论文部分内容阅读
摘 要：高中《数学新课程标准》提出“高中数学课程应注重提高学生的数学思维能力，这是数学教育的基本目标之一.” 本文通过自己所创作的一道命题提出了一题多解的教学模式，通过一题多解的训练，开拓学生思维，激发学生发现问题，研究问题的积极性，培养其探求新知的创新精神，提高其分析问题和解决问题的能力.
关键词：原创；命题；一题多解；发散性思维
数学是一门概念性强、充满思辨性的思维科学. 量化突出，解法多样是数学学科的突出特点. 本文通过自己所创作的一题多解的命题，提高学生的数学读题能力，知识点的相互转化问题，培养学生思维的灵活性和发散性. 通过对此题的探索研究，使学生养成从多角度、多渠道思考问题，解决问题的好习惯，深入理解转化与化归等数学思想方法.
[?] 命题提出
命题为：已知实数x，y满足x2-y2=a2，则2x-y的最小值为___________.
本题是从学生所熟悉的动点到定直线距离的最值问题入手，改变条件和结论，逐层更改，逐层深入而创作得到的. 具体命题的思维过程为：
例 已知实数x，y满足x2 y2=1，则点p（x，y）到直线2x-y 4=0的距离的最小值为__________.
变式1：已知实数x，y满足x2 y2=1，则2x-y 4的最小值为__________.
变式2：已知实数x，y满足 y2=1，则2x-y 4的最小值为__________.
变式3：已知实数x，y满足x2-y2=1，则2x-y的最小值为___________.
变式4：已知实数x，y满足x2-y2=a2，则2x-y的最小值为___________.
[?] 命题目的
本题是笔者对自己在日常教学中常见的一些题型及知识点的归纳及总结而创作得到的，此命题有以下目的：
1. 学生可达到对此题所涉及的一些知识点的巩固与加深. 明确各知识点之间的区别与联系.
2. 学生能够认真分析题目的条件与结论，找出解决此类问题的一些方法.
3. 学会数学中常用的一些思维方法.
4. 使学生能够体会到此题所用到的数学思想方法.
5. 培养学生运算、作图、想象、联想、类比等能力.
6. 使学生能够消除思维定式，能够从多渠道、多角度去思考问题，提高学生们的发散性思维能力.
[?] 解法探讨
本人对此命题通过认真分析，做了深入的研究与探索，得到以下解答方法，愿和各位同行们一起分享和探讨，也希望各位同行们能提出宝贵意见，给出更好的解答方法.
此题条件为已知实数x，y满足x2-y2=a2，结论为2x-y的最小值. 条件只有一个，但含有参数，应对参数进行分类讨论，所以条件可能是两条直线，也可能是焦点在x轴上的双曲线，也可以看成是一个二元一次方程等. 而结论是一个二元一次多项式绝对值的最值问题.
通过对条件和结论认真思考分析，可联想到的知识点有：
双曲线的标准方程及渐近线方程、双曲线的参数方程、点到直线的距离公式、求导法则、三角恒等式、基本不等式、直线方程、斜率公式、导数几何意义、三角函数值域、方程组的解、一元二次方程根的判别式、线性规划等知识点.具体解法如下：
（1）当a=0时，y=±x，则2x-y的最小值为0.
（2）当a≠0时，a2>0，则表示焦点在x轴上的双曲线.
解法1：用几何性质求解
构造双曲线x2-y2=a2上的点到直线2x-y=0的距离的最小值问题.具体做法为作该直线的平行线，当此平行线与该双曲线相切时，切点到直线的距离最小，直接将切点坐标代入2x-y中便可得到最小值.
点评：此方法求解较简单，但构造和求导对一般学生来说较复杂.
解法2：用换元法及基本不等式求解
由x2-y2=a2得（x y）（x-y）=a2，由它们的积是定值而想到均值不等式，从而换元构造基本不等式的条件便可求解. 具体令m=x y，n=x-y，则mn=a2>0，所以m，n是同号，由m=x y，n=x-y得x=，y=，
所以2x-y=
≥=a便可求解.
点评：此方法较难想到，一旦想到用平方差公式将左式化成两个数的积是定值，有了此思路，计算过程就较简单.
解法3：用基本不等式法求解
解法4：用三角代换法求解
分析：由x2-y2=a2可想到三角代换法，因为1 tan2α=sec2α，所以可令x=asecα，y=atanα，α∈[0，2π），则2x-y=a·2secα-tanα=a
，然后转换成求一个动点和一个定点所成直线的斜率绝对值的最小值问题，由数形结合法得到一个直角三角形求出倾斜角的取值范围，从而可得解.
点评：此法对程度好一点的学生来说很容易想到，但对一般的学生来说还是有点难度，因为此方法用到的知识点在选修课本双曲线的参数方程中提到过.
解法5：用三角代换法求解
分析：如图2，基本思路同解法4，但不同之处在于求定点P（0，2）和动点（-cosα，sinα）所成直线斜率的范围时，先把过点P（0，2）的圆x2 y2=1的切线设出来，再根据点到直线的距离等于圆的半径1，从而可得出切线的斜率，即可得到2x-y的最小值.
解法6：利用三角函数的有界性和相关公式求解
换元同解法4，但得到2x-y=a·2secα-tanα=a
后，可继续换元利用三角函数的有界性求出a·
的最小值.再令=t，则sinα tcosα=2，所以sin（α β）=2，（其中cosβ=，sinβ=）. 则sin（α β）=，由y=sinx的有界性可得≤1，所以≥2，即t≥，故得解. 点评：此法要进行两次换元，化到sinα tcosα=2这一步后再求t的取值范围，比较符合学生解三角函数问题的思维.
解法7：用方程的思想方法求解
分析：令2x-y=z后，将函数问题转化为方程有解问题，根据方程有解所满足的条件求解. 即当实数x，y满足x2-y2=a2，求z的最小值问题转化为关于x，y的方程组x2-y2=a2，
2x-y=z有解，
将y消去后化简得，3x2-4zx z2 a2=0，此方程有解，
则Δ=16z2-12（z2 a2）≥0，得z≥a.
点评：此方法充分体现了函数与方程的思想方法的妙处，思路清晰简洁，解题过程简单明了，便于学生理解和掌握.
解法8：利用线性规划求最优解的方法求解
分析：此题可从实际情境出发，抽象出二元一次方程组，运用线性规划知识求最优解来加以解决.
2x-y=2x-y（2x≥y），
y-2x（2x 将此题分解为如下两类：
①x2-y2=a2，
2x≥y，求z=2x-y的最小值；
②x2-y2=a2，
2x 点评：此方法虽然比较麻烦，但充分地体现了一种常用的数学方法，函数与方程，不等式组与线性规划求最优解的思想.
解法9：利用函数求导数得最值的方法求解
分析：虽然x2-y2=a2不能进行统一的研究，但可以对研究的对象进行分类讨论，即x=（y∈R）与x=-（y∈R），把2x-y转化成关于y的函数问题，借助导数研究函数最值，对两种情况进行分别研究，最后整合在一起得到整个问题的最终结果.
点评：此方法相对来说较麻烦，但它充分地体现了数学当中一种常用的方法，就是用函数求导的方法来求最值.
综上（1），（2）可知，2x-y的最小值为a.
[?] 方法总结：
此命题的九种解法中，方法各异，各有所长.有些解法基本思路一致，但是具体操作过程不同，用到的知识点也不同.以上解法用到的知识点有：双曲线的标准方程及渐近线方程、双曲线的参数方程、点到直线的距离公式、求导法则、三角恒等式、基本不等式、直线方程、斜率公式、导数几何意义、三角函数值域、方程组的解、一元二次方程根的判别式、线性规划等知识点. 小小的一道题目居然用到这么多的知识点，充分体现了数学学科思维的灵活性和多样性. 用到的数学思想方法有：转化与化归、数形结合、分类讨论、函数与方程，四种常用的数学思想方法通过一道小小的填空题充分地体现出来.当然并不是每一道题都需要用这么多的方法求解，但我们应在这众多的方法中挑选自己认为最简单的一两种方法来求解.
[?] 用后反思
1. 回顾整个命题过程及解法，此题所涉及的思想方法：
（1）函数思想：主要牵扯到的是①函数与方程，②函数与不等式，③函数与圆锥曲线 ，④函数与三角问题.
（2）数形结合思想：
①双曲线上一点到双曲线外一条定直线的距离的最值问题，需结合图形，作该直线的平行线且与双曲线相切；
②圆外一点与圆上一点所成直线的斜率变化问题.
（3）分类讨论思想：
①对参数a进行分类，②对2x-y进行分类.
（4）转化化归思想：
①转化成动点到定直线的距离的最值问题；
②转化成利用基本不等式求最值问题；（积为定值，和有最小值）
③转化成动点与定点所成直线的斜率的最值问题；
④转化成三角函数有界性问题；
⑤转化成方程有根所满足的条件问题；
⑥转化成线性规划求最优解问题；
⑦转化成用导数求最值问题.
2. 通过对此题的分析与解决，可以对此题进行更深入地改进：
改进1：已知实数x，y满足y2-x2=a2，则2x-y的最小值为___________.
改进2：已知实数x，y满足x2-y2=a，则2x-y的最小值为___________.
改进3：已知实数x，y满足 y2=a（0 改进4：已知实数x，y满足x2=2py，（p>0）则2x-y 4的最大值为________.
也可对题型进行改进，也可改为选择题、解答题，或化简题、证明题等.
3. 推广：
已知实数x，y满足圆锥曲线方程f（x，y）=0，则Ax By C（A·B≠0）的最值为___________.
4. 解法启示：
一题多解就是在条件和问题不变的情况下，让学生多角度、多侧面地进行分析思考，探求不同的解题途径. 一题多解的训练是培养学生发散思维的一个好方法. 它可以通过纵横发散使知识串联，达到举一反三、融会贯通的目的. 但在思维向多方向发散的过程中，仍然需要集中思维的配合，需要严谨的分析、合乎逻辑的推理，在发散的多种途径、多种方法中，也需要通过比较判断，获得一种最简结、最科学的方案与结果. 教师应通过创作一题多解的命题来训练学生的数学发散性思维能力，培养学生的数学读题能力，提高数学各知识点的转化能力. 所以教师教学不应简单地传授学生基本的知识点，而应着重对学生的思维能力进行训练与培养，把数学思想方法贯穿到整个教学过程中.
总之，新课改后，浙江高考数学原创题、创新题增多，对学生的数学能力的要求越来越高. 面对新课改的挑战，数学课堂教学应该尝试以学生为主体的开放式教学，让学生在心情放松、思维活跃、敢于说话、善于表达的氛围中，体验并提高自己的思维能力.
关键词：原创；命题；一题多解；发散性思维
数学是一门概念性强、充满思辨性的思维科学. 量化突出，解法多样是数学学科的突出特点. 本文通过自己所创作的一题多解的命题，提高学生的数学读题能力，知识点的相互转化问题，培养学生思维的灵活性和发散性. 通过对此题的探索研究，使学生养成从多角度、多渠道思考问题，解决问题的好习惯，深入理解转化与化归等数学思想方法.
[?] 命题提出
命题为：已知实数x，y满足x2-y2=a2，则2x-y的最小值为___________.
本题是从学生所熟悉的动点到定直线距离的最值问题入手，改变条件和结论，逐层更改，逐层深入而创作得到的. 具体命题的思维过程为：
例 已知实数x，y满足x2 y2=1，则点p（x，y）到直线2x-y 4=0的距离的最小值为__________.
变式1：已知实数x，y满足x2 y2=1，则2x-y 4的最小值为__________.
变式2：已知实数x，y满足 y2=1，则2x-y 4的最小值为__________.
变式3：已知实数x，y满足x2-y2=1，则2x-y的最小值为___________.
变式4：已知实数x，y满足x2-y2=a2，则2x-y的最小值为___________.
[?] 命题目的
本题是笔者对自己在日常教学中常见的一些题型及知识点的归纳及总结而创作得到的，此命题有以下目的：
1. 学生可达到对此题所涉及的一些知识点的巩固与加深. 明确各知识点之间的区别与联系.
2. 学生能够认真分析题目的条件与结论，找出解决此类问题的一些方法.
3. 学会数学中常用的一些思维方法.
4. 使学生能够体会到此题所用到的数学思想方法.
5. 培养学生运算、作图、想象、联想、类比等能力.
6. 使学生能够消除思维定式，能够从多渠道、多角度去思考问题，提高学生们的发散性思维能力.
[?] 解法探讨
本人对此命题通过认真分析，做了深入的研究与探索，得到以下解答方法，愿和各位同行们一起分享和探讨，也希望各位同行们能提出宝贵意见，给出更好的解答方法.
此题条件为已知实数x，y满足x2-y2=a2，结论为2x-y的最小值. 条件只有一个，但含有参数，应对参数进行分类讨论，所以条件可能是两条直线，也可能是焦点在x轴上的双曲线，也可以看成是一个二元一次方程等. 而结论是一个二元一次多项式绝对值的最值问题.
通过对条件和结论认真思考分析，可联想到的知识点有：
双曲线的标准方程及渐近线方程、双曲线的参数方程、点到直线的距离公式、求导法则、三角恒等式、基本不等式、直线方程、斜率公式、导数几何意义、三角函数值域、方程组的解、一元二次方程根的判别式、线性规划等知识点.具体解法如下：
（1）当a=0时，y=±x，则2x-y的最小值为0.
（2）当a≠0时，a2>0，则表示焦点在x轴上的双曲线.
解法1：用几何性质求解
构造双曲线x2-y2=a2上的点到直线2x-y=0的距离的最小值问题.具体做法为作该直线的平行线，当此平行线与该双曲线相切时，切点到直线的距离最小，直接将切点坐标代入2x-y中便可得到最小值.
点评：此方法求解较简单，但构造和求导对一般学生来说较复杂.
解法2：用换元法及基本不等式求解
由x2-y2=a2得（x y）（x-y）=a2，由它们的积是定值而想到均值不等式，从而换元构造基本不等式的条件便可求解. 具体令m=x y，n=x-y，则mn=a2>0，所以m，n是同号，由m=x y，n=x-y得x=，y=，
所以2x-y=
≥=a便可求解.
点评：此方法较难想到，一旦想到用平方差公式将左式化成两个数的积是定值，有了此思路，计算过程就较简单.
解法3：用基本不等式法求解
解法4：用三角代换法求解
分析：由x2-y2=a2可想到三角代换法，因为1 tan2α=sec2α，所以可令x=asecα，y=atanα，α∈[0，2π），则2x-y=a·2secα-tanα=a
，然后转换成求一个动点和一个定点所成直线的斜率绝对值的最小值问题，由数形结合法得到一个直角三角形求出倾斜角的取值范围，从而可得解.
点评：此法对程度好一点的学生来说很容易想到，但对一般的学生来说还是有点难度，因为此方法用到的知识点在选修课本双曲线的参数方程中提到过.
解法5：用三角代换法求解
分析：如图2，基本思路同解法4，但不同之处在于求定点P（0，2）和动点（-cosα，sinα）所成直线斜率的范围时，先把过点P（0，2）的圆x2 y2=1的切线设出来，再根据点到直线的距离等于圆的半径1，从而可得出切线的斜率，即可得到2x-y的最小值.
解法6：利用三角函数的有界性和相关公式求解
换元同解法4，但得到2x-y=a·2secα-tanα=a
后，可继续换元利用三角函数的有界性求出a·
的最小值.再令=t，则sinα tcosα=2，所以sin（α β）=2，（其中cosβ=，sinβ=）. 则sin（α β）=，由y=sinx的有界性可得≤1，所以≥2，即t≥，故得解. 点评：此法要进行两次换元，化到sinα tcosα=2这一步后再求t的取值范围，比较符合学生解三角函数问题的思维.
解法7：用方程的思想方法求解
分析：令2x-y=z后，将函数问题转化为方程有解问题，根据方程有解所满足的条件求解. 即当实数x，y满足x2-y2=a2，求z的最小值问题转化为关于x，y的方程组x2-y2=a2，
2x-y=z有解，
将y消去后化简得，3x2-4zx z2 a2=0，此方程有解，
则Δ=16z2-12（z2 a2）≥0，得z≥a.
点评：此方法充分体现了函数与方程的思想方法的妙处，思路清晰简洁，解题过程简单明了，便于学生理解和掌握.
解法8：利用线性规划求最优解的方法求解
分析：此题可从实际情境出发，抽象出二元一次方程组，运用线性规划知识求最优解来加以解决.
2x-y=2x-y（2x≥y），
y-2x（2x
①x2-y2=a2，
2x≥y，求z=2x-y的最小值；
②x2-y2=a2，
2x
解法9：利用函数求导数得最值的方法求解
分析：虽然x2-y2=a2不能进行统一的研究，但可以对研究的对象进行分类讨论，即x=（y∈R）与x=-（y∈R），把2x-y转化成关于y的函数问题，借助导数研究函数最值，对两种情况进行分别研究，最后整合在一起得到整个问题的最终结果.
点评：此方法相对来说较麻烦，但它充分地体现了数学当中一种常用的方法，就是用函数求导的方法来求最值.
综上（1），（2）可知，2x-y的最小值为a.
[?] 方法总结：
此命题的九种解法中，方法各异，各有所长.有些解法基本思路一致，但是具体操作过程不同，用到的知识点也不同.以上解法用到的知识点有：双曲线的标准方程及渐近线方程、双曲线的参数方程、点到直线的距离公式、求导法则、三角恒等式、基本不等式、直线方程、斜率公式、导数几何意义、三角函数值域、方程组的解、一元二次方程根的判别式、线性规划等知识点. 小小的一道题目居然用到这么多的知识点，充分体现了数学学科思维的灵活性和多样性. 用到的数学思想方法有：转化与化归、数形结合、分类讨论、函数与方程，四种常用的数学思想方法通过一道小小的填空题充分地体现出来.当然并不是每一道题都需要用这么多的方法求解，但我们应在这众多的方法中挑选自己认为最简单的一两种方法来求解.
[?] 用后反思
1. 回顾整个命题过程及解法，此题所涉及的思想方法：
（1）函数思想：主要牵扯到的是①函数与方程，②函数与不等式，③函数与圆锥曲线 ，④函数与三角问题.
（2）数形结合思想：
①双曲线上一点到双曲线外一条定直线的距离的最值问题，需结合图形，作该直线的平行线且与双曲线相切；
②圆外一点与圆上一点所成直线的斜率变化问题.
（3）分类讨论思想：
①对参数a进行分类，②对2x-y进行分类.
（4）转化化归思想：
①转化成动点到定直线的距离的最值问题；
②转化成利用基本不等式求最值问题；（积为定值，和有最小值）
③转化成动点与定点所成直线的斜率的最值问题；
④转化成三角函数有界性问题；
⑤转化成方程有根所满足的条件问题；
⑥转化成线性规划求最优解问题；
⑦转化成用导数求最值问题.
2. 通过对此题的分析与解决，可以对此题进行更深入地改进：
改进1：已知实数x，y满足y2-x2=a2，则2x-y的最小值为___________.
改进2：已知实数x，y满足x2-y2=a，则2x-y的最小值为___________.
改进3：已知实数x，y满足 y2=a（0
也可对题型进行改进，也可改为选择题、解答题，或化简题、证明题等.
3. 推广：
已知实数x，y满足圆锥曲线方程f（x，y）=0，则Ax By C（A·B≠0）的最值为___________.
4. 解法启示：
一题多解就是在条件和问题不变的情况下，让学生多角度、多侧面地进行分析思考，探求不同的解题途径. 一题多解的训练是培养学生发散思维的一个好方法. 它可以通过纵横发散使知识串联，达到举一反三、融会贯通的目的. 但在思维向多方向发散的过程中，仍然需要集中思维的配合，需要严谨的分析、合乎逻辑的推理，在发散的多种途径、多种方法中，也需要通过比较判断，获得一种最简结、最科学的方案与结果. 教师应通过创作一题多解的命题来训练学生的数学发散性思维能力，培养学生的数学读题能力，提高数学各知识点的转化能力. 所以教师教学不应简单地传授学生基本的知识点，而应着重对学生的思维能力进行训练与培养，把数学思想方法贯穿到整个教学过程中.
总之，新课改后，浙江高考数学原创题、创新题增多，对学生的数学能力的要求越来越高. 面对新课改的挑战，数学课堂教学应该尝试以学生为主体的开放式教学，让学生在心情放松、思维活跃、敢于说话、善于表达的氛围中，体验并提高自己的思维能力.