[摘要] 本文主要论述导数、微分、不定积分、凑微分的关联，从四个方面阐明学习微积分的系统性框架结构关系，以利于改进教学方法，提高初学者对微积分知识的兴趣进而提高学习效率。
　　[关键词] 导数 微分 不定积分 凑微分 教学法
　　
　　在一元微积分的施教中，对导数、微分和不定积分概念的教学已经完成后，要讲解不定积分的凑微分法时，教师适时的先回顾导数、微分、不定积分三块内容的基本公式后，再引入凑微分思想，四位一体实施教学，会有事半功倍之教学功效。
　　
　　一、导数与微分的一体两面
　　
　　1.若可导，必可微
　　如果函数在某区间内可导，亦即导数存在，那么该函数在相应区间内必可微且微分。
　　2.若可微，必可导
　　如果函数在某区间内可微，亦即存在，那么该函数在相应区间内必可导且导数
　　从上述两基本等式中，我们可以看出将导数视之为微商（即微分之商）是顺乎自然而且合乎科学的，这样的讲解，初学者也就能正确理解并熟练记住。
　　将导数与微分当作一个大概念的两个方面，视导数与微分为一个统一体，这也是微积分如此命名中没有导数的词语的依据之所在，导数从文字表面与微积分没直接联系，但用微商来表述的话，它就与微积分之名称的密切联系从字面上凸显出来了。这样的讲解，能让初学者更好的理解导数与微分的实质，能整体把握微积分的框架结构。
　　
　　二、积分运算与微分运算互为运算
　　
　　根据不定积分的定义，易得下列性质
　　性质一或
　　性质二或
　　我们把求不定积分的运算称之为积分运算，把求导数（或求微分）的运算称之为微分运算，由性质一和性质二可知，在不考虑积分常数的情况下积分运算与微分运算互为逆运算。在讲解微分运算与积分运算的互逆运算的过程中，我们要强调两种运算先后运用后，必然要产生相互抵消的结果，但先微分后积分运算的情形中，所得结果之后要加上积分常数，关于互逆关系的讲解，有利于学生更进一步深入地理解微积分的实质。
　　
　　三、凑微分法简述
　　
　　定理 设函数在区间上连续，且有连续导数，且的值域包含在区间I内，则有
　　（1）
　　公式（1）称之为第一类换元积分法，利用此公式求不定积分的方法称之为第一类换元法，利用第一类换元积分法求不定积分的关键是把被积表达式凑成形如的微分形式，且在新变量下，不定积分容易求出，所以第一类换元法通常被形象地称为“凑微分”法。
　　使的关键在于找寻，而确定的过程中，要有使变成等于的快速变换能力，这种类代数的分析变形正是微分计算的反过程：=是凑微分，=是微分运算。
　　对初学者传授凑微分法的知识，用上述讲解方法能取得比较好的整体认知效果，对他们提高学习微积分的积极性，把握微积分的整体结构很有帮助。
　　四、导数、微分、不定积分基本积分公式汇总与凑微分法思路之相互比较
　　在某区间内，若 （导数公式）
　　则（微分公式）
　　则（不定积分公式）
　　则（凑微分重要步骤）
　　其中，常改写为=（这里就是）
　　实际上，上述四个等式中，只要有一个等式成立，另外三个等式也一定成立。将换成某基本初等函数，就产生出以下基本公式：
　　1.导数基本公式
　　①常数函数
　　②幂函数 ，
　　③指数函数 ，，
　　④对数函数 ，，
　　⑤三角函数 ，，
　　 ，，
　　 ，，
　　⑥反三角函数，，
　　，。
　　2.微分基本公式
　　①常数函数 （C是常数），
　　②幂函数 ，
　　③对数函数 ，，
　　④指数函数 ，，
　　⑤三角函数 ， ，
　　，，
　　 ， ,
　　⑥反三角函数 ，,
　　，,
　　3.不定积分基本公式
　　①常数函数
　　②幂函数(k为常数),
　　(μ≠-1)
　　③对数函数,
　　④指数函数 ,
　　⑤三角函数 , ,
　　 ，
　　,
　　 ,
　　
　　⑥反三角函数
　　，
　　，
　　4.凑微分思路
　　① 相应凑微分无益于不定积分的求法的改进
　　②，
　　
　　③
　　④
　　⑤ ，
　　
　　，
　　
　　⑥
　　
　　以上思路中，要基于易求这一前提条件。
　　上述四组等式中，其相互联系在汇总时，易科学关联在一起，举一反三效应凸显，若教学过程中能紧抓这一诀窍，将有利于初学者在理解的基础上记住以上四组公式，再通过一定量习题的及时训练，这样初学者必然会在提高兴趣的基础上会增强学习微积分的积极性，进而使其学习效率也会得到大幅度的提高。
　　本文只在一元微积分的教学方法上有所研究，限于篇幅并未对微积分知识的科学性做过多研讨，显然，基于这四个方面内容的教与学，仍需要求教者求学者付出艰辛的努力，方能在微积分的教与学的过程中有所建树。
　　
　　参考文献：
　　[1]李汝修、解心红、张恩主编 《微积分》 山东大学出版社，2003.8.
　　[2]（美）卡茨（katz，V.J.）著；李文林等译 《数学史通论》—2版 高等教育出版社，2004（2005重印）.