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高考命题年年相似，却又年年不同.每年高考考点基本不变，而考题却千变万化.那么在行将到来的2016年高考中，数学命题有哪些热点问题值得同学们倍加关注呢？本文作如下预测，供同学们参考.
热点一、知识交汇性问题
在知识交汇处命题，高考命题的原则，因此以考查数学知识的综合应用的交汇性问题，永远是高考命题的热点.
预测题1.已知数列-2，y，x，u，-32成等比数列，且2a，3b（a<0，b<0）的等差中项为-12，则1a 2b-x的最大值是.
答案：-43.
解析：因为-2，y，x，u，-32成等比数列，所以x2=-2×（-32）=64，则x=±8，
由于等比数列间隔项符号相同，则x=-8，
由2a，3b的等差中项为-12，则2a 3b=-1，
故1a 2b-x=（1a 2b）（-2a-3b） 8
=-（4ab 3ba）≤-24ab·3ba=-43.
评注：本题将等比数列、等差数列和基本不等式等知识点综合在同一题中，考查等比、等差数列的中项公式及等比数列的性质和基本不等式及应用.
预测题2.已知向量a=（cos32x，sin32x），b=（cosx2，-sinx2），且x∈[0，π2].若f（x）=a·b-2λ|a b|的最小值是-32，则λ的值为.
答案：12.
解析：a·b=cos32xcos12x-sin32xsin12x=cos2x，
|a b|=（cos32x cos12x）2 （sin32x-sin12x）2
=2 2cos2x=2|cosx|，
∵x∈[0，π2]，∴cosx≥0，因此|a b|=2cosx，
∴f（x）=a·b-2λ|a b|即f（x）=2（cosx-λ）2-1-2λ2，
∵x∈[0，π2]，∴0≤cosx≤1.
①若λ<0，则当且仅当cosx=0时，f（x）取得最小值-1，这与已知矛盾，
②若0≤λ≤1，则当且仅当cosx=λ时，f（x）取得最小值-1-2λ2，
综上所述，λ=12为所求.
评注：本题将向量，三角函数融合在一起，不仅考查了向量与三角函数的相关知识，而且也同时考查了函数思想和分类讨论思想.
热点二、分段函数问题
分段函数是历年高考的命题热点，重点考查分段函数的图象、性质及其应用.
预测题3.已知函数f（x）=ax-1，x≤1loga1x 1，x>1 （a>0且a≠1），若f（3）=-2，则满足f（x）>-34的x的取值范围为.
答案：{x|-2 解析：由题意得loga14=-2，∴a=2，
当x≤1时，f（x）=2x-1>-34，即2x>14，
∴x>-2，
此时x的取值范围为-2 当x>1时，f（x）=log21x 1>-34，即1x 1>1234，∴x<234-1<1，此时x的范围不存在.
综上所述，x的取值范围为{x|-2 评注：与分段函数有关的不等式，一般可采用分段求解的方法，也可以利用图象，从图象中直接找到答案.
热点三、创新性问题
历年高考，数学创新题层出不穷，以新定义型创新题为主.
预测题4.对于函数f（x），若在定义域内存在实数x，满足f（-x）=-f（x），称f（x）为“局部奇函数”.若f（x）=4x-m·2x 1 m2-3为定义域R上的“局部奇函数”，则实数m的取值范围是.
答案：[1-3，22].
解析：∵f（x）为“局部奇函数”，
∴存在实数x满足f（-x）=-f（x），
即4-x-2m2-x m2-3=-4x 2m2x-m2 3，
令t=2x（t>0），则1t2 t2-2m（1t t） 2m2-6=0，
（1t t）2-2m（1t t） 2m2-8=0在t∈（0， ∞）上有解，
再令h=1t t（h≥2），则g（h）=h2-2mh 2m2-8=0在h∈[2， ∞）上有解.
函数关于h的对称轴为h=m，
①当m≥2时，g（h）≥g（m），∴g（m）=m2-2m2 2m2-8≤0，解得2≤m≤22；
②当m<2时，则g（2）=4-4m 2m2-8≤0，即m2-2m-2≤0，解得1-3≤m<2.
综合①②，可知1-3≤m≤22.
评注：本题将奇函数定义中的“任意”改成了“存在”，定义了“局部奇函数”的概念，使函数的整体性质变成了局部性质，使恒成立问题变成了方程有解问题.体现了高考“源于课本，又高于课本”的命题原则.
热点四、导数与函数的零点问题
利用导数研究函数的零点问题或方程根的问题，一直是江苏高考数学命题的重要考点.
预测题5.方程|ln|x||=2e|x|12的实数解的个数是.
答案：4.
解析：由于函数y=|ln|x||与y=2e|x|12都是偶函数，只须求当x>0的情形，设f（x）=|lnx|-2ex12=-lnx-2ex12（0 因为f′（x）=-e x12ex（0 当00；当x>e2时，f′（x）<0.
所以f（x）的减函数区间为（0，1）和（e2， ∞）；增函数区间为（1，e2）.
又由于f（1e）=1-2e32>0，f（1）=-2e<0，所以f（x）在（0，1）中存在一个零点；又f（e2）=0，所以f（x）在（1， ∞）只有零点x=e2.故方程|ln|x||=2e|x|12的实数解的个数是4个.
评注：本题考查函数的基本性质、图象，函数的零点与方程解的关系及应用导数研究函数.具有一定难度.
热点五、解析几何中的定点或定值问题
在江苏新课标高考数学中，由于定点或定值能考查考生的探究能力和计算能力，故一直是解析几何命题的热点题型.
预测题6.已知动点M（x，y）到定直线l′：x=-955和定点E（-5，0）的距离的比为355，直线l：2x 3y=30.
（1）求动点M（x，y）的轨迹C的轨迹方程；
（2）设点P是直线l上的任意一点，过点P向椭圆C引切线PQ，PR，判断直线QR是否通过定点，证明你的结论.
解析：（1）依题意，|x 95|（x 5）2 y2=35，平方得，59（x 95）2=（x 5）2 y2，
化简整理得，动点M（x，y）的轨迹C的轨迹方程为x29 y24=1.
（2）设P（a，b），Q（x1，y1），R（x2，y2），由（1）知
以Q（x1，y1）为切点的椭圆C的切线方程为4x1x 9y1y-36=0， ①
因为点P（a，b）在直线PQ上，则4ax1 9by1-36=0， ②
②式说明了点Q在直线4ax 9by-36=0上，
同理点R也在直线4ax 9by-36=0上，
所以直线QR的方程为4ax 9by-36=0，
又因为点P（a，b）在直线l上，则3b=30-2a，
所以直线QR的方程为4ax 3（30-2a）y-36=0，
即a（4x-6y） 90y-36=0，由于a是任意实数，
所以2x-3y=05y-2=0，得x=35，y=25，
故直线QR经过定点（35，25）.
评注：解析几何问题重点考查考生的计算能力.惧怕计算，就无法完成此题.当然，我们还要讲究解题方法.解析几何定点定值问题，一般可采用设而不求与方程思想求解.
热点六、图形类实际应用型问题
在江苏新课标高考数学，应用题必考，从近几年高考命题看，由于图形类实际应用型问题更能考查数学知识的灵活应用，因而受到命题者的青睐.
预测题7.如图，阴影部分为古建筑物保护群所在地，其形状是以O1为圆心，半径为1km的半圆面.公路l经过点O，且与直径OA垂直.
现计划修建一条与半圆相切的公路PQ（点P在直径OA的延长线上，点Q在公路l上），T为切点.
（1）按下列要求建立函数关系：
评注：本题要求同学们用两种方法建立函数式，并利用其中一种方法解决问题，体现了数学知识应用的多样性和互容性，同时也体现数学命题的开放性.
热点七、存在性探索题
探索性问题一直是高考命题的热点，尤其是存在性探索题，在2016年的高考中仍炙手可热.值得大家关注.
预测题8.如图，椭圆E：x2a2 y2b2=1（a>b>0）的离心率是22，过点P（0，1）的动直线l与椭圆相交于A，B两点.当直线l平行于x轴时，直线l被椭圆E截得的线段长为22.
（1）求椭圆E的方程；
（2）在平面直角坐标系xOy中，是否存在与点P不同的定点Q，使得|QA||QB|=|PA||PB|恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
解析：（1）由已知，点（2，1）在椭圆E上，
因此，2a2 1b2=1，a2-b2=c2，ca=22.解得a=2，b=2.
所以椭圆E的方程为x24 y22=1.
（2）当直线l与x轴平行时，设直线l与椭圆相交于C，D两点.
如果存在定点Q满足条件，则有|QC||QD|=|PC||PD|=1，则|QC|=|QD|.
所以Q点在y轴上，可设Q点的坐标为（0，y0）.
当直线l与x轴垂直时，设直线l与椭圆相交于M，N两点，
则M，N的坐标分别为（0，2），（0，-2）.
由|QM||QN|=|PM||PN|，有|y0-2||y0 2|=2-12 1，解得y0=1或y0=2.
所以，若存在不同于点P的定点Q满足条件，则Q点坐标只可能为（0，2）.
下面证明：对任意直线l，均有|QA||QB|=|PA||PB|.
当直线l的斜率不存在时，由上可知，结论成立.
当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y=kx 1，A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）.
联立x24 y22=1，y=kx 1，得（2k2 1）x2 4kx-2=0.
其判别式Δ=（4k）2 8（2k2 1）>0，
所以x1 x2=-4k2k2 1，x1x2=-22k2 1.因此1x1 1x2=x1 x2x1x2=2k.
易知，点B关于y轴对称的点B′的坐标为（-x2，y2）.
又kQA=y1-2x1=kx1-1x1=k-1x1，
kQB′=y2-2-x2=kx2-1-x2=-k 1x2=k-1x1，
所以kQA=kQB′，即Q，A，B′三点共线.
所以|QA||QB|=|QA||QB′|=|x1||x2|=|PA||PB|.
故存在与P不同的定点Q（0，2），使得|QA||QB|=|PA||PB|恒成立.
评注：这类问题的基本特征是：要判断在某些确定条件下的某一数学对象（数值、图形、函数等）是否存在或某一结论是否成立.解决这类问题的基本策略是：通常假定题中的数学对象存在（或结论成立）或暂且认可其中的一部分的结论，然后在这个前提下进行逻辑推理，若由此导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论.其中反证法在解题中起着重要的作用.
（作者：王佩其，太仓市明德高级中学）
热点一、知识交汇性问题
在知识交汇处命题，高考命题的原则，因此以考查数学知识的综合应用的交汇性问题，永远是高考命题的热点.
预测题1.已知数列-2，y，x，u，-32成等比数列，且2a，3b（a<0，b<0）的等差中项为-12，则1a 2b-x的最大值是.
答案：-43.
解析：因为-2，y，x，u，-32成等比数列，所以x2=-2×（-32）=64，则x=±8，
由于等比数列间隔项符号相同，则x=-8，
由2a，3b的等差中项为-12，则2a 3b=-1，
故1a 2b-x=（1a 2b）（-2a-3b） 8
=-（4ab 3ba）≤-24ab·3ba=-43.
评注：本题将等比数列、等差数列和基本不等式等知识点综合在同一题中，考查等比、等差数列的中项公式及等比数列的性质和基本不等式及应用.
预测题2.已知向量a=（cos32x，sin32x），b=（cosx2，-sinx2），且x∈[0，π2].若f（x）=a·b-2λ|a b|的最小值是-32，则λ的值为.
答案：12.
解析：a·b=cos32xcos12x-sin32xsin12x=cos2x，
|a b|=（cos32x cos12x）2 （sin32x-sin12x）2
=2 2cos2x=2|cosx|，
∵x∈[0，π2]，∴cosx≥0，因此|a b|=2cosx，
∴f（x）=a·b-2λ|a b|即f（x）=2（cosx-λ）2-1-2λ2，
∵x∈[0，π2]，∴0≤cosx≤1.
①若λ<0，则当且仅当cosx=0时，f（x）取得最小值-1，这与已知矛盾，
②若0≤λ≤1，则当且仅当cosx=λ时，f（x）取得最小值-1-2λ2，
综上所述，λ=12为所求.
评注：本题将向量，三角函数融合在一起，不仅考查了向量与三角函数的相关知识，而且也同时考查了函数思想和分类讨论思想.
热点二、分段函数问题
分段函数是历年高考的命题热点，重点考查分段函数的图象、性质及其应用.
预测题3.已知函数f（x）=ax-1，x≤1loga1x 1，x>1 （a>0且a≠1），若f（3）=-2，则满足f（x）>-34的x的取值范围为.
答案：{x|-2
当x≤1时，f（x）=2x-1>-34，即2x>14，
∴x>-2，
此时x的取值范围为-2
综上所述，x的取值范围为{x|-2
热点三、创新性问题
历年高考，数学创新题层出不穷，以新定义型创新题为主.
预测题4.对于函数f（x），若在定义域内存在实数x，满足f（-x）=-f（x），称f（x）为“局部奇函数”.若f（x）=4x-m·2x 1 m2-3为定义域R上的“局部奇函数”，则实数m的取值范围是.
答案：[1-3，22].
解析：∵f（x）为“局部奇函数”，
∴存在实数x满足f（-x）=-f（x），
即4-x-2m2-x m2-3=-4x 2m2x-m2 3，
令t=2x（t>0），则1t2 t2-2m（1t t） 2m2-6=0，
（1t t）2-2m（1t t） 2m2-8=0在t∈（0， ∞）上有解，
再令h=1t t（h≥2），则g（h）=h2-2mh 2m2-8=0在h∈[2， ∞）上有解.
函数关于h的对称轴为h=m，
①当m≥2时，g（h）≥g（m），∴g（m）=m2-2m2 2m2-8≤0，解得2≤m≤22；
②当m<2时，则g（2）=4-4m 2m2-8≤0，即m2-2m-2≤0，解得1-3≤m<2.
综合①②，可知1-3≤m≤22.
评注：本题将奇函数定义中的“任意”改成了“存在”，定义了“局部奇函数”的概念，使函数的整体性质变成了局部性质，使恒成立问题变成了方程有解问题.体现了高考“源于课本，又高于课本”的命题原则.
热点四、导数与函数的零点问题
利用导数研究函数的零点问题或方程根的问题，一直是江苏高考数学命题的重要考点.
预测题5.方程|ln|x||=2e|x|12的实数解的个数是.
答案：4.
解析：由于函数y=|ln|x||与y=2e|x|12都是偶函数，只须求当x>0的情形，设f（x）=|lnx|-2ex12=-lnx-2ex12（0
又由于f（1e）=1-2e32>0，f（1）=-2e<0，所以f（x）在（0，1）中存在一个零点；又f（e2）=0，所以f（x）在（1， ∞）只有零点x=e2.故方程|ln|x||=2e|x|12的实数解的个数是4个.
评注：本题考查函数的基本性质、图象，函数的零点与方程解的关系及应用导数研究函数.具有一定难度.
热点五、解析几何中的定点或定值问题
在江苏新课标高考数学中，由于定点或定值能考查考生的探究能力和计算能力，故一直是解析几何命题的热点题型.
预测题6.已知动点M（x，y）到定直线l′：x=-955和定点E（-5，0）的距离的比为355，直线l：2x 3y=30.
（1）求动点M（x，y）的轨迹C的轨迹方程；
（2）设点P是直线l上的任意一点，过点P向椭圆C引切线PQ，PR，判断直线QR是否通过定点，证明你的结论.
解析：（1）依题意，|x 95|（x 5）2 y2=35，平方得，59（x 95）2=（x 5）2 y2，
化简整理得，动点M（x，y）的轨迹C的轨迹方程为x29 y24=1.
（2）设P（a，b），Q（x1，y1），R（x2，y2），由（1）知
以Q（x1，y1）为切点的椭圆C的切线方程为4x1x 9y1y-36=0， ①
因为点P（a，b）在直线PQ上，则4ax1 9by1-36=0， ②
②式说明了点Q在直线4ax 9by-36=0上，
同理点R也在直线4ax 9by-36=0上，
所以直线QR的方程为4ax 9by-36=0，
又因为点P（a，b）在直线l上，则3b=30-2a，
所以直线QR的方程为4ax 3（30-2a）y-36=0，
即a（4x-6y） 90y-36=0，由于a是任意实数，
所以2x-3y=05y-2=0，得x=35，y=25，
故直线QR经过定点（35，25）.
评注：解析几何问题重点考查考生的计算能力.惧怕计算，就无法完成此题.当然，我们还要讲究解题方法.解析几何定点定值问题，一般可采用设而不求与方程思想求解.
热点六、图形类实际应用型问题
在江苏新课标高考数学，应用题必考，从近几年高考命题看，由于图形类实际应用型问题更能考查数学知识的灵活应用，因而受到命题者的青睐.
预测题7.如图，阴影部分为古建筑物保护群所在地，其形状是以O1为圆心，半径为1km的半圆面.公路l经过点O，且与直径OA垂直.
现计划修建一条与半圆相切的公路PQ（点P在直径OA的延长线上，点Q在公路l上），T为切点.
（1）按下列要求建立函数关系：
评注：本题要求同学们用两种方法建立函数式，并利用其中一种方法解决问题，体现了数学知识应用的多样性和互容性，同时也体现数学命题的开放性.
热点七、存在性探索题
探索性问题一直是高考命题的热点，尤其是存在性探索题，在2016年的高考中仍炙手可热.值得大家关注.
预测题8.如图，椭圆E：x2a2 y2b2=1（a>b>0）的离心率是22，过点P（0，1）的动直线l与椭圆相交于A，B两点.当直线l平行于x轴时，直线l被椭圆E截得的线段长为22.
（1）求椭圆E的方程；
（2）在平面直角坐标系xOy中，是否存在与点P不同的定点Q，使得|QA||QB|=|PA||PB|恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
解析：（1）由已知，点（2，1）在椭圆E上，
因此，2a2 1b2=1，a2-b2=c2，ca=22.解得a=2，b=2.
所以椭圆E的方程为x24 y22=1.
（2）当直线l与x轴平行时，设直线l与椭圆相交于C，D两点.
如果存在定点Q满足条件，则有|QC||QD|=|PC||PD|=1，则|QC|=|QD|.
所以Q点在y轴上，可设Q点的坐标为（0，y0）.
当直线l与x轴垂直时，设直线l与椭圆相交于M，N两点，
则M，N的坐标分别为（0，2），（0，-2）.
由|QM||QN|=|PM||PN|，有|y0-2||y0 2|=2-12 1，解得y0=1或y0=2.
所以，若存在不同于点P的定点Q满足条件，则Q点坐标只可能为（0，2）.
下面证明：对任意直线l，均有|QA||QB|=|PA||PB|.
当直线l的斜率不存在时，由上可知，结论成立.
当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y=kx 1，A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）.
联立x24 y22=1，y=kx 1，得（2k2 1）x2 4kx-2=0.
其判别式Δ=（4k）2 8（2k2 1）>0，
所以x1 x2=-4k2k2 1，x1x2=-22k2 1.因此1x1 1x2=x1 x2x1x2=2k.
易知，点B关于y轴对称的点B′的坐标为（-x2，y2）.
又kQA=y1-2x1=kx1-1x1=k-1x1，
kQB′=y2-2-x2=kx2-1-x2=-k 1x2=k-1x1，
所以kQA=kQB′，即Q，A，B′三点共线.
所以|QA||QB|=|QA||QB′|=|x1||x2|=|PA||PB|.
故存在与P不同的定点Q（0，2），使得|QA||QB|=|PA||PB|恒成立.
评注：这类问题的基本特征是：要判断在某些确定条件下的某一数学对象（数值、图形、函数等）是否存在或某一结论是否成立.解决这类问题的基本策略是：通常假定题中的数学对象存在（或结论成立）或暂且认可其中的一部分的结论，然后在这个前提下进行逻辑推理，若由此导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论.其中反证法在解题中起着重要的作用.
（作者：王佩其，太仓市明德高级中学）