【摘要】由于面积的曲面积分和坐标的曲面积分的运算公式不同,加上面积与坐标之间的联系,决定了曲面积分运算的复杂性与解法的灵活性。本文通过对常用解法的介绍,加深对曲面积分的掌握和研究。
　　 【关键词】面积 坐标 高斯定理 斯托克斯公式 对称性
　　
　　 1.计算面积的曲面积分(第一类曲面积分)。
　　 重要公式
　　 其中积分曲面由∑方程给出,在面上的投影区域为,函数在上具有连续偏导数,被积函数在∑上连续
　　 例1.计算曲面积分,其中∑时球面被平面截出的顶部
　　 解:∑的方程为:
　　 ∑在面上的投影区域为圆形闭区域
　　 2.计算坐标的曲面积分(第二类曲面积分)
　　 重要公式
　　 如果∑是由方程所给出的曲面上侧、前侧、右侧,则取正号;
　　 如果∑是由方程所给出的曲面下侧、后侧、左侧,则取负号。
　　 例2.计算,其中∑是球面外侧的的积分
　　 解:把∑分为∑1、∑2,∑1的方程为,∑2的方程为
　　 上式右端的第一个积分的积分曲面∑2取上侧,第二个积分的积分∑1取下侧,因此
　　 3.两类曲面积分之间的联系。
　　 例3.計算曲面积分 其中∑是转抛物面介于平面及间的部分的下侧。
　　解:
　　在曲面∑上,有
　　 由于是奇函数且关于轴对称
　　 4.利用高斯公式求解曲面积分。高斯公式设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面∑所围成,函数 在Ω上具有一阶连续偏导数,则
　　或
　　 其中∑是Ω的整个边界曲面的外侧,是∑在点处的法向量的方向余弦,引入对称性和奇偶性知识来简化积分运算,积分区域关于面对称,被积函数关于z为奇函数,则:。
　　 例4.计算曲面积分其中,∑是球面的外侧。
　　 由于x与z对调时,∑的方程不变,但变成,所以== 被积函数在对称点处的值相(由于∑关于z=0平面对称,其中∑1是∑被平面z=0分成的两部分之一,它在平面的投影区域为)
　　 此外,由于关于平面对称,且被积函数在对称点处的互为相反数,所以
　　 小结:(1)将关于坐标的曲面积分转化成关于面积的曲面积分;
　　 (2)计算关于面积的曲面积分,则充分利用对称性,可将合并成一个曲面积分得到
　　 5.利用方向向量求解曲面积分。
　　公式
　　 例5.计算曲面积分,位于第一卦限部分,法向量指向原点(即下侧)
　　 解:设的法向量为,,则
　　=
　　 小结:(1)本题巧妙利用法向量的知识将曲面积分简化;
　　 (2)在求曲面积分时一定要注意侧的方向。
　　
　　参考文献
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