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摘 要:“数学广角”是人教版教材中的一大亮点。从古至今,数学教学方法不计其数,每一种数学思想都闪烁着人类智慧的火花,那么在教学“数学广角”时每一位数学教师都应该思考哪些数学思想更适合我们的学生呢？怎样让每一位学生能真正体验和感悟数学思想方法？
关键词:数学思想 教学设计 感悟
中图分类号:G623 文献标识码:A 文章编号:1673-9795(2012)02(c)-0091-01
“鸡兔同笼问题”是人教版教材六年级上册中的一个教学内容。很多学生只知套用不知根本,还有部分学生能套用假设法列出算式,但是他根本不知道算出来的答案是鸡的只数还是兔的只数。也就是假设什么,最后算出来的可能还是这个,会出现张冠李戴的现象。学生很多时候是滥用套路,并没有真正理解和掌握假设法。有时候还会因情景变换不知所措,不能根据已学的知识产生类比联想。希冀能从人教版和北师大版教材这相同内容不同编排的教材中引发出更为有效的一些思考和探索。
1 人教版和北师大版教材的分析
在人教版教材中,由《孙子算经》中的“鸡兔同笼”问题引入。这一课时的教学目标是让学生通过不同方法研究解决鸡兔同笼问题,使学生理解并掌握鸡兔同笼问题的解题方法。解决“鸡兔同笼”问题时,它先后呈现了猜测列表法、假设法、列方程、抬腿法(另一种假设法),注重体现解决问题的不同思路和方法。其中假设和列方程解是解决该类问题的一般方法。“假设法”有利于培养学生的逻辑推理能力,列方程则有助于学生体会代数方法的一般性。因此在解决“鸡兔同笼”问题时,学生选用哪种方法均可,不强求用某一种方法。
在北师大版教材数学五年级上册的尝试与猜测中安排了《鸡兔同笼》这一教学内容,从读懂教材这一角度来看,在本课教材中呈现了三种解决问题的方法,都是通过假设举例与列表的方法,寻找解决问题的结果。其中,第一张表格是常规的逐一举例法,第二张运用了跳跃列表法,第三张运用了中列举法。但需要注意的是,教材选“鸡兔同笼”这个题材,主要并不是为了解决“鸡兔同笼”这个问题本身,而是要借助“鸡兔同笼”这个载体让学生经历列表,让学生在大胆的猜测、尝试和不断调整的过程中,体会出解决问题的一般策略—— 列表枚举,旨在通过对一些现象的观察与思考,使学生从中发现一些特殊的规律,获得解决问题的一般策略。
2 两种不同类型课的比较
教师在课堂上适时引导,学生从多角度思考问题,呈现出列表、假设、代数、画图等多种解题方法。通过学生的独立思考、自主探究、合作交流,將多种解题方法进行观察和对比,使学生充分体验到解题策略的多样性。在体验解决问题多样化的过程中,突出了学生的主体地位,同时尊重了学生的个体差异,允许不同的学生在解题方法上有不同的想法。还注重了画图法、列表法、假设法、代数法等多种方法的比较。这节课老师在学生找到不同策略后,又让学生说一说“你喜欢哪一种方法,为什么？”让学生充分感受到画图法、列表法为特殊方法,都有各自的局限性,如果题中鸡兔的数目太大,则不宜采用。而假设法和代数法是解决鸡兔同笼问题的常用的、也是最基本的方法,这样处理很好的完成了老师制定的一个重要的目标:尝试用不同的方法解决“鸡兔同笼”问题,使学生体会假设和代数方法的一般性。但是为什么在课后的练习中学生会出现张冠李戴、不知所措呢？反观案例中的教学过程,教师注重用假设法解决问题,上课时也可能一一列举了例子,但学生会认为众多方法中掌握一种就可以套用路子,就可以解决问题了。这样学生都是套着路子用假设法解题,真正理解的很少。
其实应该区分数学思想和数学方法的不同,甚至对方法也应分出层次:如果把整个方法体系看作一棵大树的话,那么有一些方法是根,另一些方法便是枝叶。而我们更应该关注能广泛迁移的、具有生长性的方法的根。由此透析上述案例,教师所谓的假设法只是具体地解决了“如何假设”的问题,而对于“为什么要假设”、“假设的价值何在,意义何在”,教师未能作有效提点。那么学生对假设的真正目的并不清楚,后面的练习也只是“依葫芦画瓢”;一旦碰到全新的问题时,便会束手无策。
3 各取所长,有机整合
鉴于以上两个案例的对比分析,那么教学目标究竟定位在哪里呢？人教版追求解决问题策略的多样化;而北师大版选择了列表的策略,让学生在大胆的猜测、尝试和不断调整的过程中,体会出解决问题的一般策略—— 列表枚举。不同的思维过程体现了不同的思路,那么怎样才能把两个案例完美结合,各取长处,而不仅仅是单一的、片面的解决问题呢？针对“鸡兔同笼问题”如下剖析。
在教学中,不仅要让学生会计算,更要让学生学会思考。(1)把假设的思想方法作为解决“鸡兔同笼”问题所有方法中最基本的解题思想,抓住解题思路的核心。(2)在教学中如何将直观的列表法与抽象的假设法进行沟通与联系。(3)在实际应用中,针对不同问题让学生建立“鸡兔同笼”问题的数学模型。(4)解题方法上升为数学思想,进而达到学生的数学素质。
让学生逐渐深化对数学模型的理解、把握与构建,使学生自然地养成从不同的问题情境中找出同一结构关系的数量模型的思维习惯和数学观念,从而也就有可能使学生日后在面对不熟悉的问题情境时,进行“模型化”的处理。这样的拓展无疑是进一步抽象的过程,是对模型进一步深刻理解的过程,也是进一步数学化的过程。经历这样的数学化过程自然会促进学生数学上的发展。
数学思想方法其特点是呈隐蔽形式,它比数学知识更抽象。教学难点在于如何让学生从直观的解决问题去感悟其中抽象的数学思想方法。解决这个难点的关键就是让学生亲自参与探究学习,让学生自主参与类似于科学家研究的学习活动,获得亲身体验,因为没有主动参与就不可能对数学知识、数学思想方法产生体验;没有了体验,那数学思想方法的渗透只能是一句空话。因此在课堂上必须充分暴露思维过程,让学生参与教学实践活动,充分发挥他们的主体作用。在动脑、动手、动口的过程中领悟体验数学思想方法的形成,揭示其中隐含的数学思想方法,并逐步掌握运用。“理解算法的最好途径是发现它,没有什么比依靠自己的发现更令人信服,如果不给学生必要的时间,如果算法是生硬地灌输的,随之而来的必然是一个糟糕的反应。”
4 结语
数学思想方法不可能一步就能形成,是在学生逐步积累的思维过程中形成,所以在教学中让学生真正的有所感悟要经过遁序渐进和反复练习,渗透。教师要有意识的培养学生自我提炼、揣摩、概括数学思想的能力,并培养学生经常用数学思想解决问题的意识,会学数学,会用数学解决问题。让学生逐步形成一种在日常学习与生活中喜爱质疑、乐于探究、努力求知的心理倾向,激发探究和创新的积极欲望。
参考文献
[1] 郑毓信.数学方法论[M].南宁:广西教育出版社,2003(6).
[2] 朱国荣.让学生亲历数学建模过程[J].小学数学教师,2005(7、8).
[3] 万培珍,蔡海根.注重过程,渗透思想[J].小学数学教师,2004(6).
关键词:数学思想 教学设计 感悟
中图分类号:G623 文献标识码:A 文章编号:1673-9795(2012)02(c)-0091-01
“鸡兔同笼问题”是人教版教材六年级上册中的一个教学内容。很多学生只知套用不知根本,还有部分学生能套用假设法列出算式,但是他根本不知道算出来的答案是鸡的只数还是兔的只数。也就是假设什么,最后算出来的可能还是这个,会出现张冠李戴的现象。学生很多时候是滥用套路,并没有真正理解和掌握假设法。有时候还会因情景变换不知所措,不能根据已学的知识产生类比联想。希冀能从人教版和北师大版教材这相同内容不同编排的教材中引发出更为有效的一些思考和探索。
1 人教版和北师大版教材的分析
在人教版教材中,由《孙子算经》中的“鸡兔同笼”问题引入。这一课时的教学目标是让学生通过不同方法研究解决鸡兔同笼问题,使学生理解并掌握鸡兔同笼问题的解题方法。解决“鸡兔同笼”问题时,它先后呈现了猜测列表法、假设法、列方程、抬腿法(另一种假设法),注重体现解决问题的不同思路和方法。其中假设和列方程解是解决该类问题的一般方法。“假设法”有利于培养学生的逻辑推理能力,列方程则有助于学生体会代数方法的一般性。因此在解决“鸡兔同笼”问题时,学生选用哪种方法均可,不强求用某一种方法。
在北师大版教材数学五年级上册的尝试与猜测中安排了《鸡兔同笼》这一教学内容,从读懂教材这一角度来看,在本课教材中呈现了三种解决问题的方法,都是通过假设举例与列表的方法,寻找解决问题的结果。其中,第一张表格是常规的逐一举例法,第二张运用了跳跃列表法,第三张运用了中列举法。但需要注意的是,教材选“鸡兔同笼”这个题材,主要并不是为了解决“鸡兔同笼”这个问题本身,而是要借助“鸡兔同笼”这个载体让学生经历列表,让学生在大胆的猜测、尝试和不断调整的过程中,体会出解决问题的一般策略—— 列表枚举,旨在通过对一些现象的观察与思考,使学生从中发现一些特殊的规律,获得解决问题的一般策略。
2 两种不同类型课的比较
教师在课堂上适时引导,学生从多角度思考问题,呈现出列表、假设、代数、画图等多种解题方法。通过学生的独立思考、自主探究、合作交流,將多种解题方法进行观察和对比,使学生充分体验到解题策略的多样性。在体验解决问题多样化的过程中,突出了学生的主体地位,同时尊重了学生的个体差异,允许不同的学生在解题方法上有不同的想法。还注重了画图法、列表法、假设法、代数法等多种方法的比较。这节课老师在学生找到不同策略后,又让学生说一说“你喜欢哪一种方法,为什么？”让学生充分感受到画图法、列表法为特殊方法,都有各自的局限性,如果题中鸡兔的数目太大,则不宜采用。而假设法和代数法是解决鸡兔同笼问题的常用的、也是最基本的方法,这样处理很好的完成了老师制定的一个重要的目标:尝试用不同的方法解决“鸡兔同笼”问题,使学生体会假设和代数方法的一般性。但是为什么在课后的练习中学生会出现张冠李戴、不知所措呢？反观案例中的教学过程,教师注重用假设法解决问题,上课时也可能一一列举了例子,但学生会认为众多方法中掌握一种就可以套用路子,就可以解决问题了。这样学生都是套着路子用假设法解题,真正理解的很少。
其实应该区分数学思想和数学方法的不同,甚至对方法也应分出层次:如果把整个方法体系看作一棵大树的话,那么有一些方法是根,另一些方法便是枝叶。而我们更应该关注能广泛迁移的、具有生长性的方法的根。由此透析上述案例,教师所谓的假设法只是具体地解决了“如何假设”的问题,而对于“为什么要假设”、“假设的价值何在,意义何在”,教师未能作有效提点。那么学生对假设的真正目的并不清楚,后面的练习也只是“依葫芦画瓢”;一旦碰到全新的问题时,便会束手无策。
3 各取所长,有机整合
鉴于以上两个案例的对比分析,那么教学目标究竟定位在哪里呢？人教版追求解决问题策略的多样化;而北师大版选择了列表的策略,让学生在大胆的猜测、尝试和不断调整的过程中,体会出解决问题的一般策略—— 列表枚举。不同的思维过程体现了不同的思路,那么怎样才能把两个案例完美结合,各取长处,而不仅仅是单一的、片面的解决问题呢？针对“鸡兔同笼问题”如下剖析。
在教学中,不仅要让学生会计算,更要让学生学会思考。(1)把假设的思想方法作为解决“鸡兔同笼”问题所有方法中最基本的解题思想,抓住解题思路的核心。(2)在教学中如何将直观的列表法与抽象的假设法进行沟通与联系。(3)在实际应用中,针对不同问题让学生建立“鸡兔同笼”问题的数学模型。(4)解题方法上升为数学思想,进而达到学生的数学素质。
让学生逐渐深化对数学模型的理解、把握与构建,使学生自然地养成从不同的问题情境中找出同一结构关系的数量模型的思维习惯和数学观念,从而也就有可能使学生日后在面对不熟悉的问题情境时,进行“模型化”的处理。这样的拓展无疑是进一步抽象的过程,是对模型进一步深刻理解的过程,也是进一步数学化的过程。经历这样的数学化过程自然会促进学生数学上的发展。
数学思想方法其特点是呈隐蔽形式,它比数学知识更抽象。教学难点在于如何让学生从直观的解决问题去感悟其中抽象的数学思想方法。解决这个难点的关键就是让学生亲自参与探究学习,让学生自主参与类似于科学家研究的学习活动,获得亲身体验,因为没有主动参与就不可能对数学知识、数学思想方法产生体验;没有了体验,那数学思想方法的渗透只能是一句空话。因此在课堂上必须充分暴露思维过程,让学生参与教学实践活动,充分发挥他们的主体作用。在动脑、动手、动口的过程中领悟体验数学思想方法的形成,揭示其中隐含的数学思想方法,并逐步掌握运用。“理解算法的最好途径是发现它,没有什么比依靠自己的发现更令人信服,如果不给学生必要的时间,如果算法是生硬地灌输的,随之而来的必然是一个糟糕的反应。”
4 结语
数学思想方法不可能一步就能形成,是在学生逐步积累的思维过程中形成,所以在教学中让学生真正的有所感悟要经过遁序渐进和反复练习,渗透。教师要有意识的培养学生自我提炼、揣摩、概括数学思想的能力,并培养学生经常用数学思想解决问题的意识,会学数学,会用数学解决问题。让学生逐步形成一种在日常学习与生活中喜爱质疑、乐于探究、努力求知的心理倾向,激发探究和创新的积极欲望。
参考文献
[1] 郑毓信.数学方法论[M].南宁:广西教育出版社,2003(6).
[2] 朱国荣.让学生亲历数学建模过程[J].小学数学教师,2005(7、8).
[3] 万培珍,蔡海根.注重过程,渗透思想[J].小学数学教师,2004(6).