论文部分内容阅读
【摘要】利用滑窗方法，构造了指数分布参数变点问题的检验统计量，并借助Gauss过程理论，给出了检测变点的程序和变点的区间估计,最后的仿真结果表明了所提方法的有效性.
【关键词】指数分布；变点；区间估计；滑窗
【中图分类号】：O221.8【文献标识码】：A 【文章编号】：1009-9646（2008）07-0000-01
0 引言
变点问题自上世纪70年代以来一直是统计中的热门话题,关于变点问题的研究应用相当广泛,已有许多学者在不同的条件下进行了研究,例如Chernoff和Zacks提出了检验正态分布均值变点的检验统计量；Haccon和Meelis对独立指数分布随机变量序列中的变点,提出了似然比检验法；缪柏其及谭智平等用了非参数方法对变点进行了检验和估计.
而对于指数分布,由于其参数和期望之间的关系,很多文献在讨论参数变点时直接将其转化为均值变点问题,这样做使得样本信息大量损失.因此作为这一工作的继续和进一步发展,本文提出利用滑窗法,结合指数分布均值、方差与参数之间的关系,构造了参数变点问题的检验统计量,并借助Gauss过程理论,利用第一型极值分布逼近本文提出的检验统计量的分布,讨论了指数分布中参数只有一个变点时变点位置的估计和检验,给出了检测变点的程序和
变点的区间估计.最后对文中提出的统计量进行了仿真模拟.
1 问题的描述
设,,…,是独立随机变量,满足
,…, i.i.d,,…, i.i.d
表示指数分布,其密度函数为
若,则称为随机序列,,…,的变点.
为检测,,…,是否有变点,作假设
:: (1)
接受,即认为序列有变点,否则认为无变点.
2 主要结论
为方便起见,记
,,,,
,
对于指数分布,参数,因此对于序列,,…,(其中,…,i.i.d,,…,i.i.d),可用来估计,用来估计,并且容易证明此估计为强相合估计,故可选
(2)
利用引理2,立即可以得到一种检验变点问题(1)的方法,即下面的定理:
定理1 选取显著性水平,,则对于变点问题(1),当且仅当 时,拒绝.
证明 的拒绝域(其中待定),则
(20)
则由引理2知
(21)
由(20)、(21)知道
(22)
由此得,从而,定理得证.
上面定理给出了如何检测是否有变点的方法,下面我们给出变点的估计.由于越大,说明样本的前个样本(含)和后个样本(不含)的差别越大,这时变点为可能性就越大,因此变点的估计为
(23)
可以证明此估计具有强相合性,笔者将另篇讨论.
另外的区间估计为.为了提高精度,应取较小的,但它会带来两个问题:一是太小,为真时,拒绝的可能性增大,即犯第一类错误的概率增大；二是太小时,置信系数会很低.因此选取不能过小.
3 仿真研究
笔者选取了在的水平下,对样本量n=1080和n=2160情形进行了模拟试验,其结果见表1和表2.其中,表示变化前后指数分布的参数,为真实变点的位置, 为变点位置的估计,为滑窗的长度.
从表1和表2可以看出,和的差距越大,则和的差别越大,这时越容易检测出变点；滑窗不能太小,太小可能导致检测不出变点,且随着的增大,灵敏度越高；另外,比较表1和表2,样本量越大,变点的估计越准确.
以上是对指数分布至多一个参数变点的检验,由于我们用的滑窗方法,所以同样适用于有多个变点的指数分布序列,只需先找第一个,依次再找第二个,第三个…
参考文献
[1] chernoff H,Zacks S.Estimating the current mean of normal distribution which is subjected to change in time[J].Ann.Math.Statistics,1964,35:999-1018.
[2] Haccou P,Meelis E.Asymptotic distribution of the likelihood ratio test for the changpoint probl -em for exponentially random variables[J].stochastic Processes and Appl,1987,27:121-139.
[3] Cs?rg? M.Révész P.Strong approximations in probility and statistic[M].New York:Academic press,1981.
[4] Qualls C,Watanable H.Asymptotics Properties of Gaussian processes[J].Ann.Math.Statist,1972, 43:580-596.
[5] 陈希孺.变点统计分析简介[J].数理统计与管理,1991:52-59.
[6] 缪柏其.关于只有一个变点模型的非参数推断[J].系统科学与数学,1993,12(1):43-54.
[7] 谈智平.关于分布变点问题的非参数检验统计推断[J].中国科技大学学报,2000,303(3): 270-277.
[8] Fotopoulos S.B,Jandhyals V.K.On Hinkley’s estimator:inference about the change point[J]. Statistics & Probability Letters,2007:1449-1458.
注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
【关键词】指数分布；变点；区间估计；滑窗
【中图分类号】：O221.8【文献标识码】：A 【文章编号】：1009-9646（2008）07-0000-01
0 引言
变点问题自上世纪70年代以来一直是统计中的热门话题,关于变点问题的研究应用相当广泛,已有许多学者在不同的条件下进行了研究,例如Chernoff和Zacks提出了检验正态分布均值变点的检验统计量；Haccon和Meelis对独立指数分布随机变量序列中的变点,提出了似然比检验法；缪柏其及谭智平等用了非参数方法对变点进行了检验和估计.
而对于指数分布,由于其参数和期望之间的关系,很多文献在讨论参数变点时直接将其转化为均值变点问题,这样做使得样本信息大量损失.因此作为这一工作的继续和进一步发展,本文提出利用滑窗法,结合指数分布均值、方差与参数之间的关系,构造了参数变点问题的检验统计量,并借助Gauss过程理论,利用第一型极值分布逼近本文提出的检验统计量的分布,讨论了指数分布中参数只有一个变点时变点位置的估计和检验,给出了检测变点的程序和
变点的区间估计.最后对文中提出的统计量进行了仿真模拟.
1 问题的描述
设,,…,是独立随机变量,满足
,…, i.i.d,,…, i.i.d
表示指数分布,其密度函数为
若,则称为随机序列,,…,的变点.
为检测,,…,是否有变点,作假设
:: (1)
接受,即认为序列有变点,否则认为无变点.
2 主要结论
为方便起见,记
,,,,
,
对于指数分布,参数,因此对于序列,,…,(其中,…,i.i.d,,…,i.i.d),可用来估计,用来估计,并且容易证明此估计为强相合估计,故可选
(2)
利用引理2,立即可以得到一种检验变点问题(1)的方法,即下面的定理:
定理1 选取显著性水平,,则对于变点问题(1),当且仅当 时,拒绝.
证明 的拒绝域(其中待定),则
(20)
则由引理2知
(21)
由(20)、(21)知道
(22)
由此得,从而,定理得证.
上面定理给出了如何检测是否有变点的方法,下面我们给出变点的估计.由于越大,说明样本的前个样本(含)和后个样本(不含)的差别越大,这时变点为可能性就越大,因此变点的估计为
(23)
可以证明此估计具有强相合性,笔者将另篇讨论.
另外的区间估计为.为了提高精度,应取较小的,但它会带来两个问题:一是太小,为真时,拒绝的可能性增大,即犯第一类错误的概率增大；二是太小时,置信系数会很低.因此选取不能过小.
3 仿真研究
笔者选取了在的水平下,对样本量n=1080和n=2160情形进行了模拟试验,其结果见表1和表2.其中,表示变化前后指数分布的参数,为真实变点的位置, 为变点位置的估计,为滑窗的长度.
从表1和表2可以看出,和的差距越大,则和的差别越大,这时越容易检测出变点；滑窗不能太小,太小可能导致检测不出变点,且随着的增大,灵敏度越高；另外,比较表1和表2,样本量越大,变点的估计越准确.
以上是对指数分布至多一个参数变点的检验,由于我们用的滑窗方法,所以同样适用于有多个变点的指数分布序列,只需先找第一个,依次再找第二个,第三个…
参考文献
[1] chernoff H,Zacks S.Estimating the current mean of normal distribution which is subjected to change in time[J].Ann.Math.Statistics,1964,35:999-1018.
[2] Haccou P,Meelis E.Asymptotic distribution of the likelihood ratio test for the changpoint probl -em for exponentially random variables[J].stochastic Processes and Appl,1987,27:121-139.
[3] Cs?rg? M.Révész P.Strong approximations in probility and statistic[M].New York:Academic press,1981.
[4] Qualls C,Watanable H.Asymptotics Properties of Gaussian processes[J].Ann.Math.Statist,1972, 43:580-596.
[5] 陈希孺.变点统计分析简介[J].数理统计与管理,1991:52-59.
[6] 缪柏其.关于只有一个变点模型的非参数推断[J].系统科学与数学,1993,12(1):43-54.
[7] 谈智平.关于分布变点问题的非参数检验统计推断[J].中国科技大学学报,2000,303(3): 270-277.
[8] Fotopoulos S.B,Jandhyals V.K.On Hinkley’s estimator:inference about the change point[J]. Statistics & Probability Letters,2007:1449-1458.
注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”