论单位圆体现的数学思想

来源 :新校园·中旬刊 | 被引量 : 0次 | 上传用户:sscy2002
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  一、概念建立:体现化一般为特殊的思想
  传统的三角函数定义方式是先求坐标(x,y),再求出点到原点的距离r,sinα=y/r,cosα=x/r,tanα=y/x。而用单位圆来引入定义则就简单了许多人为规定r=1,则三角函数的计算式子就立刻变为sinα=y,cosα=x,大大简化了计算。人们运用赋值法,化一般为特殊,从而也让三角函数的概念建立更为容易。
  二、判断三角函数值正负与理解三角函数的周期性与单调性:体现问题的转化,由难转易
  在单位圆中,正弦就是纵坐标,余弦就是横坐标。这样,许多学生容易混淆,难以记忆的函数值正负问题就转化为了坐标正负问题。而坐标的正负是学生从初中开始就非常熟悉的,从而大大降低记忆难度。
  而三角函数的周期性在圆中也更好理解,在单位圆中,由于圆完美的对称性,角的函数值只取决于角的终边落在何处,因此三角函数一定是存在周期的。而单调性则可以直观地通过横纵坐标的大小来理解。这样把不熟悉的问题转化为了熟悉的问题,不但降低了教学难度,最重要的是降低了学生的理解难度。
  三、同角三角函数基本关系以及解三角不等式:体现数形结合,将式子转化为图形
  在推导sin2α+cos2α=1时,将公式转为图形放入单位圆中,单位圆中有一个直角三角形,sinα=y,cosα=x,再根据勾股定理,r=1,则使公式推导变得容易。
  解三角不等式时,许多老师采取用三角函数图像的解法。殊不知三角函数图像也是借助单位圆画出的,何不追本溯源,用单位圆来解?例如解sinα>1/2,由于在单位圆中正弦是纵坐标,可在y=1/2处画横线,与单位圆有两个交点A、B,分别连接交点与原点,OA与OB之间的范围即为所求,直观而又不漏,准确率提高。
  四、帮助学生理解诱导公式:由特殊到一般,让诱导公式不再繁杂
  利用单位圆可以求出不少特殊角的三角函数,如60o、120o、240o、-60o,30o、150o、210o、-30o,45o、135o、215o、-45o,借助这些特殊角,可以让学生先寻找这些特殊角三角函数值之间的关系,进而进行猜想,进而推广到一般,从而让学生体验到了探索的快乐,也让学生更容易接受诱导公式。
  五、引入三角函数图像:利用平移解决图像问题
  函数图像一直是学生的一大难点,却也是高中函数教学的一大重点。而三角函数图像有了单位圆便可以容易做出,分割单位圆,以角度为横坐标,将单位圆中的点平移到坐标系中,連接起来就成为三角函数图像。在单位圆用平移,便利解决图像问题。
  小小的单位圆,竟贯穿了整个三角函数内容,从概念,到性质无一不包含单位圆的身影。小小单位圆,门道真不少。
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