还是弯着剪一刀?
  大部分学生认为,弯着剪才能得到圆,但弯着剪打开后发现,得到的并不是一个圆(如图2)。
  师:怎么变成一朵花了?哪里出错了?弯着剪不能得到圆,难道要直着剪?
  生(疑惑):直着剪一刀怎么能剪出曲线图形呢?
  师:我们先试试吧,看看剪出来是什么样子的。
  学生直着剪一刀打开后发现,也不是一个圆(如图3)。
  教师把两个图形(图2和图3)放到一起,此时学生发现:虽然直着剪也不能得到一个圆,但比刚才弯着剪更接近一个圆。
  师:我们能不能将图3修剪一下,使它更像一个圆?
  生:把每个棱角都剪掉。
  教师用剪刀将正八边形剪成了正十六边形,果然更像一个圆了!
  师:再如此剪下去会怎么样?
  生:会越来越像一个圆。
  师:今天我们在课堂上无法这样继续剪下去了,但可以请电脑来帮忙。
  教师用几何画板动态演示(如图4)。
  师:如此切割下去,正方形纸片最终会变成什么?
  生(齐声):圆!
  师:由此老师想到了一句古语——圆出于方,方出于矩。
  【设计意图】爱玩是小学生的天性,特别是一些趣味性游戏,可以激发学生的学习积极性。课堂一开始就设置了一个有矛盾冲突的剪圆活动,使学生兴趣盎然,轻松快乐地进入最佳学习状态,体会“圆出于方,方出于矩”这一古语的含义。
  (二)不以规矩,不能成方圆
  1.画圆
  (1)圆规画圆
  学生尝试用圆规画圆。第一次画时,一些学生画不出标准的圆,但得出了圆规画圆的方法:定点,定长,旋转一周。按此方法,学生再次用圆规画圆。
  师:用圆规画圆怎么样?
  生(齐声):很方便、快捷。
  师:这又让老师想到了一句古语,“不以规矩,不成方圆”。你们知道这句古语的意思吗?
  (学生说出这句话的大概意思。)
  师:你们觉得这句古语有道理吗?
  生(齐声):有!
  (2)圆形物品画圆
  师:画圆一定要用圆规吗?
  通过教师的提问,学生马上想到用圆形笔帽、透明胶带等圆形物品描出圆。
  师:看来没有圆规也可以画圆,一切圆形物体描出的轮廓也是圆。
  (3)操场画圆
  师:老师还有个疑问,有了圆规,就一定能画出我们想要的圆吗?比如我们想要在操场上画一个大圆,怎么画?
  生1:需要一个大圆规。
  生2:要大圆规也没有用,谁能画得动啊!
  师:看来我们就算有大圆规也很难画出一个大圆。   生3:可以在操场上插一个木桩,把绳子拴在上面,一个人拉紧绳子的另一端,绕一圈就行了。
  教师出示图5,学生看后纷纷点头表示同意。
  (4)引申出“不以规矩,不能成方圆”的内在含义
  师:通过刚才的活动,我们知道了圆规可以画圆,但不用圆规我们也可以画圆。即使有了圆规也未必能画出我们想要的圆。那古语“不以规矩,不能成方圆”难道错了?
  生3:这里的“规矩”不一定单指圆规和画直角的工具,可能是指画圆一定需要借助工具,并需要有一定的方法。
  生4:“不以规矩,不能成方圆”现在引申为做人要遵循一定的章法,遵守一定的规则。
  师:真了不起,你们将数学学习和哲学连在一起了。
  2.自学圆各部分的名称
  (1)自学课本第58页的内容。
  自学提示
  1.什么是圆心、半径、直径?分别用字母怎么表示?
  2.在自己画出的圆中标出圆心、直径和半径。
  如图6,用圆规画圆时,针尖所在的点叫做圆心,一般用字母O表示。连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径,一般用字母r表示,半径的长度就是圆规两个脚之间的距离。通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径,一般用字母d表示。
  (2)判断图7中哪条线段是半径,哪条线段是直径,并说出原因。
  【设计意图】“不以规矩,不能成方圆”,简单的一句古语,蕴含着深刻的哲理。本环节教师通过对这句古语的追问,让学生更深刻理解了“规矩”不仅仅是工具,还有方法、规则等方面的道理。
  (三)圆,一中同长也
  1.自主操作
  学生沿圆的直径,折一折,画一画,量一量,看看有什么发现。
  学生得出结论:(1)圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小;(2)在同一圆中,半径和直径有无数条,且所有的半径都相等,所有的直径都相等,半径的长度是直径的一半。
  2.理解“圆,一中同长也”
  师:通过刚才的动手操作和交流,你们对圆的认识是不是更深入了?老师还记得在《墨子·经上》中曾记载“圆,一中同长也”。你们知道这句古语的意思吗?
  学生讨论得出结论:一中即一个圆心,同长即半径都相等。
  3.解释剪圆现象
  师:为什么正方形纸片对折三次后弯着剪不像圆而直着剪更像圆?
  生:可能是半径的问题吧?半径必须都相等才是一个圆。
  教师课件演示:从中心点向边线连线(如图8)。
  生:弯着剪,从中心点到边线的距离差距很大,而直着剪差距比较小,所以更像圆。
  师:弯着剪一定得不到圆吗?如果可以得到,那为什么刚才弯着剪得不到圆呢?
  生:弯着剪也能成一个圆,但刚才我们弯得太大了,如果弯小一点就更接近圆了。
  教师按弯小一点再剪一刀,正方形纸片打开后几乎是一个圆了。
  师:直着剪为什么更像圆?
  生:剪的边越多,中心点到边上距离相等的线就越多。
  生:边数越多,同长的线就越多,就更像一个圆。
  教师出示课件(如图9),得出结论:正四边形有4条同长的线,正八边形有8条,正十六边形有16条,随着边形的增加,同长的线也在增加,直到正无数边形有无数条同长的线,便形成了圆。
  师:现在你们明白“圆出于方”的意思了吗?
  生(齐声):明白了。
  师(出示课件,如图10):那生活中有没有这样做的?
  【设计意图】本环节通过对“圆,一中同长也”进行探讨,不仅让学生理解了圆的本质特征,还轻松解决了剪圆的问题。
  (四)沟通联系
  师:今天在学习圆的过程中,我们认识了三句有关圆的古语。如果今天老师只想在黑板上板书其中的一句,你们认为哪句古语最合适?
  学生(大多数):圆,一中同长也。
  师:为什么是这句呢?
  生1:因为这句话概括出了圆的特征。
  生2:“圆出于方”其实就是利用“圆一中同长”的特点,通过不断切割来保证“一中同长”。
  生3:“不以规矩,不能成方圆”也是为了保证“一中同长”。
  师:是的,墨子就用简单的一句话——圆,一中同长也,高度概括出圆的本质特征,这一发现比西方早一千多年。(学生由衷发出感叹声)
  【设计意图】通过对三句古语的对比解读,学生把各自孤立的三句古语建立了联系,同时也感受到了中国数学文化的悠久历史和魅力,激发了爱国主义情感。
  (五)生活中的圆
  (1)举例说明生活中的圆。
  (2)车轮为什么是圆的?车轮造成圆形就一定不颠簸吗?还要考虑什么问题?
  (3)为什么有圆桌会议?
  学生得出结论:圆代表着平等、尊重、团结。
  【设计意图】“车轮造成圆形就一定不颠簸吗?”这一问题把圆的学习引向深入,同时又以“为什么有圆桌会议?”把圆的认识升华到哲学的高度。
  三、教学反思
  (一)数学的趣味性
  数学是枯燥的,这是大多数学生对数学学习的感受。抽象的概念、复杂的运算和严谨的证明,使学生对数学学习望而却步。如何让学生对数学学习产生兴趣?方法有很多,而设置悬念,让学生对习以为常的事情充满疑问和好奇,是行之有效的方法之一。
  “把一张正方形的紙片对折三次,要想剪出一个圆,是直着剪一刀还是弯着剪一刀?”当学生面对这个问题时,会下意识地想到“弯着剪”,因为圆是一个曲线图形。可当“弯着剪”后,正方形纸片居然变成了一朵“小花”,而“直着剪”更像一个圆,由此生发的强烈疑问驱动学生积极探究“圆的世界”。当学生明白“圆出于方”和“圆,一中同长也”后,便会深深感叹知识之间的微妙联系。   (二)文化与数学
  学校作为弘扬传统文化的重要阵地,担负着创新发展、传播交流等重任,数学学科作为一门重要学科,自然也承担着这样的责任。但数学因具有理性思维的特性,很难直接表达文化与数学之间的关系。如何寻找传统文化与数学学科的结合点,培养学生的文化素養和创新思维值得教师深思。
  本课以三句描述圆的古语为切入点,逐步深入地让学生认识圆,为传统文化浸润数学课堂教学提供了一个很好的思考路径。传统文化源远流长,很多内容都隐含着数学知识,有待于教师开发。但如果教师刻意地在教学中加入所谓的“文化因子”,过度地宣扬传统文化的“骄傲之处”,反而会适得其反。在本课教学中,笔者试图挖掘显性知识及隐性素材,引导学生通过数学的实例与思考和文化建立起联系,并在文化中反思数学,在文化熏陶中学习数学。
  (三)极限思想
  极限思想是近代数学分析问题和解决问题的一种数学思想,在数学、物理学、经济学,乃至哲学等学科中都有广泛应用,可见极限思想在学习中的重要性。但小学生因对有限事物的理解较为清晰,而对无限事物的理解较为困难的身心发展规律,如学生对推导圆的周长和面积公式的思想很难理解。极限思想在教学中的渗透,不能急于求成,教师要善于将单一、封闭、静态的形式逻辑思维提高到多维、开放、动静相结合的辩证逻辑思维,善于挖掘,并抓住时机,适度渗透。因此,在“圆的认识”一课中,笔者试图让学生通过观察有限分割,想象无限分割的终极状态,自然地在“曲”与“直”的矛盾转化中萌发无限逼近的极限思想,为后续学习圆的周长和面积公式打下基础。
  (四)哲学思想
  没有数学,我们无法看穿哲学的深度;而没有哲学,人们也无法看穿数学的深度;而若没有两者,人们就什么也看不透[2]。可见,数学与哲学有着密切的联系。正如柏拉图所说,数学就是理性哲学的前提条件,在哲学家的思想深处,他们的理念往往是通过数学的圆满来实现的,比如在哲学思辨中大名鼎鼎的反证法,就是一个源自数学创造的关键工具[3]。
  在本课教学中,恰能很好地反映了数学中的哲学思想。首先,“不以规矩,不能成方圆”,体现了工具和章法的重要性;其次,“没有规矩就不能成方圆吗?”,体现了异曲同工的妙处;再次,“有了规矩就一定能成方圆吗?”,体现了通权达变的思想方法。这三个问题不仅有着知识层面的思考,更有着比数学知识体系更为丰富和深邃的哲学内涵。本节课的最后关于由圆到圆桌会议的探讨,也彰显了平等交流、深度汇谈的哲学意蕴。
  参考文献:
  [1]人民教育出版社课程教材研究所小学数学课程教材研究开发中心.义务教育教科书教师教学用书(数学六年级上册)[M].北京:人民教育出版社,2014.
  [2]汪树林.数学教育:在哲学思想牵引下自由呼吸[J].中小学教师培训,2014(5):38-41.
  [3]黄逸文.从志同道合到分道扬镳:数学与哲学之间的恩怨情仇[EB/OL].(2018-03-19).http://www.360doc.com/content/18/0319/10/4450299_738347355.shtml.
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