分类讨论是高中数学中一种重要的逻辑方法和数学思想。它是指，在解决某些数学问题时，有时会遇到多种情况，当对问题的对象无法进行统一分析时，需要将所分析的对象可能会出现的各种情况进行分类，然后逐一分析讨论，最后再对讨论得到的各类问题的结果进行归纳整理，得出整个问题的最终结果。
　　分类讨论题覆盖的知识面较多，具有较强的逻辑性、综合性、探索性，对于训练学生的思维概括性和条理性，培养学生的逻辑思维能力，提高学生分析和解决问题的能力，都有着十分重要的作用。
　　一、分类讨论的原则
　　在解答分类讨论间题时，我们应充分考虑两个条件，遵循四大基本原则。
　　两个条件为：（1）做到分类不重复，层次分明并根据问题的条件性质，尽量减少分类次数；（2）做到分类不遗漏，不进行越级讨论。
　　四大基本原则为：（1）相称性原则：分类应相称，即划分后各子项外延的总和应与母项的外延一致。（2）统一性原则：分类时应按照统一标准进行分类，即每一次分类都必须使用相同的分类依据。（3）互斥性原则：分类后的每个子项都是独立的，互不相容的。即分类后各个子项应做到相互排斥，不能既属于这个子项，又属于那个子项。（4）分层性原则：分类可分为一次分类和多次分类，一次分类是指被讨论对象只进行一次分类；多次分类是指先按某个性质对所讨论的对象进行一次分类，然后将分类后所得的子项看成母项，再进行一次分类，直到分到不能再分为止，多次分类通常用在比较复杂的分类对象上。
　　二、分类讨论在高中数学解题教学中的运用
　　第一，明确讨论对象，即具体讨论哪个参数；第二，按某个性质对所讨论的对象进行分类，分类时做到不重不漏，层次分明，统一标准；第三，逐一对各类问题进行讨论分析，得出结果；第四，归纳整理，对讨论得到的各类问题的结果进行归纳整理，得出整个问题的最终结果。
　　（1）在函数中的分类讨论。
　　例1设f（a）=a6-a3 a2-a 1。求证：对于任意实数a，都有f（a）>0。
　　分析：本题是多项式求和问题，且每一项都为同底，此时可将本题与指数函数f（x）=ax联系起来，并结合f（x）=　ax的单调性加以证明，而指数函数f（x）=ax的单调性与它的底数a密切相关，因此需要进行分类讨论。
　　解：①当a=0或a=1时，f（a）=a6-a3 a2-a 1=1＞0。
　　②当a＜0时，a的奇次幂为负数，偶次幂为正数，则
　　f（a）=a6 （-a）3 a2 （-a） 1≥1，即f（a）　＞0。
　　③当0＜a＜1时，指数函数f（x）=　ax为减函数，所以a3＜a2，则
　　f（a）=a6 （a2-a3） （1-a）＞0。
　　④当a＜1时，指数函数f（x）=ax为增函数，所以a6＞a3，a2＞a，则
　　f（a）=　（a6-a3） （a2-a） 1＞1。
　　所以综上所述，对于任意实数a，都有f（a）　＞0。
　　（2）在不等式中的分类讨论。
　　例2已知k∈N，求满足不等式丨a丨 丨b丨＜k的整数解组的（a，　b）的解集。
　　分析：此题直接给出解答是比较困难的，需要把k看做参数，整数解的组数直接与k有关，可设它为g（k），需要运用分类讨论从特殊情况入手，从中寻求出计算的规律，做出猜想，再设法证明其结论。
　　解：①当k=1时，有解（0，0），即g（1）=1。
　　②当k=2时，有解（0，0），（0，1），（0，-1），（1，0），（-1，0）。
　　即g（2）=1 4=5。
　　③当k=3时，有解（0，0），（±1，0），（0，±1），（0，±2），（±2，0），（±1，±1）。
　　即g（3）=1 4 4×2=13。
　　④当k=4时，有解（0，0），　（0，　±1），（0，±2），（0，±3），（±1，0），（±1，1），（±1，±2），（±2，0），（±2，1），（±3，0）。
　　即g（4）=1 4 4×2 4×3=25。
　　由此可猜想出：g（k）=1 4×1 4×2 4×3 4×4 … 4（k-1）。
　　从而推得递推公式g（k）=　g（k-1） 4（k-1）。
　　总之，分类讨论是高中数学中一种重要的解题策略。在教学中，教师应引导学生正确把握分类讨论的原则，做到不重复、不遗漏，逐类讨论、分级进行，并不断加强学生运用数学分类讨论思想的训练，锻炼学生逻辑思维的严谨性，提高学生分析问题和解决问题的能力。