三角函数常见题型分析

来源 :高中生学习·高三文综版 | 被引量 : 0次 | 上传用户:xqd2cd
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  三角函数和其他数学知识联系紧密,且综合性强,在生产与生活中有着广泛的应用. 研究发现,高考试卷淡化了对三角函数式化简的技能、技巧的要求,转为重点考查三角函数图象和性质及其应用问题,突出对数学基本能力的考查. 下面围绕三角函数高考的热点问题,以近几年的高考试题为例,分类进行剖析.
  三角形中的三角函数
  例1 [△ABC]中,[D]是[BC]上的点,[AD]平分[∠BAC],[△ABD]面积是[△ADC]面积的2倍.
  (1)求[sin∠Bsin∠C];
  (2)若[AD=1,DC=22,]求[BD]和[AC]的长.
  解析 (1)[S△ABD=12AB?ADsin∠BAD,]
  [S△ADC=12AC?ADsin∠CAD,]
  因为[S△ABD=2S△ADC],[∠BAD=∠CAD],
  所以[AB=2AC].
  由正弦定理可得[sin∠Bsin∠C=ACAB=12.]
  (2)因为[S△ABD∶S△ADC=BD∶DC,]所以[BD=2].
  在[△ABD]和[△ADC]中,由余弦定理知,
  [AB2=AD2+BD2-2AD?BDcos∠ADB,]
  [AC2=AD2+CD2-2AD?CDcos∠ADC,]
  故[AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6,]
  由(1)知,[AB=2AC],所以[AC=1].
  点拨 此类题主要考查三角函数在三角形中的利用. 解三角形的关键是在转化与化归思想的指导下,正确、灵活地运用正弦、余弦定理、三角形的面积公式等公式定理,适时、适度地进行“角化边”或“边化角”.
  三角函数与向量的综合
  例2 已知向量[a=(m,cos2x)],[b=(sin2x,n)],设函数[f(x)=a?b],且[y=f(x)]的图象过点[(π12,3)]和点[(2π3,-2)].
  (1)求[m,n]的值;
  (2)将[y=f(x)]的图象向左平移[φ]([0<φ<π])个单位后得到函数[y=g(x)]的图象.若[y=g(x)]的图象上各最高点到点[(0,3)]的距离的最小值为1,求[y=g(x)]的单调递增区间.
  解析 (1)由题意知,[f(x)=a?b=msin2x+ncos2x.]
  因为[y=f(x)]的图象过点[π12,3]和[2π3,-2],
  所以[3=msinπ6+ncosπ6,-2=msin4π3+ncos4π3,]
  解得[m=3,n=1.]
  (2)由(1)知,[f(x)=3sin2x+cos2x=2sin(2x+π6),]
  所以[g(x)=f(x+φ)=2sin(2x+2φ+π6)].
  设[y=g(x)]的图象上符合题意的最高点为[(x0,2)],
  由题意知,[x02+1=1],所以[x0=0].
  即到点[(0,3)]的距离为1的最高点为[(0,2)].
  将其代入[y=g(x)]得,[sin(2φ+π6)=1].
  因为[0<φ<π],所以[φ=π6].
  因此[g(x)=2sin(2x+π2)=2cos2x].
  由[2kπ-π≤2x≤2kπ,k∈Z]得,
  [kπ-π2≤x≤kπ,k∈Z.]
  所以,函数[y=g(x)]的单调递增区间为[kπ-π2,kπ,][k∈Z].
  点拨 此题以平面向量为背景,需要结合平面向量的坐标运算来进行三角函数的化简与求值. 第二问考查三角函数的平移、伸缩变换,特别是[y=Asin(ωx+φ)]中的[ω,φ]对函数图象的影响.
  三角函数的最值问题
  例3 已知函数[f(x)=cosx?sin(x+π3)-3cos2x][+34, x∈R].
  (1)求[f(x)]的最小正周期;
  (2)求[f(x)]在闭区间[[-π4,π4]]上的最大值和最小值.
  解析 (1)由已知得,
  [fx=cosx?12sinx+32cosx-3cos2x+34]
  [=12sinx?cosx-32cos2x+34]
  [=14sin2x-341+cos2x+34]
  [=14sin2x-34cos2x]
  [=12sin2x-π3].
  所以,[fx]的最小正周期[T=2π2=π].
  (2)因为[fx]在区间[-π4,-π12]上是减函数,在区间[-π12,π4]上是增函数.
  所以[f-π4=-14],[f-π12=-12],[fπ4=14].
  所以,函数[fx]在闭区间[-π4,π4]上的最大值为[14],最小值为[-12].
  点拨 此题型特别要注意自变量[x]的范围. 通过函数的单调性来求最值,也可以通过整体换元,再利用三角函数的图象来求解.
  三角函数在实际生活中的应用
  例4 某实验室一天的温度(单位:[℃])随时间[t](单位:h)的变化近似满足函数关系:[f(t)=10-3cosπ12t][-sinπ12t,t∈0,24.]
  (1)求实验室这一天的最大温差;
  (2)若要求实验室温度不高于[11℃],则在哪段时间实验室需要降温?
  解析 (1)因为[f(t)=10-2(32cosπ12t+12sinπ12t)]
  =[10-2sin(π12t+π3)],
  又[0≤t<24],
  所以[π3≤π12t+π3<7π3],[-1≤sin(π12t+π3)≤1].
  当[t=2]时,[sin(π12t+π3)=1].
  当[t=14]时,[sin(π12t+π3)=-1].
  于是[f(t)]在[0,24]上取得最大值12,取得最小值8.
  故实验室这一天最高温度为12℃,最低温度为8℃,最大温差为4℃.
  (2)依题意知,当[f(t)>11]时,实验室需要降温.
  由(1)得,[f(t)=10-2sin(π12t+π3)],
  故有[10-2sin(π12t+π3)]>11,
  即[sin(π12t+π3)]<[-12].
  又[0≤t<24],
  因此[7π6<π12t+π3<11π6],即[10  所以,在10时至18时实验室需要降温.
  点拨 此题是三角函数在实际生活中的应用,解决这类问题的关键是把实际问题转化成数学问题,然后利用所学的三角函数知识来求解.
  通过上述分析,三角函数题都能在教材中寻到基本原型题. 因此,在三角函数复习中,要以课本为主,梳理整合知识点,强化重点内容,提炼数学思想方法,突出通性通法,讲究知识的综合应用,提高分析问题、解决问题的能力.
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