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在本文开头，让我们先来看看同学们作业中的一个错误.
题目：设关于x的方程x2-2mx-2m-4=0.
证明：不论m为何值，这个方程总有两个不相等的实数根.
【学生解答】Δ=b2-4ac
=（-2m）2-4×（-2m-4）
=4m2 8m 16
=m2 2m 4
=（m 1）2 3>0.
∴原方程有两个不相等的实数根.
这位同学在解决这道题目的时候，混淆了解一元二次方程的配方和代数式的配方.方程的配方是将方程两边同时除以二次项系数，达到将二次项系数化为1的目的；而代数式的配方只能将二次项系数提取到括号外，不能轻易去掉，否则代数式的变形就不是恒等变形.
下面让我们通过两个例题来比较一下方程配方和代数式配方的区别.
例1 解方程 3x2-2x-6=0.
解：把二次项系数化为1，得
x2-x-2=0，
移项，得x2-x=2，
配方，得x2-x =2 ，
即x
-2=，
两边开平方，得
x-=或x-=-.
解得：x1=，x2=.
例2 求代数式3x2-2x-3的最小值.
解：把二次项系数化为1
原式=3x2
-x-3
=3x2
-x
-3-
=3x
-2-，
∵3x
-2≥0，
∴3x2-2x-3≥-.
∴代数式3x2-2x-3的最小值为-.
观察上面两个例子可以看出，方程配方和代数式配方有联系也有区别，两者配方的时候都是先将二次项系数化为1，然后补上常数项，常数项都是一次项系数一半的平方.
不同的是，方程将二次项系数化为1的方法是方程两边同时除以二次项系数，保证得到的方程与原来的方程是同解方程.而代数式将二次项系数化为1的方法是提取二次项系数，保证代数式恒等变形.
配方法除了可以解方程，求代数式的最大（小）值，在解决其他一些代数问题方面也有一些应用.请看下面几个例题.
应用1 配方凑平方和为零的形式
例3 若x2-4x y2 6y 13=0，求（xy）z的值.
【思路分析】x2-4x、y2 6y已具备完全平方的雏形，可将x2-4x、y2 6y通过配方法配成完全平方的形式，将已知条件的左边化成三个非负数的和去解.
解：∵x2-4x y2 6y 13=0，
∴x2-4x 4 y2 6y 9 =0.
∴（x-2）2 （y 3）2 =0.
∴x=2，y=-3，z=2.
∴（xy）z=36.
【方法点拨】一个方程出现多个未知数，且方程中具备完全平方的雏形，这时可以考虑凑完全平方，将方程化成几个非负数和为零的形式，从而将一个方程化成多个方程来解决.
应用2 利用配方法来分解因式
例4 利用配方法分解因式.
（1） x2 8x 12；（2） x2 5x 6.
【思路分析】（1） x2 8x需要补充16可凑成完全平方式，原式可化为x2 8x 16-16 12，前两项可表示为（x 4）2，后两项可表示为22，然后运用平方差公式；
（2） x2 5x需要补充可凑成完全平方式，原式可化为x2 5x - 6，前两项可表示为x
2，后两项可表示为
2，然后运用平方差公式.
解：（1） 原式=x2 8x 16-16 12
=（x 4）2-4
=（x 4 2）（x 4-2）
=（x 6）（x 2）；
（2） 原式=x2 5x - 6
=（x 3）（x 2）.
【方法点拨】运用配方法分解因式，实际上就是将代数式中具备完全平方式雏形的部分配成完全平方，将代数式最终化为平方差的形式，应用平方差公式分解因式.
应用3 应用作差法比较大小的时候，利用配方来确定差是正数还是负数
例5 小李家今天来了一位客人，小李问这位叔叔：“是你的年龄大，还是我爸爸的年龄大？”
这位叔叔说：“你爸爸的年龄是你的平方数，我的年龄是你的6倍少10，你说谁的年龄大呢？”你能帮小李解答这个问题吗？
【思路分析】若设小李的年龄为x岁，则小李的爸爸的年龄为x2岁，客人的年龄为（6x-10）岁，比较x2与6x-10的大小即可，可以利用求差法通过计算x2-（6x-10）比较.
解：若设小李的年龄为x岁，则小李的爸爸的年龄为x2岁，客人的年龄为（6x-10）岁.
x2-（6x-10）=x2-6x 10=x2-6x 32-32 10=（x-3）2 1.
∵（x-3）2≥0，∴（x-3）2 1>0.
∴x2>6x-10.
即小李的爸爸的年龄要比这位客人的年龄大.
【方法点拨】作差法是比较两数（式）大小的常用方法，而凑完全平方是判定差是正数还是负数的常用方法.
配方法是数学里面一个非常重要的方法，运用配方法解决问题的时候，一定要注意等式的配方和代数式的配方是不同的，不能像文中开头那位同学一样，混淆代数式配方和方程的配方，导致题目出错.
（作者单位：江苏省海安县海陵中学）
题目：设关于x的方程x2-2mx-2m-4=0.
证明：不论m为何值，这个方程总有两个不相等的实数根.
【学生解答】Δ=b2-4ac
=（-2m）2-4×（-2m-4）
=4m2 8m 16
=m2 2m 4
=（m 1）2 3>0.
∴原方程有两个不相等的实数根.
这位同学在解决这道题目的时候，混淆了解一元二次方程的配方和代数式的配方.方程的配方是将方程两边同时除以二次项系数，达到将二次项系数化为1的目的；而代数式的配方只能将二次项系数提取到括号外，不能轻易去掉，否则代数式的变形就不是恒等变形.
下面让我们通过两个例题来比较一下方程配方和代数式配方的区别.
例1 解方程 3x2-2x-6=0.
解：把二次项系数化为1，得
x2-x-2=0，
移项，得x2-x=2，
配方，得x2-x =2 ，
即x
-2=，
两边开平方，得
x-=或x-=-.
解得：x1=，x2=.
例2 求代数式3x2-2x-3的最小值.
解：把二次项系数化为1
原式=3x2
-x-3
=3x2
-x
-3-
=3x
-2-，
∵3x
-2≥0，
∴3x2-2x-3≥-.
∴代数式3x2-2x-3的最小值为-.
观察上面两个例子可以看出，方程配方和代数式配方有联系也有区别，两者配方的时候都是先将二次项系数化为1，然后补上常数项，常数项都是一次项系数一半的平方.
不同的是，方程将二次项系数化为1的方法是方程两边同时除以二次项系数，保证得到的方程与原来的方程是同解方程.而代数式将二次项系数化为1的方法是提取二次项系数，保证代数式恒等变形.
配方法除了可以解方程，求代数式的最大（小）值，在解决其他一些代数问题方面也有一些应用.请看下面几个例题.
应用1 配方凑平方和为零的形式
例3 若x2-4x y2 6y 13=0，求（xy）z的值.
【思路分析】x2-4x、y2 6y已具备完全平方的雏形，可将x2-4x、y2 6y通过配方法配成完全平方的形式，将已知条件的左边化成三个非负数的和去解.
解：∵x2-4x y2 6y 13=0，
∴x2-4x 4 y2 6y 9 =0.
∴（x-2）2 （y 3）2 =0.
∴x=2，y=-3，z=2.
∴（xy）z=36.
【方法点拨】一个方程出现多个未知数，且方程中具备完全平方的雏形，这时可以考虑凑完全平方，将方程化成几个非负数和为零的形式，从而将一个方程化成多个方程来解决.
应用2 利用配方法来分解因式
例4 利用配方法分解因式.
（1） x2 8x 12；（2） x2 5x 6.
【思路分析】（1） x2 8x需要补充16可凑成完全平方式，原式可化为x2 8x 16-16 12，前两项可表示为（x 4）2，后两项可表示为22，然后运用平方差公式；
（2） x2 5x需要补充可凑成完全平方式，原式可化为x2 5x - 6，前两项可表示为x
2，后两项可表示为
2，然后运用平方差公式.
解：（1） 原式=x2 8x 16-16 12
=（x 4）2-4
=（x 4 2）（x 4-2）
=（x 6）（x 2）；
（2） 原式=x2 5x - 6
=（x 3）（x 2）.
【方法点拨】运用配方法分解因式，实际上就是将代数式中具备完全平方式雏形的部分配成完全平方，将代数式最终化为平方差的形式，应用平方差公式分解因式.
应用3 应用作差法比较大小的时候，利用配方来确定差是正数还是负数
例5 小李家今天来了一位客人，小李问这位叔叔：“是你的年龄大，还是我爸爸的年龄大？”
这位叔叔说：“你爸爸的年龄是你的平方数，我的年龄是你的6倍少10，你说谁的年龄大呢？”你能帮小李解答这个问题吗？
【思路分析】若设小李的年龄为x岁，则小李的爸爸的年龄为x2岁，客人的年龄为（6x-10）岁，比较x2与6x-10的大小即可，可以利用求差法通过计算x2-（6x-10）比较.
解：若设小李的年龄为x岁，则小李的爸爸的年龄为x2岁，客人的年龄为（6x-10）岁.
x2-（6x-10）=x2-6x 10=x2-6x 32-32 10=（x-3）2 1.
∵（x-3）2≥0，∴（x-3）2 1>0.
∴x2>6x-10.
即小李的爸爸的年龄要比这位客人的年龄大.
【方法点拨】作差法是比较两数（式）大小的常用方法，而凑完全平方是判定差是正数还是负数的常用方法.
配方法是数学里面一个非常重要的方法，运用配方法解决问题的时候，一定要注意等式的配方和代数式的配方是不同的，不能像文中开头那位同学一样，混淆代数式配方和方程的配方，导致题目出错.
（作者单位：江苏省海安县海陵中学）