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摘 要 基于“问题驱动思维”的教学理念，科学合理地创设具有逻辑关联、螺旋上升的递进式问题链，有助于激发学生主动探究的热情，使学生在获得数学知识和数学解题方法的同时，逐步形成解决问题的能力。
关键词
递进式 问题链 复习课
“问题是数学的心脏”，没有问题就没有数学，数学教学应该是以不断地提出问题，并解决问题的方式来获取知识、发展思维。而“递进式问题链”，就是指教师在课堂教学中，按照由易到难、由特殊到一般、由局部到整体、由直观到抽象，科学合理地创设一系列问题，形成一个螺旋上升的“问题链”，促使学生在设问和体验的过程中，形成自主学習的动机和欲望，在分析和解决问题的过程中，获得知识和方法，逐步形成解决问题的能力，从而达成教学目标。
一、教学过程
1.问题引领，回顾旋转。
人们常说“一年之计在于春”，同理，“一课之计在于始”，良好的开端是成功的一半。课堂导入的方式很多，最重要的宗旨就是引起学生的注意力和兴趣，而递进式问题链的运用就是以学生原有认知为基础，逐步展开、引申，循序渐进地设置问题，经历平滑过渡的阶段，从而激起学生探究的兴趣。
教学片断1
教师：同学们，现在有一张带网格的直角坐标系（如图1），你觉得最方便在图中找到什么？
学生：横纵坐标为整数的点。
教师：好！那就请同学们找出点A（-2，-4）。（学生找出点A后，期待地看着老师。）
教师：我想将点A旋转一下，还需要知道什么？
学生1：还要知道旋转中心、旋转方向、旋转角度。
教师：很好！说明旋转有三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角度。（教师板书。）
教师：将点A绕原点O逆时针旋转90°得到点A'。（学生画图。）
教师：你知道点A经过的路径长吗？
学生2：根据点A旋转前后到点O的距离不变，所以点A所经过的路径是以点O为圆心，OA长（即2[5]）为半径，90°为圆心角的一条弧，算出来是[5]π。
（教师板书“旋转性质1：对应点到旋转中心的距离相等”。）
教师：继续画出点B（1，-1）绕原点O逆时针旋转90°的对应点B'，再想想点B经过的路径长是多少。（学生画图。）
教师：你能画出线段AB所扫过的图形，并算出面积吗？
学生3：扫过的图形是一个不规则图形，但可以转化成规则图形计算面积。用扇形OAA'与△OA'B'之和减去扇形OBB'与△OAB之和，根据旋转角相等，可以证明△OA'B'与△OAB全等，因此面积相等，相互抵消，只要算出两个扇形面积之差即可。
（教师板书：“旋转性质2：对应点与旋转中心所连线段的夹角相等，即旋转角”。）
教师：很好！如果A、B两点都是绕点O旋转360°，点A的路径又是什么？线段AB扫过的图形又是什么呢？
学生4：点A的路径是半径为OA的⊙O，线段AB扫过的图形是半径为OA与半径为OB的两个⊙O间的圆环。
教师：我们继续画出点C（0，-4）绕原点O逆时针旋转90°的对应点C'，连接AB、BC、CA得到△ABC，连接A'B'、B'C'、C'A'得到△A'B'C'。（学生画图。）请问，这两个三角形有何关系？又是通过怎样的变换得到的？
学生5：这两个三角形全等，而且△A'B'C'是由△ABC绕原点O逆时针旋转90°得到的。（教师板书：“旋转性质3：旋转前后的图形全等”。）
教师：你知道△ABC所扫过的面积吗？
学生6：△ABC所扫过的面积是刚才AB扫过的面积与△A'B'C'的面积之和。
教师：至此，在旋转过程中，我们不但知道点旋转所经过的路径，而且还知道线段旋转所扫过的面积，以及三角形旋转所扫过的面积。非常棒！
教师：在你手中的这幅图中，如果只有△ABC和△A'B' C'，你能找出旋转中心吗？
学生7：由旋转的性质1可知，只要画出线段A A'、B B' 、CC'中任意两条的垂直平分线，得到的交点即为旋转中心。
（教师板书“旋转中心在每对对应点所连线段的垂直平分线上”。）
中考一轮复习课，既要注重知识点的复习巩固，又要兼顾学生思维能力的培养。如何把这类复习课上得不枯燥无味，如何激起学生的兴趣，是我们一线教师一直在不断思考的问题。这节课的导入，运用了“递进式问题链”，通过由浅入深、由局部到整体的螺旋式提问，最终形成图1这样一个整体，既达到复习旋转三要素及三个性质的目的，又揭示了研究数学图形的通法：由点到线，再由线到面，同时在求不规则图形面积时，还渗透了转化的数学思想方法。整个引入复习过程，学生有着浓厚的兴趣以及强烈的求知欲，犹如嗷嗷待哺的婴儿期待看母亲的乳汁似的等待着教师新的问题。充满了期待的课堂，充满了活力的课堂，教学效果就不言而喻了。
2.拓展应用，深化理解。
教学片断2
教师：这里有一组“手拉手”的等边三角形（如图2、3、4），现考查一下大家的眼力，请在各图中的五个点间连接两条线，构造一对全等三角形。
学生8：连接AD、CE，得到△ABD和△CBE全等，判定理由是“边角边”。
教师：这对全等的三角形可以通过怎样的旋转得到呢？（再次巩固旋转的三要素，学生回答略。）
教师：若直线AD与CE的交点为F，你知道∠AFC的度数吗？（尽管图形位置有变，但处理问题的方法不变，在此渗透类比思想，学生回答略。）
教师：鉴于图形的特殊性，我们还可以进一步设置问题。如图5，在等边△ABC内有一点P，PA=5，PB=3，PC=4，则∠BPC是多少度？（学生轻松作答。） 教师：若我们推广开去，如图6、7，在正方形ABCD和正六边形ABCDEF内各有点P，你能求出∠BPC吗？（此处设置的问题链，既是对图5的拓展延伸，也是想让学生明白如何将零散的线段集中到同一个三角形中去解决问题，同时，也是想向学生说明，旋转不仅仅是一种图形变换，也可以作为一种解题方法。）
此处从两条线路设置递进式问题链展开课堂研讨，旨在进一步深化旋转三要素、旋转性质，以及旋转的应用，既开阔了学生的视野，让学生了解到旋转可以作为一种解题途径，通过旋转可以将零散的线段集中到某一个三角形中，从而使问题得以解决，又渗透了类比思想，达到让学生“会一题、通一类”的目的。
二、几点体会
1.递进式问题链的设计要“承上启下”。
设计递进式问题链，要根据学生已有的认知结构以及身心特点，循序渐进地设置问题，必须有承上启下之功效。无论是新课，还是复习课，都应该先对学生已有的知识基础和学习能力有个清晰的掌握，然后巧妙地设置问题，激发学生去主动参与、主动探究。同时，还应该使设置的递进式问题链有个适中的梯度，让学生跳一跳才能摘到果子，逐步把学生的最近发展区转变成现实发展区，最终使学生的数学知识和思维能力都得到有效发展。
2.复习课的导入形式要高效到位。
布鲁纳说过：“思维永远是从问题开始的。”如果教师依然采用程式化的复习方式，那么就很难调动学生的积极性，同时也很难唤醒学生沉睡的知识。基于此，本课例的设计是将知识点蕴藏于问题链之中，由点旋转，到线段旋转，再到三角形旋转，一步步唤醒学生对旋转概念、旋转性质的记忆，再进一步求由旋转引起的路径长、扫过的图形面积。整个引入是环环相扣地呈现的，学生始终带着期待，带着浓厚兴趣，于是课堂就有了活力，真正达到激活学生复习基础知识的效果。
3.中考一轮复习的设计要精准定位。
一轮复习应以基础知识为主线，反馈矫正为辅助，能力培养为目标。因此，我们要对目标达成度、知识容量和思维容量做一个梳理和编排，力求做到精细化复习，切实落实“低起点、小坡度、大容量、高效益”的复习指导思想，确保学生在夯实基础知识的同时，有足够的思维强度，最终达到提升数学能力的目标，同時还应兼顾数学方法、数学思想的渗透。
三、结束语
真正优秀的数学教师，在课堂教学中，不会局限于知识点的传授，也不会仅仅局限于某一问题的解决，而是更加重视数学思维的训练和提升。因此，无论是新授课，还是复习课，我们都应该做到对教学内容进行重组，根据学生身心特点，设置精炼、高效的问题，培养学生良好的思维品质。递进式问题链的设计，应从一个简单知识点或一个简单问题出发，通过引申、拓展，引导学生去联想、探索，探究出某类问题的内在联系，进而提升学生由此及彼的思维迁移能力，更为学生知识的获得和思维的发散提供广阔的发展空间。
（作者为江苏省无锡市前洲中学教师）
关键词
递进式 问题链 复习课
“问题是数学的心脏”，没有问题就没有数学，数学教学应该是以不断地提出问题，并解决问题的方式来获取知识、发展思维。而“递进式问题链”，就是指教师在课堂教学中，按照由易到难、由特殊到一般、由局部到整体、由直观到抽象，科学合理地创设一系列问题，形成一个螺旋上升的“问题链”，促使学生在设问和体验的过程中，形成自主学習的动机和欲望，在分析和解决问题的过程中，获得知识和方法，逐步形成解决问题的能力，从而达成教学目标。
一、教学过程
1.问题引领，回顾旋转。
人们常说“一年之计在于春”，同理，“一课之计在于始”，良好的开端是成功的一半。课堂导入的方式很多，最重要的宗旨就是引起学生的注意力和兴趣，而递进式问题链的运用就是以学生原有认知为基础，逐步展开、引申，循序渐进地设置问题，经历平滑过渡的阶段，从而激起学生探究的兴趣。
教学片断1
教师：同学们，现在有一张带网格的直角坐标系（如图1），你觉得最方便在图中找到什么？
学生：横纵坐标为整数的点。
教师：好！那就请同学们找出点A（-2，-4）。（学生找出点A后，期待地看着老师。）
教师：我想将点A旋转一下，还需要知道什么？
学生1：还要知道旋转中心、旋转方向、旋转角度。
教师：很好！说明旋转有三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角度。（教师板书。）
教师：将点A绕原点O逆时针旋转90°得到点A'。（学生画图。）
教师：你知道点A经过的路径长吗？
学生2：根据点A旋转前后到点O的距离不变，所以点A所经过的路径是以点O为圆心，OA长（即2[5]）为半径，90°为圆心角的一条弧，算出来是[5]π。
（教师板书“旋转性质1：对应点到旋转中心的距离相等”。）
教师：继续画出点B（1，-1）绕原点O逆时针旋转90°的对应点B'，再想想点B经过的路径长是多少。（学生画图。）
教师：你能画出线段AB所扫过的图形，并算出面积吗？
学生3：扫过的图形是一个不规则图形，但可以转化成规则图形计算面积。用扇形OAA'与△OA'B'之和减去扇形OBB'与△OAB之和，根据旋转角相等，可以证明△OA'B'与△OAB全等，因此面积相等，相互抵消，只要算出两个扇形面积之差即可。
（教师板书：“旋转性质2：对应点与旋转中心所连线段的夹角相等，即旋转角”。）
教师：很好！如果A、B两点都是绕点O旋转360°，点A的路径又是什么？线段AB扫过的图形又是什么呢？
学生4：点A的路径是半径为OA的⊙O，线段AB扫过的图形是半径为OA与半径为OB的两个⊙O间的圆环。
教师：我们继续画出点C（0，-4）绕原点O逆时针旋转90°的对应点C'，连接AB、BC、CA得到△ABC，连接A'B'、B'C'、C'A'得到△A'B'C'。（学生画图。）请问，这两个三角形有何关系？又是通过怎样的变换得到的？
学生5：这两个三角形全等，而且△A'B'C'是由△ABC绕原点O逆时针旋转90°得到的。（教师板书：“旋转性质3：旋转前后的图形全等”。）
教师：你知道△ABC所扫过的面积吗？
学生6：△ABC所扫过的面积是刚才AB扫过的面积与△A'B'C'的面积之和。
教师：至此，在旋转过程中，我们不但知道点旋转所经过的路径，而且还知道线段旋转所扫过的面积，以及三角形旋转所扫过的面积。非常棒！
教师：在你手中的这幅图中，如果只有△ABC和△A'B' C'，你能找出旋转中心吗？
学生7：由旋转的性质1可知，只要画出线段A A'、B B' 、CC'中任意两条的垂直平分线，得到的交点即为旋转中心。
（教师板书“旋转中心在每对对应点所连线段的垂直平分线上”。）
中考一轮复习课，既要注重知识点的复习巩固，又要兼顾学生思维能力的培养。如何把这类复习课上得不枯燥无味，如何激起学生的兴趣，是我们一线教师一直在不断思考的问题。这节课的导入，运用了“递进式问题链”，通过由浅入深、由局部到整体的螺旋式提问，最终形成图1这样一个整体，既达到复习旋转三要素及三个性质的目的，又揭示了研究数学图形的通法：由点到线，再由线到面，同时在求不规则图形面积时，还渗透了转化的数学思想方法。整个引入复习过程，学生有着浓厚的兴趣以及强烈的求知欲，犹如嗷嗷待哺的婴儿期待看母亲的乳汁似的等待着教师新的问题。充满了期待的课堂，充满了活力的课堂，教学效果就不言而喻了。
2.拓展应用，深化理解。
教学片断2
教师：这里有一组“手拉手”的等边三角形（如图2、3、4），现考查一下大家的眼力，请在各图中的五个点间连接两条线，构造一对全等三角形。
学生8：连接AD、CE，得到△ABD和△CBE全等，判定理由是“边角边”。
教师：这对全等的三角形可以通过怎样的旋转得到呢？（再次巩固旋转的三要素，学生回答略。）
教师：若直线AD与CE的交点为F，你知道∠AFC的度数吗？（尽管图形位置有变，但处理问题的方法不变，在此渗透类比思想，学生回答略。）
教师：鉴于图形的特殊性，我们还可以进一步设置问题。如图5，在等边△ABC内有一点P，PA=5，PB=3，PC=4，则∠BPC是多少度？（学生轻松作答。） 教师：若我们推广开去，如图6、7，在正方形ABCD和正六边形ABCDEF内各有点P，你能求出∠BPC吗？（此处设置的问题链，既是对图5的拓展延伸，也是想让学生明白如何将零散的线段集中到同一个三角形中去解决问题，同时，也是想向学生说明，旋转不仅仅是一种图形变换，也可以作为一种解题方法。）
此处从两条线路设置递进式问题链展开课堂研讨，旨在进一步深化旋转三要素、旋转性质，以及旋转的应用，既开阔了学生的视野，让学生了解到旋转可以作为一种解题途径，通过旋转可以将零散的线段集中到某一个三角形中，从而使问题得以解决，又渗透了类比思想，达到让学生“会一题、通一类”的目的。
二、几点体会
1.递进式问题链的设计要“承上启下”。
设计递进式问题链，要根据学生已有的认知结构以及身心特点，循序渐进地设置问题，必须有承上启下之功效。无论是新课，还是复习课，都应该先对学生已有的知识基础和学习能力有个清晰的掌握，然后巧妙地设置问题，激发学生去主动参与、主动探究。同时，还应该使设置的递进式问题链有个适中的梯度，让学生跳一跳才能摘到果子，逐步把学生的最近发展区转变成现实发展区，最终使学生的数学知识和思维能力都得到有效发展。
2.复习课的导入形式要高效到位。
布鲁纳说过：“思维永远是从问题开始的。”如果教师依然采用程式化的复习方式，那么就很难调动学生的积极性，同时也很难唤醒学生沉睡的知识。基于此，本课例的设计是将知识点蕴藏于问题链之中，由点旋转，到线段旋转，再到三角形旋转，一步步唤醒学生对旋转概念、旋转性质的记忆，再进一步求由旋转引起的路径长、扫过的图形面积。整个引入是环环相扣地呈现的，学生始终带着期待，带着浓厚兴趣，于是课堂就有了活力，真正达到激活学生复习基础知识的效果。
3.中考一轮复习的设计要精准定位。
一轮复习应以基础知识为主线，反馈矫正为辅助，能力培养为目标。因此，我们要对目标达成度、知识容量和思维容量做一个梳理和编排，力求做到精细化复习，切实落实“低起点、小坡度、大容量、高效益”的复习指导思想，确保学生在夯实基础知识的同时，有足够的思维强度，最终达到提升数学能力的目标，同時还应兼顾数学方法、数学思想的渗透。
三、结束语
真正优秀的数学教师，在课堂教学中，不会局限于知识点的传授，也不会仅仅局限于某一问题的解决，而是更加重视数学思维的训练和提升。因此，无论是新授课，还是复习课，我们都应该做到对教学内容进行重组，根据学生身心特点，设置精炼、高效的问题，培养学生良好的思维品质。递进式问题链的设计，应从一个简单知识点或一个简单问题出发，通过引申、拓展，引导学生去联想、探索，探究出某类问题的内在联系，进而提升学生由此及彼的思维迁移能力，更为学生知识的获得和思维的发散提供广阔的发展空间。
（作者为江苏省无锡市前洲中学教师）