摘要：最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径。本文采用JAVA语言来实现路径算法中的Johnson算法。
　　 关键词：最短路径 Java Johnson算法 算法实现
　　
　　 最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径。算法具体的形式包括：确定起点的最短路径问题。即已知起始结点，求最短路径的问题；确定终点的最短路径问题。与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题。在无向图中该问题与确定起点的问题完全等同，在有向图中该问题等同于把所有路径方向反转的确定起点的问题；确定起点终点的最短路径问题。即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径；全局最短路径问题——求图中所有的最短路径。
　　 一、最短路径算法的实现策略
　　 用于解决最短路径问题的算法被称作“最短路径算法”，有时被简称作“路径算法”。最常用的路径算法有：Dijkstra算法、A*算法、SPFA算法、Bellman-Ford算法、Floyd-Warshall算法、Johnson算法。
　　 所谓单源最短路径问题是指：已知图G＝（V，E），我们希望找出从某给定的源结点S∈V到V中的每个结点的最短路径。
　　 首先，我们可以发现有这样一个事实：如果P是G中从vs到vj的最短路，vi是P中的一个点，那么，从vs沿P到vi的路是从vs到vi的最短路。
　　 笔者以3Dijkstra算法为例，Dijkstra算法是典型最短路算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法能得出最短路径的最优解，但由于它计算的节点很多，所以效率低下。Dijkstra算法的输入包含了一个有权重的有向图G，以及G中的一个来源顶点S。我们以V表示G中所有顶点的集合，以E表示G中所有边的集合。(u,v)表示从顶点u到v有路径相连，而边的权重则由权重函数w:E→[0,∞]定义。因此，w(u,v)就是从顶点u到顶点v的非负花费值（cost），边的花费可以想象成两个顶点之间的距离。任两点间路径的花费值，就是该路径上所有边的花费值总和。已知有V中有顶点s及t，Dijkstra算法可以找到s到t的最低花费路径(例如最短路径)。这个算法也可以在一个图中，找到从一个顶点s到任何其他顶点的最短路径。
　　 二、代码实现
　　 importjava.util.Scanner;
　　 publicclassMain{
　　 privatestaticintn;//G图中的顶点个数
　　 privatestaticint[]distent=null;//最短路径长度
　　 privatestaticint[]previous=null;//前驱顶点集合
　　 publicstaticvoiddijkstra(intv,int[][]a,int[]dist,int[]prev){
　　 //单源最短路径问题的Dijkstra算法
　　 intn=dist.length-1;//问题的规模，0号元素未使用
　　 if(v<1||v>n)return;//源不在图中，则返回
　　 boolean[]s=newboolean[n 1];//判断点是否在集合S中
　　 //初始化
　　 for(inti=1;i<=n;i ){
　　 dist[i]=a[v][i];//源到点i的最短特殊路径长度
　　 s[i]=false;//点i现在不在集合s中
　　 if(dist[i]==-1)
　　 prev[i]=0;//若最短路径长度恒为-1表示无通路，则让点i的前驱点为0
　　 else
　　 prev[i]=v;//有通路则让点i的前驱指向源
　　 }
　　 dist[v]=0;
　　 s[v]=true;//源放入集合s中
　　 for(inti=1;i　　 inttemp=Integer.MAX_VALUE;
　　 intu=v;
　　 //在剩下的点中除了没有通路的点中找到最容易到达的，并把最容易到达的放入u中
　　 for(intj=1;j<=n;j ){
　　 if((!s[j])