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[摘 要] 高中数学教学中，数学思维历来受到一线教师的高度重视. 这种重视常常有两个层面：一是理论层面；二是实践层面. 理论层面的重视常常体现在数学思维是教研成果与教学研究的热词；实践层面的体现其实并不充分，因为应试形态下的高中数学课堂，学生少有主动思维的机会. 基于学生的认知需要，从提高学生核心素养的角度出发，将数学思维蕴含于数学知识的构建、数学探究及学习反思的过程中，是数学教师的价值选择.
[关键词] 高中数学；数学思维；理论；实践
数学思维是历来高中数学教学最为强调的话题之一，数学思维也是日常教学研究中最常提及的概念之一. 理想情况下，数学思维作为一个概念，其存在于数学教师的言语与研究成果当中，而数学思维作为课堂上的具体体现，则体现在学生构建数学知识的过程中，以及体现在学生利用数学知识解决数学问题或者是生活问题的过程中. 这是一个理论与实践相结合的过程，但在教学实践当中，关于数学思维的理论与实践的衔接并不十分理想，尤其一个明显的现象是，在各类研究成果中数学思维出现的频率极高，在教学研讨的交流中数学思维出现的频率很高，在教学设计的时候提及数学思维的频率也很高，但对于最为关键的场合即在教学实践中则相对少有数学思维的教学. 显然，这是一个理论与实践的脱节问题. 指出这一问题，并不是说要否定当前的数学教学，而是希望关于数学思维的理论与实践能够有一个很好的结合，以让学生在数学学习的实践中，能够在数学思维的理论滋养下获得更好的发展，进而提升学生的数学核心素养.
笔者在教学实践当中进行着这样的努力，结果发现理论与实践的结合并不完全是关于数学思维的教学理论与课堂教学的结合，更多的时候，数学思维实际上是隐藏在知识构建、数学探究与问题解决等过程中的，因此，数学更类似于默会知识. 具体阐述如下：
■数学思维在知识构建中体现
数学学习的基本任务就是数学知识的构建，应试环境之下，数学知识的学习常常是讲授式的，学生基本上处于被动接受的状态，即使在课程改革走过了十数年之后，高中数学课堂其实更多的还是这种常态. 这样的教学方式基本上对学生的数学思维的培养没有太大的作用，因为被动状态下的知识学习基本上没有主动建构的可能，因此数学思维也就没有了生长的土壤. 反之，如果给了学生以主动建构知识的空间，那学生的数学思维就有可能高效形成.
如在“点到直线的距离”这一知识的教学中，具体的可以让学生经历这样的一些知识构建过程：第一步，引导学生认识何为点到直线的距离. 这一设计与学生原有的距离知识相关，同时又是在点与线这一新的情境中提出的问题，因此可以促成学生新旧知识发生相互作用，从而建立起点与直线距离的准确理解. 第二步，寻找求点到直线距离的方法. 通常情况下，学生的思路都是先作出过该点并垂直于直线的垂线，然后两直线方程相交求出交点坐标，最后通过两点的坐标求出点到直线的距离. 应当说在这个过程中，如果将问题解决的过程交由学生，那么学生的思维过程是很丰富的，因为从建立点到直线距离的认识，到寻找到求点到直线距离的方法，都需要学生在大脑中构建点到直线距离的表象，然后有效地調用已有的知识，将求点到直线的距离转换为利用两点坐标来求两点间的距离. 这种思维转换，是典型的数学思维的组成部分.
然后实际教学过程到此时并没有结束，因为在刚才所用的方法的反思中，学生会发现这一方法计算的繁杂性，从而猜想（必要的时候教师可以给予一点点拨）有没有一种更好的方法的存在，而这种思维本身就是数学思维的一种体现——寻找新的解决问题的策略. 于是进一步的，教师可以引导学生从更高的角度审视点与直线距离的关系，结果发现其实质在于确定点与垂足对应的横、纵坐标的差. 而认识到这一点之后，又会发现点到直线的距离可以有新的表达方式. 在这个过程中，思维转换与新的思路的出现，就是数学思维的充分体现.
■数学思维在数学探究中体现
数学探究是当前重点强调的一种教学方式，数学探究的过程如果在课堂上真实地发生了，那上一点所强调的学生的自主性就可以得到保证. 同时其还可以继续前进一步，让数学探究更好地为培养学生的数学思维做出贡献——应当说这一过程其实是自然而然的，因为只要有真正的数学探究发生了，那学生就必然处于数学思维的过程中，这正如一个在数学思维大海里扑腾的孩子，自然也就更容易学会游泳.
如在“三角诱导公式”的教学中，就可以给学生创造一个数学探究的机会. 笔者的设计是这样的：第一步，明确提出三角诱导公式的探究问题. 第二步，选择最简单的突破口——从锐角的三角函数开始，思考如何求其三角函数值. 学生的反应自然是如果是特殊角，那么直接可以回忆出结果；如果是一般角，那么可以通过查询三角函数表来获得其值. 于是提出新的问题：如何从锐角三角函数的求法出发，去求任意角的三角函数呢？第三步，开展数学探究. 在探究之初，学生会意识到角的周期性对求三角函数值带来的影响，于是就可以将对问题的探究缩小到0～2π的范围之内，同时可以将所有角的始边确定在坐标横轴的正半轴上，于是问题的解决实际上就已经建立了一个数学模型（这是典型的数学思维的产物）. 其后，如果一个角的终边存在于非第一象限之内，那是不是可以想方设法地将其转换为第一象限的角呢？这个问题实际上是本探究过程中的关键，而解决这个问题的关键是什么？是数学思维方法的使用. 是什么数学思维方法的使用？是数形结合的使用. 例如，在设定了第一象限的角为α之后，第二、三、四象限的角就可以分别用α与180°，360°来辅助表示了. 这种方法在此时一旦得到成功的运用，那本探究就解决了一大半问题（当然是指思维角度的问题，并不是指具体的数学结论的得出，这只是一个过程与结果的关系，且过程的有效性决定了结果的有效性）.
在这样的探究过程中，学生的数学思维可以说是体现得无处不在，只要稍有经验的数学教师都可以看出其中的数学思维的存在. 更重要的是，这一过程其实并没有跟学生强调太多的数学思维，但数学思维已经得到了学生的充分运用. 因此，可以说数学探究是培养学生数学思维的最佳途径之一. ■数学思维在学习反思中体现
数学思维的教学常常被认为是隐性的，这符合数学思维支撑数学知识与数学问题解决的规律. 但需要注意的是，当面对的教学对象是高中学生的时候，有时候数学思维也可以相对变得显性一些，也就是说，让学生明确从数学思维的角度去感知数学的魅力. 这对于高中学生来说其实也是很有价值的，因为高中阶段的学生所需要的其实并不完全是知识性的东西，笔者常常与学生进行数学学科特质方面的聊天，很多学生都表现出一种思想，那就是希望在数学课堂上不仅能够学到知识，还希望能够理解数学为什么能成为最有魅力的学科. 这其实就是对包括数学思维在内的一种教学意味的期待. 既然如此，数学教师就要在满足学生应试需要的同时，找机会更好地给学生以数学思维的启迪.
这看起来是一个矛盾的问题，但实际上在实践中可以很好地协调起来，一个重要的方式就是在数学知识学习之后，在数学探究之后，在数学问题解决之后，引导学生进行一些学习角度的反思，让学生思考自己在学习的过程中一开始是怎样想的，后来又是怎样想的，尤其是原来的思路发生错误之后，要通过对比发现原来的思路错在哪里，正确的思路又是从哪里得来的.
这其实是一个很好的数学思维培养的過程，即使笔者不举出具体的例子，相信绝大多数同行也能够知道描述的是怎么回事. 但在实际中为什么其就很难在课堂上出现呢？根据笔者的实践来判断，恐怕绝大多数同行所担心的是这个环节的效率问题，毕竟学习反思是需要花时间的，而在这个时间内往往又是可以做其他更多有意义的事情. 因此基于应试的需要，教师往往是“两害相权取其轻”. 其实，这个过程对于学生的数学学习来说，是“磨刀不误砍柴工”的，因为这个过程其实可以让学生对一个数学知识点或者一道数学题产生极为深刻的印象，因而可以起到事半功倍的效果. 另一方面其还可以满足学生对数学学习的深层次的心理需要，可以让学生产生对数学学习的亲近感，而这恰恰是题海战术所无法达到的效果（其实还有相反的效果）. 数学中常有对比的方法，数学教学中也应当用这种对比的方法，判断一下教学的效益.
总之，数学思维应当成为高中数学教学的重点，对其重视不能只是停留在理论的层面，不能只出现在教案或论文当中，要成为课堂上的真实体现. 只有从理论到实践中都存在着强烈的数学思维的思路，那高中数学教学才能真正满足学生的认知需要，才能提升学生的数学核心素养.
[关键词] 高中数学；数学思维；理论；实践
数学思维是历来高中数学教学最为强调的话题之一，数学思维也是日常教学研究中最常提及的概念之一. 理想情况下，数学思维作为一个概念，其存在于数学教师的言语与研究成果当中，而数学思维作为课堂上的具体体现，则体现在学生构建数学知识的过程中，以及体现在学生利用数学知识解决数学问题或者是生活问题的过程中. 这是一个理论与实践相结合的过程，但在教学实践当中，关于数学思维的理论与实践的衔接并不十分理想，尤其一个明显的现象是，在各类研究成果中数学思维出现的频率极高，在教学研讨的交流中数学思维出现的频率很高，在教学设计的时候提及数学思维的频率也很高，但对于最为关键的场合即在教学实践中则相对少有数学思维的教学. 显然，这是一个理论与实践的脱节问题. 指出这一问题，并不是说要否定当前的数学教学，而是希望关于数学思维的理论与实践能够有一个很好的结合，以让学生在数学学习的实践中，能够在数学思维的理论滋养下获得更好的发展，进而提升学生的数学核心素养.
笔者在教学实践当中进行着这样的努力，结果发现理论与实践的结合并不完全是关于数学思维的教学理论与课堂教学的结合，更多的时候，数学思维实际上是隐藏在知识构建、数学探究与问题解决等过程中的，因此，数学更类似于默会知识. 具体阐述如下：
■数学思维在知识构建中体现
数学学习的基本任务就是数学知识的构建，应试环境之下，数学知识的学习常常是讲授式的，学生基本上处于被动接受的状态，即使在课程改革走过了十数年之后，高中数学课堂其实更多的还是这种常态. 这样的教学方式基本上对学生的数学思维的培养没有太大的作用，因为被动状态下的知识学习基本上没有主动建构的可能，因此数学思维也就没有了生长的土壤. 反之，如果给了学生以主动建构知识的空间，那学生的数学思维就有可能高效形成.
如在“点到直线的距离”这一知识的教学中，具体的可以让学生经历这样的一些知识构建过程：第一步，引导学生认识何为点到直线的距离. 这一设计与学生原有的距离知识相关，同时又是在点与线这一新的情境中提出的问题，因此可以促成学生新旧知识发生相互作用，从而建立起点与直线距离的准确理解. 第二步，寻找求点到直线距离的方法. 通常情况下，学生的思路都是先作出过该点并垂直于直线的垂线，然后两直线方程相交求出交点坐标，最后通过两点的坐标求出点到直线的距离. 应当说在这个过程中，如果将问题解决的过程交由学生，那么学生的思维过程是很丰富的，因为从建立点到直线距离的认识，到寻找到求点到直线距离的方法，都需要学生在大脑中构建点到直线距离的表象，然后有效地調用已有的知识，将求点到直线的距离转换为利用两点坐标来求两点间的距离. 这种思维转换，是典型的数学思维的组成部分.
然后实际教学过程到此时并没有结束，因为在刚才所用的方法的反思中，学生会发现这一方法计算的繁杂性，从而猜想（必要的时候教师可以给予一点点拨）有没有一种更好的方法的存在，而这种思维本身就是数学思维的一种体现——寻找新的解决问题的策略. 于是进一步的，教师可以引导学生从更高的角度审视点与直线距离的关系，结果发现其实质在于确定点与垂足对应的横、纵坐标的差. 而认识到这一点之后，又会发现点到直线的距离可以有新的表达方式. 在这个过程中，思维转换与新的思路的出现，就是数学思维的充分体现.
■数学思维在数学探究中体现
数学探究是当前重点强调的一种教学方式，数学探究的过程如果在课堂上真实地发生了，那上一点所强调的学生的自主性就可以得到保证. 同时其还可以继续前进一步，让数学探究更好地为培养学生的数学思维做出贡献——应当说这一过程其实是自然而然的，因为只要有真正的数学探究发生了，那学生就必然处于数学思维的过程中，这正如一个在数学思维大海里扑腾的孩子，自然也就更容易学会游泳.
如在“三角诱导公式”的教学中，就可以给学生创造一个数学探究的机会. 笔者的设计是这样的：第一步，明确提出三角诱导公式的探究问题. 第二步，选择最简单的突破口——从锐角的三角函数开始，思考如何求其三角函数值. 学生的反应自然是如果是特殊角，那么直接可以回忆出结果；如果是一般角，那么可以通过查询三角函数表来获得其值. 于是提出新的问题：如何从锐角三角函数的求法出发，去求任意角的三角函数呢？第三步，开展数学探究. 在探究之初，学生会意识到角的周期性对求三角函数值带来的影响，于是就可以将对问题的探究缩小到0～2π的范围之内，同时可以将所有角的始边确定在坐标横轴的正半轴上，于是问题的解决实际上就已经建立了一个数学模型（这是典型的数学思维的产物）. 其后，如果一个角的终边存在于非第一象限之内，那是不是可以想方设法地将其转换为第一象限的角呢？这个问题实际上是本探究过程中的关键，而解决这个问题的关键是什么？是数学思维方法的使用. 是什么数学思维方法的使用？是数形结合的使用. 例如，在设定了第一象限的角为α之后，第二、三、四象限的角就可以分别用α与180°，360°来辅助表示了. 这种方法在此时一旦得到成功的运用，那本探究就解决了一大半问题（当然是指思维角度的问题，并不是指具体的数学结论的得出，这只是一个过程与结果的关系，且过程的有效性决定了结果的有效性）.
在这样的探究过程中，学生的数学思维可以说是体现得无处不在，只要稍有经验的数学教师都可以看出其中的数学思维的存在. 更重要的是，这一过程其实并没有跟学生强调太多的数学思维，但数学思维已经得到了学生的充分运用. 因此，可以说数学探究是培养学生数学思维的最佳途径之一. ■数学思维在学习反思中体现
数学思维的教学常常被认为是隐性的，这符合数学思维支撑数学知识与数学问题解决的规律. 但需要注意的是，当面对的教学对象是高中学生的时候，有时候数学思维也可以相对变得显性一些，也就是说，让学生明确从数学思维的角度去感知数学的魅力. 这对于高中学生来说其实也是很有价值的，因为高中阶段的学生所需要的其实并不完全是知识性的东西，笔者常常与学生进行数学学科特质方面的聊天，很多学生都表现出一种思想，那就是希望在数学课堂上不仅能够学到知识，还希望能够理解数学为什么能成为最有魅力的学科. 这其实就是对包括数学思维在内的一种教学意味的期待. 既然如此，数学教师就要在满足学生应试需要的同时，找机会更好地给学生以数学思维的启迪.
这看起来是一个矛盾的问题，但实际上在实践中可以很好地协调起来，一个重要的方式就是在数学知识学习之后，在数学探究之后，在数学问题解决之后，引导学生进行一些学习角度的反思，让学生思考自己在学习的过程中一开始是怎样想的，后来又是怎样想的，尤其是原来的思路发生错误之后，要通过对比发现原来的思路错在哪里，正确的思路又是从哪里得来的.
这其实是一个很好的数学思维培养的過程，即使笔者不举出具体的例子，相信绝大多数同行也能够知道描述的是怎么回事. 但在实际中为什么其就很难在课堂上出现呢？根据笔者的实践来判断，恐怕绝大多数同行所担心的是这个环节的效率问题，毕竟学习反思是需要花时间的，而在这个时间内往往又是可以做其他更多有意义的事情. 因此基于应试的需要，教师往往是“两害相权取其轻”. 其实，这个过程对于学生的数学学习来说，是“磨刀不误砍柴工”的，因为这个过程其实可以让学生对一个数学知识点或者一道数学题产生极为深刻的印象，因而可以起到事半功倍的效果. 另一方面其还可以满足学生对数学学习的深层次的心理需要，可以让学生产生对数学学习的亲近感，而这恰恰是题海战术所无法达到的效果（其实还有相反的效果）. 数学中常有对比的方法，数学教学中也应当用这种对比的方法，判断一下教学的效益.
总之，数学思维应当成为高中数学教学的重点，对其重视不能只是停留在理论的层面，不能只出现在教案或论文当中，要成为课堂上的真实体现. 只有从理论到实践中都存在着强烈的数学思维的思路，那高中数学教学才能真正满足学生的认知需要，才能提升学生的数学核心素养.