论文部分内容阅读
【摘要】 两圆外切是一个重点部分,通过变式探究,可得出很多不同的结论.
【关键词】 两圆外切;变式探究;基本结论;变式结论
初中数学“圆”的内容中,两圆外切是一个重点部分,课本中给出的例题只是一些简单的结论,但老师们在教学中发现,通过变式探究,可得出很多不同的结论.
如图1,☉O1与☉O2外切于点A, BC为两圆外公切线,B,C为切点,AD为内公切线,AD与BC相交于点D,则有结论BA⊥AC.
这只是一个基本结论,以图1为基本图,我发现此图形有许多的变式结论.
如图2,连接BO1,CO2,连接DO1,交☉O1于E点,连接DO2,交☉O2于F点.
则有DO1垂直平分BA, E为弧AB中点, DO1平分∠BDA, E为△DBA内心;
同理有DO2垂直平分AC, F为弧AC中点,DO2平分∠ADC,F为△DAC内心;
若记☉O1半径为R,☉O2半径为r, 则有DA2 = R·r,或者BC = 2DA = 2.
以图2为基本图,如图3:BC与O1O2的延长线相交于点P, 直线O1O2与☉O1交于点G,与☉O2交于点H, 连接BG, CH.
图3中,变式结论有:
(1)找相似直角三角形:Rt△BGA∽Rt△ABC∽Rt△CAH∽Rt△DO1O2∽Rt△BO1D∽Rt△AO1D∽Rt△CDO2∽Rt△ADO2等.
(2)找平行:BG∥DO1∥CA,BA∥DO2∥CH,BO1∥CO2等.
(3)找比例关系形成的等式:PA2 = PG·PH = PC·PB,
PO2·PG = PA·PO1或PA·PO2 = PO1·PH, = = = ,等等.
(4)找相等的角:∠ADO1 = ∠BDO1 = ∠ABO1 = ∠BAO1 =∠DAC = ∠DCA = ∠AO2D = ∠CO2D = ∠O2CH = ∠O2HC,∠ADO2 = ∠CDO2 = ∠PCH = ∠ACO2 = ∠CAO2 = ∠DAB = ∠DBA = ∠BO1D = ∠AO1D = ∠O1BG = ∠O1GB,等.
以图2为基本图,如图4:延长DO1交☉O1于M点,延长BO1 交☉O1于N点,过N点作☉O2的切线NK,切点为K.
由切割线定理可得DE·DM = DA2,由图(2)的结论可知 DE·(DE + 2R) = Rr ,那么在已知R与r的情况下,根据求根公式可求得DE长度. 同理可求DF.
另一变式结论:由切割线定理和射影定理可得NK2 = NA·NC = NB2 = (2R)2,推出NK = 2R. 同理可得另一相似结论.
以图2为基本图,如图5:
直线O1O2与☉O1交于E点,与☉O2交于F点,延长EB,FC交于点G,可证明G,D,A三点在同一条直线上,且可证明四边形ABGC为矩形,此图形常与二次函数相结合,考查学生的综合解题能力,襄樊市2004年数学中考压轴题即为此题型.
两圆外切的变式是很有趣味的,笔者在此抛砖引玉,敬请大家指正.
【关键词】 两圆外切;变式探究;基本结论;变式结论
初中数学“圆”的内容中,两圆外切是一个重点部分,课本中给出的例题只是一些简单的结论,但老师们在教学中发现,通过变式探究,可得出很多不同的结论.
如图1,☉O1与☉O2外切于点A, BC为两圆外公切线,B,C为切点,AD为内公切线,AD与BC相交于点D,则有结论BA⊥AC.
这只是一个基本结论,以图1为基本图,我发现此图形有许多的变式结论.
如图2,连接BO1,CO2,连接DO1,交☉O1于E点,连接DO2,交☉O2于F点.
则有DO1垂直平分BA, E为弧AB中点, DO1平分∠BDA, E为△DBA内心;
同理有DO2垂直平分AC, F为弧AC中点,DO2平分∠ADC,F为△DAC内心;
若记☉O1半径为R,☉O2半径为r, 则有DA2 = R·r,或者BC = 2DA = 2.
以图2为基本图,如图3:BC与O1O2的延长线相交于点P, 直线O1O2与☉O1交于点G,与☉O2交于点H, 连接BG, CH.
图3中,变式结论有:
(1)找相似直角三角形:Rt△BGA∽Rt△ABC∽Rt△CAH∽Rt△DO1O2∽Rt△BO1D∽Rt△AO1D∽Rt△CDO2∽Rt△ADO2等.
(2)找平行:BG∥DO1∥CA,BA∥DO2∥CH,BO1∥CO2等.
(3)找比例关系形成的等式:PA2 = PG·PH = PC·PB,
PO2·PG = PA·PO1或PA·PO2 = PO1·PH, = = = ,等等.
(4)找相等的角:∠ADO1 = ∠BDO1 = ∠ABO1 = ∠BAO1 =∠DAC = ∠DCA = ∠AO2D = ∠CO2D = ∠O2CH = ∠O2HC,∠ADO2 = ∠CDO2 = ∠PCH = ∠ACO2 = ∠CAO2 = ∠DAB = ∠DBA = ∠BO1D = ∠AO1D = ∠O1BG = ∠O1GB,等.
以图2为基本图,如图4:延长DO1交☉O1于M点,延长BO1 交☉O1于N点,过N点作☉O2的切线NK,切点为K.
由切割线定理可得DE·DM = DA2,由图(2)的结论可知 DE·(DE + 2R) = Rr ,那么在已知R与r的情况下,根据求根公式可求得DE长度. 同理可求DF.
另一变式结论:由切割线定理和射影定理可得NK2 = NA·NC = NB2 = (2R)2,推出NK = 2R. 同理可得另一相似结论.
以图2为基本图,如图5:
直线O1O2与☉O1交于E点,与☉O2交于F点,延长EB,FC交于点G,可证明G,D,A三点在同一条直线上,且可证明四边形ABGC为矩形,此图形常与二次函数相结合,考查学生的综合解题能力,襄樊市2004年数学中考压轴题即为此题型.
两圆外切的变式是很有趣味的,笔者在此抛砖引玉,敬请大家指正.