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由于轴对称的原因,理想半球壳的弯曲共振模态会形成具有相同频率的双简并模态。当有质量密度瑕疵时,此双简并模态的频率会出现分歧,损坏量测精度。通过哈密顿原理、Niordson薄壳理论和球壳中心轴面不可伸长的瑞利(Rayleigh)位移近似解公式可以推导出理想与瑕疵两状态下半球壳的动力学方程,并以该两模态的振幅为变数。理想半球壳的简并模态的轴可以为任意方向,并且可以证明瑕疵半球壳的共振模态轴不为任意方向,而是通过单一瑕疵点。理论的正解可得到特征频率(即两分歧的共振模态频率)与特征向量(两共振模态的方向)的显式公