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一、知识点解读
1.函数的零点
（1）函数零点的定义：对于函数y=f（x），我们把使f（x）=O的实数r叫做函数y=f（x）的零点。（2）几个等价关系：方程f（x）=0有实数根<=>函数y=f（x）的图像与z轴有交点<=>函数y=f（x）有零点。（3）函数零点的判断（零点存在性定理）：如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f（a）·f（b）<0.那么函数y=f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）=O，这个c也就是方程f（x）=0的根。
2.二次方程的实根分布及条件
（l）方程f（x）=0的两根中一根比r大，另一根比r小<=>a·f（r）（检验）或（检验），检验另一根在（p，q）内。（5）方程f（x）=0两根中的一根小于p，另一根大于
3.二分法求方程的近似解
（l）二分法的定义：对于在区间[a，b]上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。（2）给定精确度ε，用二分法求函数零点近似值的步骤如下：①确定区间[a，b]，验证，给定精确度②求区间（a，b）的中点c。③计算，则c就是函数的零点；若，则令b=c（此时零点则令此时零点。④判断是否达到精确度e，即若，则得到零点近似值a（或b）；否则重复②③④。
4.常见的函数模型
（l）一次函数模型：为常数.k≠o）。（2）反比例函数模型：常数，k≠O）。（3）二次函数模型：为常数，a≠0）。（4）指数函数模型：为常数，（5）对数函教模型：为常数，。（6）幂函数模型：为常数，a≠0，n≠1）。（7）分段函数模型：这个模型实际是以上两种或多种模型的综合，因此应用上分广泛。（8）函数模型。
5.几类不同增长的函数模型及其增长差异
分别作出函数在第一象限的图像，如图1所示。
函数刚开始增长得最快，随后增长的速度越来越慢；
函数刚开始增长得较慢，随后增长的速度越来越快；
函数增长的速度也是越来越快，但越来越不如增长得快。
函数和的图像有两个交点（2，4）和（4，16）。
当x∈（2，4）时，，当x∈（0，2）U（4，+∞时，。所以当x>4时，
一般地，在区间（O，+∞）上，尽管函数和都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上。随着x的增大，的增长速度越来越快，会超过并远远大于（n>O）的增长速度，而的增长速度则会越来越慢，因此，总会存在一个x。，使得当x>x。时，就有。这一结论充分体现了指数函数的爆炸式增长。
二、高考题型分析
1.函数零点所在区间的判断
判断函数f（x）的零点所在的区间，依据零点存在性定理将区间端点的值代入验证，此法只适用于变号零点。值得说明的是零点存在性定理是充分条件，而并非是必要条件。不易判断时也可以画图观察。
例1 已知函数在下列区间中，包含f（x）零点的区间是（）。
A.（0，1）
B.（1，2）
C.（2，4）
D.（4，+∞）
解：由题意知函数f（x）在（O，+∞）上为减函数。
由零点存在性定理，可知函数f（x）在区间（2，4）上必存在零点。
应选C。
跟踪练习1：对于函数，若，则函数f（x）在区间（a，b）内（）。
A.一定有零点
B.一定没有零点
C.可能有两个零点
D.至多有一个零点
提示：判断二次函数的零点，也可结合其图像进行判断。
由二次函数的图像可知，若a，b在二次函数的两个零点外侧，则有，所以函数f（x）在区间（a，6）内可能有两个零点，应选C。
2.二分法的应用
二分法只适用于变号零点，二分法是求方程的根的近似值的一种方法。
记忆口诀：定区间，找中点，中值计算两边看，同号去，异号算，零点落在异号间。周而复始怎么办？精确度上来判断。
例2 设函数f（x）的零点为的零点为，若，则函数f（x）的解析式为（）。
解：先确定选项A、B、C、D中的零点为x1，再利用二分法可求得。
选项A中，x1=l；选项B中，x2=O；选项C中，选项D中，
因为g（1）=4+2-2>0，g（O）=1-2<0，，所以，应选D。
跟踪练习2：函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，得数据如表1所示，那么方程f（x）=O的一个最接近的近似根为（）。
A.1.2
B.l.3
C.1.4
D.1.5
提示：由表1找出最大的零点区间即可。
由零点存在性定理知，最接近的近似根为1.4。应选C。
3.方程实根分布问题
研究一元二次方程的区间根，一般情况下需要从以下三个方面考虑：（l）一元二次方程根的判别式；（2）对应二次函数区间端点函数值的正负；（3）对应二次函数图像的对称轴与区间端点的位置关系。
例3 若直角坐标平面内两点P，Q满足条件：①P，Q都在函数y=f（x）的图像上，②P，Q关于原点对称，则称（P，Q）是函数y=f（x）的一个“伙伴点组”（点组（P，Q）与（Q，P）看作同一个“伙伴点组”）。已知函数有两个“伙伴点组”，则实数k的取值范围是______。 解：对于新定义题，读懂题意是解题的关键。本题可通过条件最终转化为一元二次方程根的分布问题。
设（m，，z）为此函数当x≥0时图像上任一点。若点（m，n）是函数y=f（x）的一个“伙伴点组”中的一个点，则其关于原点的对称点（-m，-n）必在该函数图像上，得，消去n得若函数有两个“伙伴点组”，则该方程有两个不等的正实数根， 所以
解得，即
跟踪练习3：若关于x的方程的一个根在区间（0，1）上，另一个根在区间（1，2）上，则实数m的取值范围为
。
提示：设。由题意可得，解得-4 4.方程根的个数及函数零点个数的判断
函数零点的求法：①（代数法）求方程的实数根。②（图像法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图像联系起来，并利用函数的性质找H{零点。③零点存在性定理：如果函数在[a，b]上的图像是连续的曲线，且有，则函数y=f（x）在区间（a，b）内有零点。
说明：零点存在性定理的逆定理不成立。若函数y=f（x）在[a，b]上单调，则零点至多有一个。
例4 已知函数。若方程恰有4个互异的实数根，则实数“的取值范围为_______。
解：（数形结合法）在同一坐标系内分别作出与的图像，如图2所示。
当的图像相切时，可得整理得，则，解得a=l或
故当的图像有4个交点时，应满足或a>9。
跟踪练习 4：已知函数。下列关于函数g（x）的零点个数的判断，正确的是（）。
A.当a>0时，有4个零点；当a<0时，有2个零点；当a=0时，有无数个零点
B.当a>o时，有4个零点；当a<0时，有3个零点；当a=O时，有2个零点
C，当a>0时，有2个零点；当a≤O时，有1个零点
D.当a≠0时，有2个零点；当a=O时，有1个零点
应选A。
5.取整函数（或高斯函数）的零点
设x为实数，用[x]表示不超过x的最大整数，则函数f（x）=[x]叫做取整函数（或高斯函数）。取整函数是近几年高考命题的热点。
例5 用[x]表示不超过x的最大整数，如。已知函数，则函数的零点个数为（）。
A.4
B.3
C.2
解：函数的零点个数即为方程的根的个数，也就是函数）与的图像的交点个数。
在平面直角坐标系中分别作出函数和的图像，如图3所示。
由图像可知两个函数的交点个数为2。应选C。
跟踪练习5：若超过x的最大整数，则方程的实数解的个数是_______。
提示：原方程可化为
构造两个函数：
画出这两个函数的图像（图略）。
由图可知两函数的图像有2个交点，即原方程的实数解的个数为2。
6.指数函数、对数函数、幂函数模型的应用
在实际问题中，常见的指数函数模型为（其中N是基础数，p为增长率，x为时间），幂函数模型为（其中a为基础数，x为增长率，n为时间）。解题时，常用到对数运算，要注意与给定的值对应求解。
例6 里氏震级M的计算公式：，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A。是相应的标准地震的振幅。假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为_____级，9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的_______倍。
解：由。，知
所以此次地震的震级为6级。
设9级地震的最大振幅为A1，5级地震的最大振幅为A2，则
所以，可知9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的10000倍。
跟踪练习6：一个容器装有细沙acm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min后剩余的细沙量为，经过8 min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过_______min，容器中的沙子只有开始时的八分之一。
提示：当t=0时，y=a，当t=8时，
由容器中的沙子只有开始时的八分之一，可得
联立可得，则t=24。
因为24-8=16，所以再经过16 min，容器中的沙子只有开始时的八分之一。
7.函数模型的应用
求函数解析式时，要注意确定函数的定义域。对于类型的函数最值问题，要特别注意定义域问题，在利用均值不等式求解最值时，一定要检验等号成立的条件，否则要考虑使用函数的单调性。
例7 某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元。若每批生产x件，则平均仓储时间为x/8天，且每件产品每天的仓储费用为1元。为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品（）。
A.60件
B.80件
C.1OO件
D.120件
解：若每批生产x件产品，则每件产品的生产准备费用为，存储费用为。总的费用为。，当且仅当时取等号，即x=80。应选B。
跟踪练习7：已知某物体的温度θ（单位：℃）随时间￡（单位：min）的变化规律为
（1）如果m=2，求经过多长时间，物体的温度为5℃。
（2）若物体的温度总不低于2℃，求m的取值范围。
提示：（l）若
令，则，解得（舍去），此时t=1。
所以经过1 min，物体的温度为5℃。
（2）若物体的温度总不低于2℃，则θ≥2恒成立，可得恒成立，即恒成立。令，则。
由
因此，当物体的温度总不低于2℃时，m的取值范围是
1.函数的零点
（1）函数零点的定义：对于函数y=f（x），我们把使f（x）=O的实数r叫做函数y=f（x）的零点。（2）几个等价关系：方程f（x）=0有实数根<=>函数y=f（x）的图像与z轴有交点<=>函数y=f（x）有零点。（3）函数零点的判断（零点存在性定理）：如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f（a）·f（b）<0.那么函数y=f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）=O，这个c也就是方程f（x）=0的根。
2.二次方程的实根分布及条件
（l）方程f（x）=0的两根中一根比r大，另一根比r小<=>a·f（r）
3.二分法求方程的近似解
（l）二分法的定义：对于在区间[a，b]上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。（2）给定精确度ε，用二分法求函数零点近似值的步骤如下：①确定区间[a，b]，验证，给定精确度②求区间（a，b）的中点c。③计算，则c就是函数的零点；若，则令b=c（此时零点则令此时零点。④判断是否达到精确度e，即若，则得到零点近似值a（或b）；否则重复②③④。
4.常见的函数模型
（l）一次函数模型：为常数.k≠o）。（2）反比例函数模型：常数，k≠O）。（3）二次函数模型：为常数，a≠0）。（4）指数函数模型：为常数，（5）对数函教模型：为常数，。（6）幂函数模型：为常数，a≠0，n≠1）。（7）分段函数模型：这个模型实际是以上两种或多种模型的综合，因此应用上分广泛。（8）函数模型。
5.几类不同增长的函数模型及其增长差异
分别作出函数在第一象限的图像，如图1所示。
函数刚开始增长得最快，随后增长的速度越来越慢；
函数刚开始增长得较慢，随后增长的速度越来越快；
函数增长的速度也是越来越快，但越来越不如增长得快。
函数和的图像有两个交点（2，4）和（4，16）。
当x∈（2，4）时，，当x∈（0，2）U（4，+∞时，。所以当x>4时，
一般地，在区间（O，+∞）上，尽管函数和都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上。随着x的增大，的增长速度越来越快，会超过并远远大于（n>O）的增长速度，而的增长速度则会越来越慢，因此，总会存在一个x。，使得当x>x。时，就有。这一结论充分体现了指数函数的爆炸式增长。
二、高考题型分析
1.函数零点所在区间的判断
判断函数f（x）的零点所在的区间，依据零点存在性定理将区间端点的值代入验证，此法只适用于变号零点。值得说明的是零点存在性定理是充分条件，而并非是必要条件。不易判断时也可以画图观察。
例1 已知函数在下列区间中，包含f（x）零点的区间是（）。
A.（0，1）
B.（1，2）
C.（2，4）
D.（4，+∞）
解：由题意知函数f（x）在（O，+∞）上为减函数。
由零点存在性定理，可知函数f（x）在区间（2，4）上必存在零点。
应选C。
跟踪练习1：对于函数，若，则函数f（x）在区间（a，b）内（）。
A.一定有零点
B.一定没有零点
C.可能有两个零点
D.至多有一个零点
提示：判断二次函数的零点，也可结合其图像进行判断。
由二次函数的图像可知，若a，b在二次函数的两个零点外侧，则有，所以函数f（x）在区间（a，6）内可能有两个零点，应选C。
2.二分法的应用
二分法只适用于变号零点，二分法是求方程的根的近似值的一种方法。
记忆口诀：定区间，找中点，中值计算两边看，同号去，异号算，零点落在异号间。周而复始怎么办？精确度上来判断。
例2 设函数f（x）的零点为的零点为，若，则函数f（x）的解析式为（）。
解：先确定选项A、B、C、D中的零点为x1，再利用二分法可求得。
选项A中，x1=l；选项B中，x2=O；选项C中，选项D中，
因为g（1）=4+2-2>0，g（O）=1-2<0，，所以，应选D。
跟踪练习2：函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，得数据如表1所示，那么方程f（x）=O的一个最接近的近似根为（）。
A.1.2
B.l.3
C.1.4
D.1.5
提示：由表1找出最大的零点区间即可。
由零点存在性定理知，最接近的近似根为1.4。应选C。
3.方程实根分布问题
研究一元二次方程的区间根，一般情况下需要从以下三个方面考虑：（l）一元二次方程根的判别式；（2）对应二次函数区间端点函数值的正负；（3）对应二次函数图像的对称轴与区间端点的位置关系。
例3 若直角坐标平面内两点P，Q满足条件：①P，Q都在函数y=f（x）的图像上，②P，Q关于原点对称，则称（P，Q）是函数y=f（x）的一个“伙伴点组”（点组（P，Q）与（Q，P）看作同一个“伙伴点组”）。已知函数有两个“伙伴点组”，则实数k的取值范围是______。 解：对于新定义题，读懂题意是解题的关键。本题可通过条件最终转化为一元二次方程根的分布问题。
设（m，，z）为此函数当x≥0时图像上任一点。若点（m，n）是函数y=f（x）的一个“伙伴点组”中的一个点，则其关于原点的对称点（-m，-n）必在该函数图像上，得，消去n得若函数有两个“伙伴点组”，则该方程有两个不等的正实数根， 所以
解得，即
跟踪练习3：若关于x的方程的一个根在区间（0，1）上，另一个根在区间（1，2）上，则实数m的取值范围为
。
提示：设。由题意可得，解得-4
函数零点的求法：①（代数法）求方程的实数根。②（图像法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图像联系起来，并利用函数的性质找H{零点。③零点存在性定理：如果函数在[a，b]上的图像是连续的曲线，且有，则函数y=f（x）在区间（a，b）内有零点。
说明：零点存在性定理的逆定理不成立。若函数y=f（x）在[a，b]上单调，则零点至多有一个。
例4 已知函数。若方程恰有4个互异的实数根，则实数“的取值范围为_______。
解：（数形结合法）在同一坐标系内分别作出与的图像，如图2所示。
当的图像相切时，可得整理得，则，解得a=l或
故当的图像有4个交点时，应满足或a>9。
跟踪练习 4：已知函数。下列关于函数g（x）的零点个数的判断，正确的是（）。
A.当a>0时，有4个零点；当a<0时，有2个零点；当a=0时，有无数个零点
B.当a>o时，有4个零点；当a<0时，有3个零点；当a=O时，有2个零点
C，当a>0时，有2个零点；当a≤O时，有1个零点
D.当a≠0时，有2个零点；当a=O时，有1个零点
应选A。
5.取整函数（或高斯函数）的零点
设x为实数，用[x]表示不超过x的最大整数，则函数f（x）=[x]叫做取整函数（或高斯函数）。取整函数是近几年高考命题的热点。
例5 用[x]表示不超过x的最大整数，如。已知函数，则函数的零点个数为（）。
A.4
B.3
C.2
解：函数的零点个数即为方程的根的个数，也就是函数）与的图像的交点个数。
在平面直角坐标系中分别作出函数和的图像，如图3所示。
由图像可知两个函数的交点个数为2。应选C。
跟踪练习5：若超过x的最大整数，则方程的实数解的个数是_______。
提示：原方程可化为
构造两个函数：
画出这两个函数的图像（图略）。
由图可知两函数的图像有2个交点，即原方程的实数解的个数为2。
6.指数函数、对数函数、幂函数模型的应用
在实际问题中，常见的指数函数模型为（其中N是基础数，p为增长率，x为时间），幂函数模型为（其中a为基础数，x为增长率，n为时间）。解题时，常用到对数运算，要注意与给定的值对应求解。
例6 里氏震级M的计算公式：，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A。是相应的标准地震的振幅。假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为_____级，9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的_______倍。
解：由。，知
所以此次地震的震级为6级。
设9级地震的最大振幅为A1，5级地震的最大振幅为A2，则
所以，可知9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的10000倍。
跟踪练习6：一个容器装有细沙acm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min后剩余的细沙量为，经过8 min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过_______min，容器中的沙子只有开始时的八分之一。
提示：当t=0时，y=a，当t=8时，
由容器中的沙子只有开始时的八分之一，可得
联立可得，则t=24。
因为24-8=16，所以再经过16 min，容器中的沙子只有开始时的八分之一。
7.函数模型的应用
求函数解析式时，要注意确定函数的定义域。对于类型的函数最值问题，要特别注意定义域问题，在利用均值不等式求解最值时，一定要检验等号成立的条件，否则要考虑使用函数的单调性。
例7 某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元。若每批生产x件，则平均仓储时间为x/8天，且每件产品每天的仓储费用为1元。为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品（）。
A.60件
B.80件
C.1OO件
D.120件
解：若每批生产x件产品，则每件产品的生产准备费用为，存储费用为。总的费用为。，当且仅当时取等号，即x=80。应选B。
跟踪练习7：已知某物体的温度θ（单位：℃）随时间￡（单位：min）的变化规律为
（1）如果m=2，求经过多长时间，物体的温度为5℃。
（2）若物体的温度总不低于2℃，求m的取值范围。
提示：（l）若
令，则，解得（舍去），此时t=1。
所以经过1 min，物体的温度为5℃。
（2）若物体的温度总不低于2℃，则θ≥2恒成立，可得恒成立，即恒成立。令，则。
由
因此，当物体的温度总不低于2℃时，m的取值范围是